1、4.84.8正弦定理和余弦定理应用举例正弦定理和余弦定理应用举例教教材材研研读读1.1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等计算面积问题等.2.2.实际问题中的常用角实际问题中的常用角3.3.解三角形应用题的一般步骤解三角形应用题的一般步骤考考点点突突破破 考点一考点一 测量距离问题测量距离问题 考点二考点二 测量高度测量高度 考考点三点三 测量角度问题测量角度问题1 1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度测量距离、
2、高度、角度问题、角度问题,计算面积问题等计算面积问题等.教材研读教材研读2.2.实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图甲).(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北偏西45等.(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的方位角为(如图乙).(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比)3.3.解三角形应用题的一般步骤解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实
3、际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算等的要求.1.从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则与的关系为(B)A.B.=C.+=90D.+=1802.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A.akmB.akmC.akmD.2akm233.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A
4、的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度为(D)A.10mB.20mC.20mD.40m234.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60,则A、C两点之间的距离为千米.65.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为海里/时.17 62解析解析如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45.在PMN中,=,MN=68=34(海里).sin120MNsin45PM32226又由M到N所用的时间为14-10=
5、4(小时),此船航行的速度v=海里/时.34 6417 62测量距离问题测量距离问题典例典例1如图所示,某旅游景点有一座山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,而小王和小李打算花2个小时的时间进行徒步攀登,已知ABC=120,ADC=150,BD=1km,AC=3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米,请问:小王和小李能否在2个小时内徒步登上山顶?(即从B点出发到达C点)考点突破考点突破解析解析在ABD中,由题意知,ADB=BAD=30,所以AB=BD=1,因为ABD=120,由正弦定理得=,解得AD=.sinABADBsinADABD3在ACD中,由AC2=AD2+DC2
6、-2ADCDcos150,得9=3+CD2+2CD,即CD2+3CD-6=0,解得CD=,所以BC=BD+CD=,2个小时小王和小李可徒步攀登12502=2500(米)=2.5(千米),而=2.5,所以小王和小李可以在2个小时内徒步登上山顶.332333233123312361252探究探究若本例条件“BD=1 km,AC=3 km”变为“BD=200 m,CD=300 m”,其他条件不变,则这条索道AC长为100 m.39解析解析在ABD中,BD=200,ABD=120.因为ADB=30,所以DAB=30,由正弦定理,得=,所以=,所以AD=200(m).在ADC中,DC=300m,ADC=
7、150,sinBDDABsinADABD200sin30sin120AD3所以AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC=(200)2+3002-2200 300cos150=390000,所以AC=100m.故这条索道AC长为100m.333939方法技巧方法技巧求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;(2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形.易错警示易错警示解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.1-1如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四
8、边形ABCD各边的长度:AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,且B与D互补,则AC的长为(A)A.7kmB.8kmC.9kmD.6km解析解析82+52-285cos(-D)=32+52-235cosD,cosD=-,在ACD中,由余弦定理可计算得AC=7.则AC的长为7km.1249测量高度测量高度典例典例2如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=100m.6解析解析依题意有AB=600,CAB=30,CBA=180-75=105,DB
9、C=30,DCCB.ACB=45,在ABC中,由=,得=,有CB=300,在RtBCD中,CD=CBtan30=100,则此山的高度CD=100 m.sinABACBsinCBCAB600sin45sin30CB266易错警示易错警示解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念.(2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出错.(3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.2-1(2018浙江名
10、校协作体联考)如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上,仰角为60,在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上,仰角为30.若A,B两点相距130m,则塔CD的高度为10m.39解析解析设CD=hm,则AD=m,BD=hm,在ADB中,ADB=180-20-40=120,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BDADcos120,可得1302=3h2+-2h,解得h=10(负值舍去),故塔的高度为10m.3h323h33h123939典例典例3如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发现在北偏东45方向,相距12km的水
11、面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时10km的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14km的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.测量角度问题测量角度问题解析解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x小时,则AC=14x(km),BC=10 x(km),ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xcos120,解得x=2(负值舍去).故AC=28km,BC=20km.根据正弦定理得=,解得sin=.所以要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间为2小时,角
12、的正弦值为.sinBCsin120AC20sin120285 3145 314易错警示易错警示解决测量角度问题的注意事项(1)明确方向角的含义;(2)分析题意,分清已知与所求,根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步;(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的综合运用.3-1从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条路线.路线1是从A沿直线步行到C,路线2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走路线2,乙走路线1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1040m,BC=500m,则sinBAC等于.119513解析解析依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为xm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以=,解得AC=1260m,在ABC中,由余弦定理可知cosBAC=,119ACx1040500119x2222ABACBCAB AC222104012605002 1040 12601213所以sinBAC=.21cosBAC212113513
