1、第一章 导数及其应用单元测试(A卷基础篇）（人教A版）参考答案与试题解析一选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（2019西湖区校级模拟）已知函数f（x）x+lnx，则limx0(2+x)-f(2)x=（）A2B32C54D3【解析】解：根据题意，对于函数f（x），有limx0(2+x)-f(2)x=f（2），又由f（x）x+lnx，则f（x）1+1x，则有f（2）1+12=32；故选：B【点睛】本题考查导数的定义以及导数的计算，属于基础题2（2019西湖区校级模拟）下列运算正确的是（）A（3x）3xlnxB(sinxx)=xcosx+sinxx2C(x-1x)=1-1x2D（log2
2、x）=1xln2【解析】解：（3x）3xln3，(sinxx)=xcosx-sinxx2，(x-1x)=1+1x2，(log2x)=1xln2故选：D【点睛】考查基本初等函数和商的导数的求导公式3（2019春韩城市期末）设函数f（x）在定义域内可导，yf（x）的图象如图所示，则导函数yf（x）的图象可能为（）ABCD【解析】解：由f（x）的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，导函数yf（x）的图象可能为区间（，0）内，先有f（x）0，再有f（x）0，在（0，+）再有f（x）0故选：A【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当
3、导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题4（2019春珠海期末）若曲线yx2+ax+b在点（1，1）处的切线为3xy20，则有（）Aa1，b1Ba1，b1Ca2，b1Da2，b1【解析】解：曲线yx2+ax+b在点（1，1）处的切线为3xy20，对曲线方程求导数，得y2x+a，x1时，k2+a3，解得a1；又点（1，1）在曲线yx2+ax+b上，1+a+b1，解得b1；a1，b1故选：B【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线斜率问题，是基础题目5（2019春西城区期末）已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（）Af（a）f（b
4、）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（a）f（c）f（b）Df（c）f（a）f（b）【解析】解：根据题意，f（a）、f（b）、f（c）分析函数在xa、xb和xc处切线的斜率，则有f（a）0f（b）f（c），故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，注意比较函数的切线的斜率，属于基础题6（2019春葫芦岛期末）已知函数f（x）的导函数为f（x），f（x）2x23xf（2）+lnx，则f（2）（）A92B94C174D178【解析】解：f(x)=4x-3f(2)+1x；f(2)=8-3f(2)+12；f(2)=178故选：D【点睛】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法7（2019春
5、平遥县校级月考）已知f（x）x（x1）（x2）（x3）（x4）（x5），则f（0）为（）A5B120C120D5【解析】解：设g（x）（x1）（x2）（x3）（x4）（x5），则f（x）xg（x），f（x）g（x）+xg（x），f（0）g（0）1（2）（3）（4）（5）120故选：B【点睛】考查基本初等函数和积的导数的求导公式，已知函数求值的方法，构造函数的方法8（2019秋五华区校级月考）已知函数f（x）xlnx+aex有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A(-，1e)B(0，1e)C(-1e，+)D(-1e，0)【解析】解：f（x）1+lnx+aex，由题意，f（x）1+lnx+aex0
6、有两个不同的实根，即ya和y=1+lnxex在（0，+）上有两个交点，令g(x)=1+lnxex，g(x)=1x-lnx-1ex记h(x)=1x-lnx-1，h（x）在（0，+）上单调递减，且h（1）0，所以当x（0，1时，h（x）0，g（x）0，所以g（x）在（0，1上单调递增；当x（1，+）时，h（x）0，g（x）0，所以g（x）在（1，+）上单调递减，故g(x)max=g(1)=1e当x0时，g（x）；当x+时，g（x）0，当0-a1e，即-1ea0时，ya和y=1+lnxex在（0，+）上有两个交点，故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中
