1、 第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级:基础巩固练 一、选择题 1已知|a|2,|b|4,a b4,则向量 a 与 b 的夹角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 D 解析 cos a b |a|b| 4 24 1 2,0 ,180 ,120 .故选 D. 2已知向量 a,b 满足 a b0,|a|1,|b|2,则|2ab|( ) A0 B2 2 C4 D8 答案 B 解析 |2ab|24a24a bb28, |2ab|2 2. 3若平面四边形 ABCD 满足AB CD 0,(AB AD ) AC 0,则 该四边形一定是( ) A直角梯形 B矩形 C菱形 D正方形
2、答案 C 解析 由AB CD 0, 得平面四边形 ABCD 是平行四边形, 由(AB AD ) AC 0, 得DB AC 0, 即平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直, 则该四边形一定是菱形 4若非零向量 a,b 满足|a|2 2 3 |b|,且(ab)(3a2b),则 a 与 b 的夹角为( ) 第 - 2 - 页 共 6 页 - 2 - A 4 B 2 C3 4 D 答案 A 解析 由题意, 得(ab) (3a2b)3a22b2a b0, 即 a b3a2 2b2.又|a|2 2 3 |b|,所以 a b3 2 2 3 |b| 22b22 3b 2,所以 cosa, b a b |a|b
3、| 2 3b 2 2 2 3 b2 2 2 ,所以a,b 4. 5已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若非零向量 c 满足(ac) (bc)0,则|c|的最大值是( ) A1 B2 C 2 D 2 2 答案 C 解析 因为|a|b|1,a b0,(ac) (bc)c (ab)|c|2 |c|ab|cos|c|20, 其中 为 c 与 ab 的夹角, 所以|c|ab| cos 2cos 2,所以|c|的最大值是 2,故选 C. 二、填空题 6已知向量 a,b 的夹角为 45 ,且|a|4, 1 2ab (2a3b)12, 则|b|_;b 在 a 方向上的投影等于_ 答案 2 1 解析
4、a b|a|b|cosa,b4|b|cos45 2 2|b|, 又 1 2ab (2a3b)|a| 21 2a b3|b| 216 2|b|3|b|212, 解得 |b| 2或|b|2 2 3 (舍去) b 在 a 方向上的投影为|b|cosa,b 2cos45 1. 第 - 3 - 页 共 6 页 - 3 - 7已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60 ,cta(1t)b.若 b c 0,则 t_. 答案 2 解析 由题意,将 b cta(1t)b b 整理,得 ta b(1t)0, 又 a b1 2,所以 t2. 8在平行四边形 ABCD 中,AD1,BAD60 ,E 为 CD 的中 点若
5、AC BE 1,则 AB 的长为_ 答案 1 2 解析 因为BE BA AD DE AB AD 1 2AB AD 1 2AB ,所 以AC BE (AB AD ) AD 1 2AB AD 21 2AD AB 1 2AB 211 2 1|AB |cos60 1 2|AB |21,所以1 4|AB |1 2|AB |20,解得|AB |1 2. 三、解答题 9已知|a|2|b|2,且向量 a 在向量 b 方向上的投影为1. (1)求 a 与 b 的夹角 ; (2)求(a2b) b; (3)当 为何值时,向量 ab 与向量 a3b 互相垂直? 解 (1)|a|2|b|2, |a|2,|b|1. 第
6、- 4 - 页 共 6 页 - 4 - 又 a 在 b 方向上的投影为|a|cos1, cos1 2, 2 3 . (2)(a2b) ba b2b2123. (3)ab 与 a3b 互相垂直, (ab) (a3b)a23a bb a3b2431374 0, 4 7. 10 已知 a, b 是两个非零向量, 当 atb(tR)的模取得最小值时, (1)求 t 的值(用 a,b 表示); (2)求证:b 与 atb 垂直 解 (1)|atb|2a2t2b22ta b b2 ta b b2 2a2a b 2 b2 . 当 ta b b2 时,|atb|取得最小值 (2)证明:因为(atb) ba b
7、tb2a ba b b2 b20,所以 atb 与 b 垂直 B 级:能力提升练 1设向量 a,b,c 满足 abc0,(ab)c,ab,若|a|1, 则|a|2|b|2|c|2的值是_ 答案 4 解析 由 abc0,得(abc)20,得 a2b2c22(a bb cc a)0. 又(ab)c,ab, (ab) c0,a b0.a cb c. a2b2c24b c,b2c214b c. 由 abc0,得 bca, 第 - 5 - 页 共 6 页 - 5 - 故(bc)21,即 b2c22b c1. 由得 b c1,故 a2b2c24,即|a|2|b|2|c|24. 2在四边形 ABCD 中,已
8、知 AB9,BC6,CP 2PD . (1)若四边形 ABCD 是矩形,求AP BP 的值; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,且AP BP 6,求AB 与AD 夹角 的余弦值 解 (1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以AD DC 0, 由CP 2PD ,得DP 1 3DC ,CP 2 3CD 2 3DC . 所以AP BP (AD DP ) (BC CP ) AD 1 3DC AD 2 3DC AD 21 3AD DC 2 9DC 2362 98118. (2)由题意,AP AD DP AD 1 3DC AD 1 3AB , BP BC CP BC 2 3CD AD 2 3AB , 所以AP BP AD 1 3AB AD 2 3AB AD 21 3AB AD 2 9AB 2 361 3AB AD 18181 3AB AD . 又AP BP 6, 第 - 6 - 页 共 6 页 - 6 - 所以 181 3AB AD 6, 所以AB AD 36. 又AB AD |AB |AD |cos96cos54cos, 所以 54cos36,即 cos2 3. 所以AB 与AD 夹角的余弦值为2 3.