1、16.1 二次根式第第1 1课时课时 二次根式的定义二次根式的定义第十六章 二次根式利用被开方数的非负性求字母的值利用被开方数的非负性求字母的值利用二次根式的非负性求字母的值利用二次根式的非负性求字母的值利用二次根式的隐含条件求值利用二次根式的隐含条件求值利用二次根式的非负性求最值利用二次根式的非负性求最值利用二次根式的非负性解与三角形相关的问题利用二次根式的非负性解与三角形相关的问题利用二次根式的非负性求方程利用二次根式的非负性求方程(组组)中字母的值中字母的值12345614已知已知y2 3 ，求，求 的值的值1321x 1x1y12x 由被开方数的非负性，得由被开方数的非负性，得2x10
2、，且，且12x0，所以所以x ，且，且x .所以所以x .将将x 代入已知条件，得代入已知条件，得y .所以所以 235.解：解：121x131212121y解此类题的突破口是灵活运用二次根式有意义解此类题的突破口是灵活运用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数它是限制字母取的条件：被开方数是非负数它是限制字母取值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件.15已知已知 0，求，求x，y的值的值12xxy因为因为 0，0，且其和为，且其和为0，所以所以x10，xy20，解得，解得x1，y3.所以所以x，y的值分别为的值分别为1，3.解：解：1x a2，|a|
3、，都为非负数，即都为非负数，即a20，|a|0，0(a0)可利用可利用“若几个非负数之和为若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零零，则这几个非负数同时为零”解决问题解决问题方法总结：方法总结：2xyaa16已知已知a为实数，求式子为实数，求式子 的值的值2224aaa由题意得由题意得a20，a20，又又a20，a0，原式原式 00.解：解：22本题运用了定义法，解题关键在于先根据二次根式本题运用了定义法，解题关键在于先根据二次根式定义中被开方数为非负数这一条件及定义中被开方数为非负数这一条件及a20求出求出a0，然后将然后将a的值代入所求式子求出所求式子的值的值代入所求式子求出所求式子的
4、值17当当x取什么实数时，式子取什么实数时，式子 2的取值最小？并求的取值最小？并求 出这个最小值出这个最小值 0且由二次根式有意义的条件得且由二次根式有意义的条件得3x10，即即x ，所以当，所以当x 时，式子时，式子 2的取值的取值最小，最小值为最小，最小值为2.解：解：31x 31x 131331x 18已知已知a，b为一等腰三角形的两边长，且满足等式为一等腰三角形的两边长，且满足等式 b4，求此等腰三角形的周长，求此等腰三角形的周长.由题意知由题意知解得解得a2，b4，当三边长分别为，当三边长分别为2，2，4时不能构时不能构成三角形，当三边长分别为成三角形，当三边长分别为4，4，2时能
5、构成三角形，时能构成三角形，此等腰三角形的周长为此等腰三角形的周长为10.解：解：2 363 2aa熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键20360,aa 19已知已知m满足满足 且且 ，求，求m的值的值依题意得：依题意得：xy2 018，把含有，把含有m的两个方程相加得：的两个方程相加得：5(xy)1m0，m10 091.解：解：230,32120,xymxym 2 018xy2 018xy2 01802 0180,xyxy 本题运用了整体代入的解题思想，由已知先确本题运用了整体代入的解题思想，由已知先确定定xy的值，再观察含有字母的值，再观察含有字
6、母m的两个方程的的两个方程的特点，把两个方程相加得出特点，把两个方程相加得出x与与y的和的有关式的和的有关式子，整体代入求出子，整体代入求出m的值的值16.1 二次根式第第2 2课时课时 二次根式的性质二次根式的性质第十六章 二次根式利用二次根式的性质计算利用二次根式的性质计算利用二次根式的性质化简、求值利用二次根式的性质化简、求值利用阅读信息探究规律列代数式利用阅读信息探究规律列代数式利用二次根式的性质辨析利用二次根式的性质辨析123416计算：计算：(3)(1)101(3)0 .22(1)5(6);(1)原式原式561.(2)原式原式433 2.(3)原式原式112(1)3 .解：解：13
7、2221(2)2 8(3)3;3121(12).2 217(1)若已知若已知x，y，z为实数，且为实数，且 0，试求，试求(xyz)2 019的值的值 (2)若若x，y为实数，且为实数，且y 2，化简：，化简：23(1)xy221zz22xx21442.2yyxy(1)0，x30，(y 1)20，z22z10.x3，y1，(z1)20.z1.(xyz)2 019(311)2 019(1)2 0191.(2)由由 得得x2，y2.原式原式 21.解：解：20,20,xx 223(1)21xyzz22yy 18【2017云南云南】观察下列各个等式的规律：】观察下列各个等式的规律：第一个等式：第一个
8、等式：1，第二个等式：第二个等式：2，第三个等式：第三个等式：3.请用上述等式反映出的规律解决下列问题：请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；直接写出第四个等式；(2)猜想第猜想第n个等式个等式(用用n的代数式表示的代数式表示)，并证明你猜，并证明你猜 想的等式是正确的想的等式是正确的 222112223212224312(1)由题目中式子的变化规律可得，由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：第四个等式是：4；(2)第第n个等式是：个等式是：n，证明：证明：n，第第n个等式是：个等式是：n.解：解：22541222(1)12nn 22(1)(1)1(1)1=22n
9、nnnnn2112=22nn 22(1)12nn19对于题目对于题目“化简并求值：化简并求值：，其中，其中a ”，甲、乙两人的解答不同甲、乙两人的解答不同 甲的解答如下：甲的解答如下：乙的解答如下：乙的解答如下：谁的解答是错误的？为什么？谁的解答是错误的？为什么？22112aaa1522211112aaaaaa11249;5aaaaa22211112aaaaaa111.5aaaa乙的解答是错误的理由如下：乙的解答是错误的理由如下：因为当因为当a 时，时，5，a 0，所以所以 a ，而应是，而应是 a.解：解：151a1a21aa 1a21aa 1a16.2 二次根式的乘除第第1 1课时课时 二