7、档题9（2019春厦门期末）已知不等式xbalnx（a0）对任意x（0，+）恒成立，则b-2a的最大值为（）A1ln2B1ln3Cln2Dln3【解析】解：不等式xbalnx（a0）对任意x（0，+）恒成立，bxalnx，设f（x）xalnx，f（x）1-ax，若a0，则f（x）0，函数f（x）函数单调增，函数无最小值，故不成立，若a0，由f（x）0，由f（x）0，解得xa，由f（x）0，解得0xa，得极小值点xa，由f（a）aalna0，得ba（1lna），则b-2aa(1-lna)-2a=1lna-2a，令g（a）1lna-2a，（a0），则g（a）=-1a+2a2=2-aa2，则当0a2
8、时，g（a）0，当a2时，g（a）0，则当a2时，g（a）取得极大值，而g（2）1ln2-22=1ln21ln2，b-2a的最大值为ln2故选：C【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论思想，构造函数利用导数研究函数的最值是解决本题的关键10（2019秋让胡路区校级月考）函数f（x）的图象在R上是连续不断的，且满足f（x）+f（x）x2，当x0时，f（x）x，其中f（x）是f（x）的导函数，则不等式f(x)+12f(1-x)+x的解集为（）A(12，+)B（1，+）C(-，12)D（，1）【解析】解：f（x）+f（x）x2；f(x)-x22
9、+f(-x)-x22=0；令g(x)=f(x)-x22，则g(-x)=f(-x)-x22；g（x）+g（x）0；g（x）在R上是奇函数；x0时，f（x）x；g（x）f（x）x0，即g（x）在（0，+）上单调递增；g（x）是奇函数；g（x）在R上单调递增；原不等式可变形为f(x)-x22-f(1-x)-(1-x)220，即g（x）g（1x），即x1x，解得x12；故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11（2019春龙凤区校级期末）已知f(x)=12x2+2xf(2019)+2019ln
10、x，则f（1）2020【解析】解：根据题意，f(x)=12x2+2xf(2019)+2019lnx，则f（x）x+2f（2019）+2019x，令x2019可得：f（2019）2019+2f（2019）+1，变形可得f（2019）2020，则f（x）x+2019x-4040，则f（1）1+201940402020，故答案为：2020，【点睛】本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式，属于基础题12（2019春天山区校级月考）曲线f（x）x2+x2ex在点（0，f（0）处的切线的方程为yx2【解析】解：f（x）x2+x2ex的导数为f（x）2x+12ex，可得在点（0，f（0）处的切线斜率为121
11、，切点为（0，2），可得切线方程为yx2故答案为：yx2【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题13（2019秋亭湖区校级月考）已知函数f（x）exlnxaex（aR），若f（x）在（0，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（，1【解析】解：根据题意，函数f（x）exlnxaex，则f（x）exlnx+exx-aexex（lnx+1x-a），设g（x）lnx+1x，则g（x）=1x-1x2=x-1x2，易得在区间（0，1）上，g（x）0，即g（x）在（0，1）上为减函数，在区间（1，+）上，g（x）0，即g（x）在（1，+）上为增函数，故g（
12、x）在（0，+）有最小值g（1）1，没有最大值，若f（x）在（0，+）上单调递增，则f（x）exlnx+exx-aexex（lnx+1x-a）0在（0，+）上恒成立；即g（x）a0在（0，+）上恒成立，即ag（x）在（0，+）上恒成立，必有ag（x）min1，故a的取值范围为（，1；故答案为：（，1【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题14（2019春锡山区校级期末）已知函数f(x)=aex-12x2(aR)，若函数有两个极值点x1，x2，且x2x12，则实数a的取值范围为(0，ln22【解析】解：函数f（x）由两个极值点x1，x2；f（x）ae
13、xx有两个零点x1，x2；即aex1=x1，aex2=x2，作比得ex2ex1=x2x1=ex2-x1；令x2x1t；则有x2x1=et；x2=x1et，代入，得x1=tet-1；由题意知，x2x1=et2；tln2；令g(t)=tet-1，（tln2）；g(t)=et-1-tet(et-1)2；令h（t）et1tet，则h（t）tet0；h（t）单调递增；h（t）h（ln2）12ln20；g（t）单调递减；g（t）g（ln2）ln2，即x1ln2；而a=x1ex1，令u(x)=xex，则u(x)=1-xex0；u（x）在（，ln2上单调递增；u(x)ln22，即aln22；又f（x）aexx
