1、 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？23 22 3322 552 74 7导入新知导入新知aaaaaaaaaa在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考观察下图并思考.由上图，易得由上图，易得2a+3a=5a.2a+3a=5a.当当a=时，分别代入左右得时，分别代入左右得 ;当当a=时，分别代入左右得时，分别代入左右得 ;.2 23 2=5 2232 33 3=5
2、3知识点 1探究新知探究新知你发现你发现了什么？了什么？因为因为 ，由前面知两者可以合并，由前面知两者可以合并.当当a=,b=a=,b=时，得时，得2a+3b=.2a+3b=.a2a+3bb2bb8a2 23 8 前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：继续观察下面的过程：23 83 226 2探究新知探究新知这两个二次根这两个二次根式可以合并吗？式可以合并吗？你又有什么发现吗你又有什么发现吗?探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，将二次根式
3、化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并则这样的二次根式可以合并.注意：注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断为最简二次根式再判断.2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式式)相加，根指数和被开方数相加，根指数和被开方数(式式)不变不变.如：如：m an amna1.下列各式中，与下列各式中，与 是同类二次根式的是（是同类二次根式的是（）A.B.C.D.258123D2.下列二次根式，不能与下列二次根式，不能与 合并的是合并的是_(填填 序号）序号）.
4、121348125118.32;-;巩固练习巩固练习例例1 1 若最简二次根式若最简二次根式 与与 可以合并，求可以合并，求 的值的值.2132nmn3mn解：由题意得解：由题意得 即即212,323,nmn 4,31,2mn416.323mn 探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用二次根式可以合并的条件求字母的值利用二次根式可以合并的条件求字母的值提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为方数相同，根指数都为2 2列关于字母的方程（组）求解即可列关于字母的方程（组）求解即可.解得解得1（1）与最简二次根式与最简二
5、次根式 能合并，则能合并，则m=_.81m 1巩固练习巩固练习（2 2）若两个最简二次根式）若两个最简二次根式 与与 可可以合并以合并,则则a=_a=_，b=_.b=_.3.完成下列各题：完成下列各题：abba3324a1 现有一块长现有一块长7.5dm7.5dm、宽、宽5dm5dm的木板，能否采用如图的方式，在的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是这块木板上截出两个面积分别是8dm28dm2和和18dm218dm2的正方形木板？的正方形木板？7.5dm5dm【讨论讨论】1.1.怎样列式求两个正方形边长的怎样列式求两个正方形边长的和和?S=8dm2S=18dm28+18知识
6、点 2二次根式的加减二次根式的加减探究新知探究新知【讨论讨论】2.2.所列算式能直接进行加减运算吗所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能如果不能,把式中把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算说出每步运算的依据）的依据）.（化成最简二次根式）（化成最简二次根式）（逆用分配律）（逆用分配律）在这块木板上可以截出两个分别是在这块木板上可以截出两个分别是8dm28dm2和和18dm218dm2的正的正方形木板方形木板解：列式如下：解：列式如下：8+182 2+3 22+32（）5 2.183 25,5 27.5 在有理数在有理数范围内成立的
7、范围内成立的运算律，在实运算律，在实数范围内仍然数范围内仍然成立成立.探究新知探究新知818 2 2 3 22 32 5 2+=+=+=+=+=+=（）化为最简化为最简二次根式二次根式 用分配用分配律合并律合并 整式整式加减加减 二次根二次根式性质式性质 分配律分配律 整式加整式加 减法则减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 探究新知探究新知探究新知探究新知 归纳总结归纳总结二次根式的加减法法则二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将
8、二次根式化成一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)(1)化化将非最简二次根式的二次根式化简；将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：加减法的运算步骤：(2)(2)找找找出被开方数相同的二次根式；找出被开方数相同的二次根式；(3)(3)并并把被开方数相同的二次根式合并把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并一化简二判断三合并”解：解：8;a5;例例2 2 计算计算:212;10533.9素养考点素养考点 1二次根式的加减计算二次根式的加减计算（3）（4）（1）45-8
9、0aa259 5018 271-123（1）45-804 5-3 5（2）（2）aa259 35aa（3）5018 12 25 2（4）271-12316 3-3 3探究新知探究新知22 21036 394.下列计算正确的是下列计算正确的是（）（）A.B.C.D.222323 21233325 C5.已知一个矩形的长为已知一个矩形的长为 ,宽为宽为 ，则其周长为，则其周长为_.481212 3巩固练习巩固练习例例3 3 计算计算:解：解：14 3.3 35.探究新知探究新知素养考点素养考点 2二次根式的加减混合运算二次根式的加减混合运算（1）483316-122（2）（）（5-32012（1）
10、483316-122（2）（）（5-320124 32 312 31220352 32 535计算时，有括计算时，有括号，一定要先号，一定要先去括号！去括号！6.计算计算(1)；2798186815.024解：原式解：原式3 2 7 2 3 3解：原式解：原式222 66242364（2 2）.巩固练习巩固练习33-210例例4 4 有一个等腰三角形的两边长分别为有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长，求其周长.5 2,2 6解：当腰长为解：当腰长为 时，时，此时能构成三角形，周长为此时能构成三角形，周长为 当腰长为当腰长为 时，时，此时能构成三角形，周长为此时能构成三角形，周长为 5 2
