1、3.1.1 一元一次方程3.1 从算式到方程第三章 一元一次方程明代大数学家程大位著的算法统宗一书中，有一道诗歌形式的数学应用题，叫百羊问题甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来，并问牧羊人：“你的这群羊有100 只吗？”牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半和1/4，连同你这一只羊，就刚好满10
2、0只”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只？既然大家都没有好的办法，那我们先来学习一下新知识，学习完了看看能不能解决！你知道什么你知道什么叫方程吗？叫方程吗？含有未知数的等式含有未知数的等式方程方程练习：练习：判断下列式子是不是方程判断下列式子是不是方程,正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打”:”:(1)1+2=3 ()(4)()(2)1+2x=4 ()(5)x+y=2 ()(3)x+1-3 ()(6)x2-1=0 ()x21你能举出一些你能举出一些方程的例子？方程的例子？问题问题:如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、山、
3、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山秀水两地之间，距青山5050千米，距秀水千米，距秀水7070千米，千米，王家庄到翠湖的路程有多远？王家庄到翠湖的路程有多远？地 名时 间王家庄10：00青 山13：00秀 水15：00回顾回顾:路程路程=速度速度时间时间 速度速度=路程路程时间时间 时间时间=路程路程速度速度王家庄王家庄青山青山翠湖翠湖5050千米千米7070千米千米秀水秀水那么王家庄距青山那么王家庄距青山_千米，王家庄距秀水千米，王家庄距秀水_千米千米.分析：若知道王家庄到翠湖的路程（比如分析：若知道王家庄到翠湖的路程（比如x x千米），千米），从王家庄到青山行车从王家
4、庄到青山行车_小小时，王家时，王家庄到庄到秀水行车秀水行车_小时小时.（x-50 x-50）（x+70 x+70）3 35 5用含用含x x的式子表示关于路程的数量：的式子表示关于路程的数量：有关时间的数量：有关时间的数量：根据根据_，得到，得到_，列出方程列出方程_._.从从王家庄到青山行车的速度是王家庄到青山行车的速度是_千米千米/时，从王时，从王家庄到秀水行车的速度是家庄到秀水行车的速度是_千米千米/时时.列方程：列方程：x50 x7035汽车匀速行驶汽车匀速行驶车速相等车速相等有关速度的数量有关速度的数量:x503x705解：设王家庄到翠湖的路程为解：设王家庄到翠湖的路程为x x千米，
5、根据车千米，根据车速相等，得速相等，得 x 503x 705设未知数设未知数 列方程列方程一元一次方程一元一次方程实际问题实际问题 归纳：归纳：=一元一次方程的定义一元一次方程的定义:只含有一个未知数（元），未知只含有一个未知数（元），未知数的次数都是数的次数都是1 1，这样的方程叫做一元一次方程，这样的方程叫做一元一次方程.一元一次方程需满足的条件：一个未知数；一元一次方程需满足的条件：一个未知数；未知数的次数是未知数的次数是1 1；未知数的系数不为；未知数的系数不为0.0.一元一次方程的一般形式：一元一次方程的一般形式：ax+bax+b=0(a0)=0(a0)判断下面的方程是不是一元一次方
6、程判断下面的方程是不是一元一次方程.yyxmmyybax31421)6(1)5(7.0)02.03(32.0)4(963)3(32)2(723)1(2例例1 1 根据下列问题，设未知数并列出方程：根据下列问题，设未知数并列出方程：（1 1）用一根长）用一根长24 cm24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？长是多少？解解：设正方形的边长为：设正方形的边长为x cmx cm，根据根据题意列方程得：题意列方程得：4x=24.4x=24.变式：用一根长变式：用一根长24 cm24 cm的铁丝围成一个长方形，使它的长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的是宽的