14、有两个零点x1，x2；u（x）在R上与ya有两个交点；而u(x)=1-xex，在（，1）上u（x）单调递增，在（1，+）上u（x）单调递减；u（x）的最大值为u(1)=1e；0a1e；综上，0aln22；故答案为：(0，ln22【点睛】本题考查了利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用了整体换元的方法，属难题三解答题（共3小题，每小题10分，共30分）15（2019春宛城区校级月考）（1）求曲线f（x）x33x2+3在点P（1，1）处的切线方程（2）求过曲线f（x）x32x上的点（1，1）的切线方程（3）已知函数f（x）2x3ax与g（x）bx2+c的图象都过点
15、P（2，0），且在点P处有公共切线，求f（x）、g（x）的表达式【解析】解：（1）f（x）x33x2+3的导数为f（x）3x26x，可得曲线在点P（1，1）处的切线斜率为3，即有曲线在点P（1，1）处的切线方程为y13（x1），即为3x+y40；（2）f（x）x32x的导数为f（x）3x22，设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m22，且nm32m，切线方程为y（m32m）（3m22）（xm），将（1，1）代入切线方程可得1（m32m）（3m22）（1m），化为2m33m2+10，即（m1）2（2m+1）0，解得m1或m=-12，则切线的方程为xy20或5x+4y10；（3）由题意可得f（2
16、）0，即162a0，解得a8，则f（x）2x38x，可得f（x）6x28，则在P（2，0）处的切线的斜率为64816，又g（2）0，即4b+c0，且g（x）2bx，可得切线的斜率为4b16，解得b4，c16，则g（x）4x216【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于中档题16（2019春渝中区校级期中）已知函数f(x)=x(lnx-a2x+a-1)，aR，g（x）f（x）（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）若f（x）在x1处取得极大值，求a的取值范围【解析】解：（1）f(x)=1(lnx-a2x+a-1)+x(1
17、x-a2)g（x）lnxax+ag(x)=1x-a=1-axx(x0)当a0时，g（x）0g（x）在（0，+）上是递增的当a0时，若x(0，1a)，则g（x）0，若x(1a，+)，则g（x）0g（x）在(0，1a)上是递增的，在(1a，+)上是递减的（2）g（1）0f（1）0由（1）知：当a0时，f（x）在（0，+）上是递增的，若x（0，1），则f（x）0，若x（1，+），则f（x）0f（x）在x1取得极小值，不合题意a1时，f（x）在（0，1）上是递增的，f（x）在（1，+）上是递减的，f（x）f（1）0f（x）在（0，+）上是递减的f（x）无极值，不合题意当0a1时，1a1，由（1）知：f
18、（x）在(0，1a)上是递增的，f（1）0若x（0，1），则f（x）0，若x(1，1a)，则f（x）0，f（x）在x1处取得极小值，不合题意当a1时，01a1，由（1）知：f（x）在(1a，+)上是递减的，f（1）0若x(1a，1)，则f（x）0，若x（1，+），则f（x）0，f（x）在(1a，1)上是递增的，在（1，+）上是递减的，故f（x）在x1处取得极大值，符合题意综上所述：a（1，+）【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，属综合性较强的题型17（2020天河区一模）已知函数f（x）lnxmx2，g（x）=12mx2+x，mR，F（x）f（x）+g（x）（1）讨论函数f（x）
19、的单调区间及极值；（2）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值【解析】解：（1）定义域为（0，+），f（x）=1x-2mx=1-2mx2x，当m0时f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上是增函数，无极值，当m0时令f（x）0，0x12m，令f（x）0，x12m，所以函数f（x）在（0，12m）上为增函数，在（12m，+）为减函数，所以当x=12m时，有极大值，极大值为-12（ln2m+1），无极小值，（2）：由F（x）mx1恒成立知m2(lnx+x+1)x2+2x恒成立，令h（x）=2(lnx+x+1)x2+2x，则h（x）=-2(x+1)(2lnx+x)(x2+2x)2，令（x）2lnx+x，因为（12）=12-ln40，（1）10，则（x）为增函数故存在x0（12，1），使（x0）0，即2lnx0+x00，当0xx0时，h（x）0，h（x）为增函数，当x0x时，h（x）0，h（x）为减函数所以h（x）maxh（x0）=ln(x0+x0+1)x02+2x0=1x0，而x0（12，1），所以1x0（1，2），所以整数m的最小值为2【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数不等式问题，属于高档题目，有一定难度