11、10 2 2 6+；2 65 2 4 6+.素养考点素养考点 3二次根式的综合性题目二次根式的综合性题目探究新知探究新知5 25 210 22 6，2 62 64 65 2，7.7.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm28cm2和和18cm218cm2，求圆环的宽度求圆环的宽度d(d(两圆半径之差两圆半径之差).).3 22 22巩固练习巩固练习解：解：818sSrR答：圆环的宽度答：圆环的宽度d d为为 cm.cm.2R-r1.（2018曲靖）下列二次根式中能与曲靖）下列二次根式中能与 合并的是（）合并的是（）A B C D巩固练习巩固练习连
12、 接 中 考连 接 中 考B328311892.（2019兰州）计算：兰州）计算：（）（）A B C3 D 3-1233234AD基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题12271624321.与与 能合并的二次根式是能合并的二次根式是()A.B.C.D.2.下列计算正确的是下列计算正确的是（）（）A.B.C.D.222323 21233325 C512课堂检测课堂检测3.三角形的三边长分别为三角形的三边长分别为 则这个三角形的周则这个三角形的周长为长为_.204045，5 5+2 104.计算计算:8 23 2 9 24 3-6 2（1）=_（2）=_（3）=_（4）=_5 21829-184）
13、（27-83210）（27283-125基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测解：解：5.计算计算:(1)(1)(2)(2)18272-85453150-182(1)(1)18272-8510 2-6 33 236-213(2)(2)453150-1826 2-5 2552 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测6.如果最简二次根式如果最简二次根式 与与 可以合并，那么要使式子可以合并，那么要使式子 有意义，求有意义，求x的取值范围的取值范围.38a 172a42axxa解：由题意得解：由题意得3a-8=17-2a,a=5，20-2x0，x-50，5x10.4220
14、2,5axxxax基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测已知已知a,b,ca,b,c满足满足 .(1)(1)求求a,b,ca,b,c的值；的值；(2)(2)以以a,b,ca,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由其周长；若不能，请说明理由.2853 20abc解：解：(1)(1)由题意得由题意得 ；(2)(2)能能.理由如下：理由如下：课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题82 2,5,3 2abc2 23 25，即acb，5 2,ac又又 a+cb，5 25.abc能够成三角形，周长
15、为能够成三角形，周长为 已知已知a a，b b都是有理数，现定义新运算：都是有理数，现定义新运算：a a*b=b=，求（求（2 2*3 3）（）（2727*3232）的值）的值3ab解：解：a a*b=b=，（2 2*3 3）（）（2727*3232）=3ab23 33 312 211 2.拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测 23 3273 32二次根式二次根式加减加减法 则法 则注意注意运算顺序运算顺序运算原理运算原理 一般地，二次根式加减时，一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式，再将被开方数相同的
16、二次根式进行合并根式进行合并.运算律仍然适用运算律仍然适用与实数的运算与实数的运算顺序一样顺序一样课堂小结课堂小结 如何进行单项式与多项式相乘的运算？如何进行单项式与多项式相乘的运算？你能用字母表示这一结论吗？你能用字母表示这一结论吗？思路：思路：单单多多转转 化化分配律分配律单单单单m(a+b+c)=ma+mb+mc导入新知导入新知【讨论讨论】若把字母若把字母a,b,c,ma,b,c,m都用二次根式代替都用二次根式代替(每个每个同学任选一组同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？，然后对比归纳，你们发现了什么？二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运二次根式的加、减、
17、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例例1 1 计算：计算：解：解：4 3+3 2.323.2探究新知探究新知知识点 1素养考点素养考点 1（1）638）（2）2263-24）（1）638）（8636（2）2263-24）（4 22 2-3 62 28054052325106 224巩固练习巩固练习1.计算：（计算：（1）（2）53254080(1)(1)原式原式解：解：(2)(2)原式原式例例2 2计算：计算：解：解：（1 1）原式）原式 【思考思考】（1 1）中，每一步的依据是什么？）中，每一步的依据是什么？第一步的依据
18、是：多项式乘多项式法则；第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式；相同的二次根式；第三步的依据是：合并同类项第三步的依据是：合并同类项2 32 5+-+-（）（）；（1 1）探究新知探究新知素养考点素养考点 2223 2-5 2-15（）15-22-222-13-2.2.计算：计算：2 2 2+=222-2 2 2 2=+2-.=2-巩固练习巩固练习（1）（323-6（2）（2-122解：解：（1）（323-66263-32-332 33 2-6-3123 2-6-3（2）（2-122回顾提问回顾提问
19、1 1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些整式乘法运算中的乘法公式有哪些?平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.回顾提问回顾提问2 2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?探究新知探究新知知识点 2前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.例例3 3 计算：计算：解：解：5334 3+474 3.探究新知探究新知