7、1.51.5倍，长方形的长、宽各是多少？倍，长方形的长、宽各是多少？解解：设长方形的宽为：设长方形的宽为x cmx cm，则它的，则它的长为长为1.5x cm1.5x cm，根据，根据题意列方程得：题意列方程得：2(x+1.5x)=24.2(x+1.5x)=24.（2 2）一台计算机已使用了）一台计算机已使用了1 700 1 700 小时，预计每月再使用小时，预计每月再使用150150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间修时间2 450 2 450 小时？小时？解解:设设x x月后这台计算机的使用时间达到月后这台计算机的使用时间
8、达到2 450 2 450 小时，小时，那么在那么在x x月里这台计算机使用了月里这台计算机使用了150 x 150 x 小时，小时，根据题意根据题意列方程列方程得：得：1 700+150 x=2 450.1 700+150 x=2 450.1 1根据下列条件根据下列条件,列出方程：列出方程：（1 1）x x的的2 2倍与倍与3 3的差是的差是5;5;（2 2）x x的的 与与y y的和等于的和等于4;4;2 2根据下列问题，设未知数，列出方程根据下列问题，设未知数，列出方程环形跑道一周长环形跑道一周长400m 400m，沿跑道跑多少周，沿跑道跑多少周，可以可以跑跑3 000 m?3 000
9、m?2x-3=52x-3=513x+y=4x+y=4解：设沿跑道跑解：设沿跑道跑x x周周，则，则400 x=3 400 x=3 000.000.一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个 值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等任取任取x x的值的值1 700+150 x=2 4501 700+150 x=2 450得方程的解得方程的解不成立不成立成立成立代入代入求方求方程的程的解的解的过程，过程，叫做叫做解方解方程程例例2 x=12 x=1和和x=2x=2，x=3x=3中哪个是方程中哪
10、个是方程2x-2=x+12x-2=x+1的解的解?x123 2x-2 x+10 02 22 23 34 44 4检验一个数值是不是方程的解的步骤：检验一个数值是不是方程的解的步骤：1.1.将数值代入方程左边进行计算，将数值代入方程左边进行计算，2.2.将数值代入方程右边进行计算，将数值代入方程右边进行计算，3.3.比较左右两边的值，若左边右边，则是比较左右两边的值，若左边右边，则是方方程程的解，反之，则不是的解，反之，则不是1.1.方程方程x=3x=3是下列哪个方程的解？（是下列哪个方程的解？（）(A)3x+9=0 (B)x=10-4x(A)3x+9=0 (B)x=10-4x(C)x(x-2)
11、=3 (D)2x-7=12(C)x(x-2)=3 (D)2x-7=122.2.方程方程 （）(A)-3 (B)12 (C)-12 (D)(A)-3 (B)12 (C)-12 (D)的解是62x31C CC C3.3.小芬买小芬买1515份礼物，共花了份礼物，共花了900900元，已知每份礼物内都有元，已知每份礼物内都有1 1包饼干及每支售价包饼干及每支售价2020元的棒棒糖元的棒棒糖2 2支，若每包饼干的售价支，若每包饼干的售价为为x x元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式（元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式（）(A)15(2x(A)15(2x 20)=90020)=900 (B
12、)15x (B)15x 2020 2=9002=900 (C)15(x(C)15(x 2020 2)=9002)=900 (D)15 (D)15 x x 2 2 20=900 20=900【解析解析】选选C.C.每份礼物的价格是（每份礼物的价格是（x x2020 2 2）元）元，1515份份礼物礼物的价格是的价格是15(x15(x 2020 2)2)元元.4.牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半和1/4，连同你这一只羊，就刚好满100只”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只？解：设这群羊有x只，依题意列方程：x+x+x/2+x/4+1=100，解得x=362.2.根据实际问题中的等量关系，用一元一次方程表示问根据实际问题中的等量关系，用一元一次方程表示问题中的数量关系题中的数量关系.注注:分析实际问题中的数量关系分析实际问题中的数量关系,利用其利用其中的相等关系列出方程中的相等关系列出方程,是用数学是用数学解决解决实际问题的一种方法实际问题的一种方法.1.1.方程、方程的解、一元一次方程的概念方程、方程的解、一元一次方程的概念.
