1、平面向量的坐标表示及运算【学习目标】【知识探究】G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解a 11a 22a 11a 22a 【知识要点】xyOi j,(,),xyi jax yaijaxyx y 在平面直角坐标系中，分别取与 轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的任意一个向量由平面向量基本定理知，有且只有一对实数使得我们把有序数对叫做向量 的坐标。一、向量的坐标：a(,)ax y 记作：向量的坐标表示(1,0),(0,1),0(0,0)ij注：1.2.向量与有序数对一一对应。xi y j【知识探究】OAxiy j以
2、原点为起点的向量 xyOi j A(,)OAx y OAA 注：向量的坐标与其终点 的坐标相等。2.相等向量的坐标有何关系？相等向量的方向和长度都相同，在横纵轴上的分解量相同。xi y j(,)x y相等向量的坐标相等。【例1】如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3-2-154321-1-2-3-4-5ji1 2 3 4由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)xyOA60o|3,60,oOAOAxOAOA已
3、知 是坐标原点，在第一象限，|=4求向量的坐标。【知识探究】1122(,),(,),.axybxyab aba 1.1.已已知知：思思求求，考考：向向量量1122,ax iy j bx iy j 11221212()()()()abx iy jx iy jxx iyyj1212()abxxyy，即即：1212-(-)a bx xy y 同同，理理：1111=()ax iy jx iy j两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差11=(,)axy 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标11(,)A xy22(,)B xyxyO一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终
4、点的坐标减去始点的坐标 11222.(,),(,),A xyB xyAB若则的坐标怎思考：样表示？2121=(-,-)ABx xy y例例2.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。2 13 4(,),(,)ab 34,ab abab 解：解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）【知识应用】一、向量的坐标的基本运算例例.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A,B,C 的坐标分的坐标分别为（别为（-2，1）（）（-1，3）（）（
5、3，4），求顶点），求顶点D的坐标。的坐标。ABCDO解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），），（211321(AB)4,3(yxDC ，得，得由由DCAB )4,3()2,1(yx yx4231 22yx），的坐标为（的坐标为（顶点顶点22D二、几何图形中的向量的坐标运算已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（-2，1）（-1，3）（）（3，4），求第四个顶点的坐标。），求第四个顶点的坐标。【变式引申】O【知识应用】三、坐标的运算向量的线性表示3(1,2),(2,3),(4,1),;abca bc 【例】已知向量试用表示思考：从平面向量基本定理的角度，可以用怎样的关系式表示？评注：用两个不共线向量表示第三向量，多从待定系数角度入手。【变式】(1,1),(1,1),(1,2),;abca bc 已知向量试用表示小结小结1.平面向量的正交分解平面向量的正交分解2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示3.平面向量的坐标的运算平面向量的坐标的运算