20、素养考点素养考点 1考查利用乘法公式计算二次根式的能力考查利用乘法公式计算二次根式的能力（1）（3-535（2）223）（2253（）（）223232+2 （）（1）（3-535 2（2）223）（拓展计算：拓展计算：解：解：(1)(1)原式原式1.=(2)(2)原式原式7+4 337+3 3.探究新知探究新知（1）（2）201820183223-22）（）（2017201932-323-2-2（）（）20182 232 2+3（）（）=20181（）=201723 2-323 2322（）（）（）201717+4 33（）3.计算：计算：57 94 2.57.巩固练习巩固练习（1）21-22
21、）（解：解：（1）21-22）（2）（）（32753-2222 21 2 2 212-32357 （2）（）（32753-2 例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1,3 1,xy解：解：x2+2xy+y2=x2+2xy+y2=（x+y)2x+y)2把把 代入上式得代入上式得3 1,3 1,xy原式原式=12.探究新知探究新知有关代数式的二次根式运算有关代数式的二次根式运算素养考点素养考点 223+1+31（）（）22 3（）解解:，32,32xy212 32 110.巩固练习巩固练习 3232321,xy 32322 3,xy 4.已知 ，求x3y+xy3.32,32xyx3y+xy3
22、=xy(x2+y2)=xy(x+y)2-2xy 在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如分母的二次根式的方法，比如:575777357【思考思考】如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：子，如：等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？21,32知识点 3分母有理化分母有理化 探究新知探究新知根据整式的乘法公式在根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？能想到什么好方法吗？例例4 4 计
23、算计算:解解:m an bm an b探究新知探究新知素养考点素养考点 1分母有理化的应用分母有理化的应用提示：分母形如提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.（1）2-31（2）154（1）2-311323-232（）（）（）23（2）15445-1515-1（）（）（）41-54）（1-5 5.已知 ,求 .11,5252ab222ab解解:15252,525252a15252,525252b20222 5.巩固练习巩固练习25252252522222222aaabbb巩固练习巩
24、固练习连 接 中 考连 接 中 考31.（2018天津）计算天津）计算 的结果的结果 等于等于_）（3-636 2.（2019常州）下列各数中与常州）下列各数中与 的积是有理数的积是有理数的是（）的是（）A B2 C D 3232 33-2D1.下列计算中正确的是（下列计算中正确的是（）1A.3(3)33B.(12-27)31 1C.32222D.3(23)62 3B2.计算：计算：22+324.（）5 3.设设 则则a b(填填“”“”或或 “=”）.,1103103ab，=基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测4.计算：计算：解：解：5 22 5.2244.2-3 （1）22
25、32）（2）3-21321基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测（1）2232）（2）3-213214 222 2-32323 2-323 2-3 423 2-3 6+2 2.（4）（3）（3-333）（5-2103解：原式解：原式=223-3（）=9-3=6解：原式解：原式=3 2-3 52 5-5 25-22-（5）82-31-131-302-）（）（）（基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测解：原式解：原式29+1+2 2解：解：(1)原式原式3 3.(2)(2)原式原式32.5.计算：计算：（1）3-627-3-23）（2）26-12-33-20160）（基
26、 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测633 336 1+2 333 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段其中有一段路基的横断面设计为上底宽路基的横断面设计为上底宽 m m，下底宽，下底宽 m m，高，高 m m 的梯形，这段路基长的梯形，这段路基长 500 m500 m，那，那么这段路基的土石方么这段路基的土石方 (即路基的体积即路基的体积,其中路基的体积其中路基的体积=路基横路基横断面面积断面面积路基的长度路基的长度)为多少立方米呢？为多少立方米呢？624264 2m6m6 2m能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检
27、测解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：路基的长度，所以这段路基的土石方为：5 26 50035000 3 m.答：这段路基的土石方为答：这段路基的土石方为35000 3m.能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测14 26 265002 23 2650021.已知已知 的整数部分是的整数部分是a,小数部分是小数部分是b,求求a2-b2的值的值.10解：解：31043,103.ab22ab6 1010.10610拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测223(103)310331032.阅读下列材
28、料，然后回答问题：阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：将其进一步化简：231方法一：方法一：2231231231;31313131方法二：方法二：313123 131.313131拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测解：解：(1)(1)(1)(1)请用两种不同的方法化简：请用两种不同的方法化简：(2)(2)化简：化简：2;531111.42648620182016120182.2课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题111142648620182016(2)(2)14264862018201622225325353253;5353535353535353253.53二次根二次根式混合式混合运算运算乘 法 公 式乘 法 公 式化简求值化简求值分母有理化分母有理化化简已知条件和所求代数式化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab课堂小结课堂小结
