1、第11讲一次函数及其应用1一次函数的概念一般地,形如 的函数叫做一次函数,当b0时,ykxb即为ykx叫做正比例函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数2一次函数的图象与性质(1)一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线,它与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为原点,正比例函数ykx(k0)的图象是过(0,b) 的一条直线(2)一次函数ykxb(k0)的图象所经过的象限及增减性k、b的符号 函数图象 图象的位置 增减性 k0 b0 图象过第一、二、三象限 y随x的增大而增大b0 图象过第一、三象限 y随x的增大而增大b0 图象过第一、三、四象限 y随x的增大而增大 k0 函数图象 图象的位
2、置 增减性 b0 图象过第一、二、四象限 y随x的增大而减小b0 图象过第二、四象限 y随x的增大而减小b0 图象过第二、三、四 象限 y随x的增大而减小3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设:设出一次函数解析式一般形式ykxb(k0); (2)代:将已知条件中函数图象上的两点坐标代入ykxb得到方程(组); (3)求:解方程(组)求出k,b的值; (4)写:写出一次函数的解析式4一次函数与方程(组)的关系(1)一次函数的解析式ykxb就是一个二元一次方程;(2)一次函数ykxb的图象与x轴交点的_ _就是方程kxb0的解;(3)一次函数yk1xb1与yk2xb2的图象交点的横、纵
3、坐标值就是方程组的解5一次函数与不等式的关系 (1)函数ykxb的函数值y大于0时,自变量x的取值范围就是不等式kxb0的解集,即函数图象位于x轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围; (2)函数ykxb的函数值y小于0时,自变量x的取值范围就是不等式 的解集,即函数图象位于x轴的 部分对应点的横坐标的取值范围 6一次函数的实际应用 (1)常见类型:费用问题;销售问题;行程问题;容量问题;方案问题 (2)解一次函数实际问题的一般步骤: 设出实际问题中的变量; 建立一次函数关系式; 利用待定系数法求出一次函数关系式; 确定自变量取值范围; 利用一次函数的性质求相应的值,对所得到的解进行检验,是否符
4、合实际意义; 答考点1: 一次函数的图象与性质【例题1】(2018江苏扬州3分)如图,在等腰RtABO,A=90,点B的坐标为(0,2),若直线l:y=mx+m(m0)把ABO分成面积相等的两部分,则m的值为考点2: 一次函数与方程、不等式的关系【例题2】(2018河北T2410分)如图,直角坐标系xOy中,一次函数yx5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4)(1)求m的值及l2的解析式;(2)求SAOCSBOC的值;(3)一次函数ykx1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值考点3: 一次函数的实际应用【例题3】(2019
5、四川省广安市8分)为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由归纳:1.对于一次函数方案设计题,关键是读懂题意,然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等式;通过解不等式求出未知数的取值范围,然后取其整数解,将每一组符合题意的整数解定为一种方案,在选择最优方案时,通过将每一组解代入相应的关系式中,满足题意的最优解即可定
6、为最优方案2在遇到求解一次函数最值问题时,切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围,通过给定自变量的范围,选取合适的数值代入解析式求解即可同时,一次函数确定最值时还应注意以下两点: 当在确定一次函数自变量时,有时需要列不等式解题,对于某些关键字要特别注意,如“不超过”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“”;而“至少”、“不少于”等字眼要使用“”; 从方程中得到的解一定要进行检验,即要符合原方程和实际意义,切不可忽略 3涉及图象问题的实际应用要注意:在观察函数图象时,首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量,然后在分析函数图象时应注意拐点、交点的实际意义,最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范
7、围一、选择题:1. (2019四川省广安市3分)一次函数y2x3的图象经过的象限是()A一、二、三B二、三、四C一、三、四D一、二、四2. (2018湘潭)若b0,则一次函数y=x+b的图象大致是()ABCD3. (2019湖北荆门)(3分)如果函数ykx+b(k,b是常数)的图象不经过第二象限,那么k,b应满足的条件是()Ak0且b0Bk0且b0Ck0且b0Dk0且b04. (2019山东临沂3分)下列关于一次函数ykx+b(k0,b0)的说法,错误的是()A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小C图象与y轴交于点(0,b) D当x时,y05. (2018包头)如图,在平面直角坐标系
8、中,直线l1:y=x+1与x轴,y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k0)与直线l1在第一象限交于点C若BOC=BCO,则k的值为()A B C D2二、填空题:6. (2019山东潍坊3分)当直线y(22k)x+k3经过第二、三、四象限时,则k的取值范围是7. (2018邵阳)如图所示,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是 8. (2019广西河池3分)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90而得,则AC所在直线的解析式是 9. (2019山东省聊城市3分
9、)如图,在RtABO中,OBA90,A(4,4),点C在边AB上,且,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 .三、解答题:10. (2019湖北省仙桃市8分)某农贸公司销售一批玉米种子,若一次购买不超过5千克,则种子价格为20元/千克,若一次购买超过5千克,则超过5千克部分的种子价格打8折设一次购买量为x千克,付款金额为y元(1)求y关于x的函数解析式;(2)某农户一次购买玉米种子30千克,需付款多少元?11. (2017台州改编)如图,直线l1:y2x1与直线l2:ymx4相交于点P(1,b)(1)求b,m的值;(2)直接写出关
10、于x的不等式2x1mx4的解集;(3)垂直于x轴的直线xa与直线l1,l2分别交于点C,D.若线段CD长为2,求a的值12. (2018重庆)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D(1)求直线CD的解析式;(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围13. (2017河北T2410分)如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x5与x轴交于点D,直线yx与x轴及直线x5分别交于点
11、C,E.点B,E关于x轴对称,连接AB.(1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式;(2)设面积的和SSCDES四边形ABDO,求S的值;(3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将CDE沿x轴翻折到CDB的位置,而CDB与四边形ABDO拼接后可看成AOC,这样求S便转化为直接求AOC的面积不更快捷吗?”但大家经反复验算,发现SAOCS,请通过计算解释他的想法错在哪里14. (2019贵州安顺10分)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千元)与每千元降价x(元)(0x20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式;(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?15. (2018唐山乐亭县一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A(6,0)的直线l1与直线l2:y2x相交于点B(m,4)(1)求直线l1的解析式;(2)直线l1与y轴交于点M,求AOM的面积;(3)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1,l2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,直接写出n的取值范围【变式】(4)将(3)中条件“过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线l1,l2的交点分别为C,D”保持不变,“当点C位于点D上方时”改为“且CD2”,求点C的坐标