10、次根式的乘法二次根式的乘法第十六章 二次根式利用二次根式的乘法法则及性质进行计算利用二次根式的乘法法则及性质进行计算利用二次根式的相关性质求值利用二次根式的相关性质求值利用二次根式的乘法性质比较大小利用二次根式的乘法性质比较大小利用二次根式的性质探究规律利用二次根式的性质探究规律利用二次根式的性质巧化简利用二次根式的性质巧化简1234516计算：计算：(1)0.43.6;31(2)20(15)48;23 (3)224;xyxy3323(4)3(0,0).2aba bababb (1)原式原式解：解：22(2)2(2).xyxyxy0.4 3.61.441.2.(2)原式原式(3)原式原式(4)
11、原式原式311(1)20 15 4812060.232 335323932aaba ba bbbb 29.aab 16已知已知x为奇数，且为奇数，且 求求 的值的值(10)(8)108,xxxx2269121xxxxx 解：解：由已知条件得由已知条件得8x10.因为因为x为奇数，所以为奇数，所以x9.化简化简得得 (x3)6 .2269121xxxxx，22(3)(1)1xxx 1x 1017比较大小：比较大小：(1)5 和和3 ；(2)36 与与35 .3556解：解：(1)7545，(2)180150，即即36 35 .225 35375,3 53545,236 53653180,35 6
12、37545,5 33 5.2563150.180150.31803150,56方法总结：方法总结：比较两个含二次根式的式子大小的方法：可以转比较两个含二次根式的式子大小的方法：可以转化成比较两个被开方数的大小，即可以将根号外化成比较两个被开方数的大小，即可以将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数后，的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大如果是两个正数相比较，也可以采平方根也大如果是两个正数相比较，也可以采用平方法，如用平方法，如(4 )248，(3 )245.4845，4 3 .533
13、518观察下列各式子，并回答下面的问题观察下列各式子，并回答下面的问题 第第1个：个：第第2个：个：第第3个：个：第第4个：个：(1)试写出第试写出第n(n为正整数为正整数)个式子个式子(用含用含n的代数式表示的代数式表示)，这个式子一定是二次根式吗？为什么？这个式子一定是二次根式吗？为什么？(2)你估计第你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由试说明理由211 222 233 244(1)，该式子一定是二次根式；，该式子一定是二次根式；n为正整数时，为正整数时，n2nn(n1)0，一定是二次根式一定是二次根式(2)第第16个式子的值应在个式子
14、的值应在15与与16之间之间 理由如下：理由如下：，15，16，15 16.第第16个式子的值应在个式子的值应在15与与16之间之间解：解：2nn 2nn 21616=240 22525624019先阅读下面的解答过程，然后再解题：先阅读下面的解答过程，然后再解题：形如形如 的化简，只要我们找到两个正数的化简，只要我们找到两个正数a，b (ab)，使，使()2()2m，那么便，那么便 有：有：例如：化简例如：化简 解：解：，这里，这里m7，n12，由于，由于()2()2 7，利用上面的方法化简：利用上面的方法化简：2mn ababn22().mnabab72 12.72 12 4343=12
15、372 12(43)23.132 42.原式原式解：解：2272 426(7)2 67(6)2(76)76.16.2 二次根式的乘除第第2 2课时课时 二次根式的除法二次根式的除法第十六章 二次根式利用二次根式的乘除法法则计算利用二次根式的乘除法法则计算利用商的算术平方根的性质求代数式的值利用商的算术平方根的性质求代数式的值利用二次根式的性质活用代数式表示数利用二次根式的性质活用代数式表示数利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化123416计算：计算：313(1)445;2521112(2)3 215.3825 (1)原式原式解：解：231145545 5
16、 515 5.325 (2)原式原式117237 5 51531514.8235428 17已知已知 ，且，且x为奇数为奇数，求求(1+x)的值的值6699xxxx 22541xxx 解：解：，6x9.又又x是奇数，是奇数，x7.(1x)(1x)(1x)当当x7时，原式时，原式6699xxxx 60,90,xx 22541xxx(1)(4)(1)(1)xxxx4(1)(4).1xxxx (71)(74)2 6.18老师在讲解老师在讲解“二次根式及其性质二次根式及其性质”时，在黑板上写下了时，在黑板上写下了 下面的一题作为练习：已知下面的一题作为练习：已知 a，b，用含，用含 有有a，b的代数式
17、表示的代数式表示 .甲的解法：甲的解法：乙的解法：乙的解法：，因为因为 ，所以，所以 请你解答下面的问题：请你解答下面的问题：(1)甲、乙两人的解法都正确吗？甲、乙两人的解法都正确吗？(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法请你再给出一种不同于上面两人的解法704.974949 107 704.91010 1010 7701010ab ；4.949 0.17 0.11770.1107070ab4.97 0.1 77.aabb(1)都正确都正确(2)解：解：707010,77ba77710.101010bbaa4949 104.91010 10 19化简化简 ，甲、乙两位同学的解法如下：，甲、乙
18、两位同学的解法如下：甲：甲：乙：乙：以上两种化简的步骤叫做分母有理化以上两种化简的步骤叫做分母有理化 仿照上述两种方法化简：仿照上述两种方法化简：.132 13232;32(32)(32)132(32)(32)32.323232275 方法方法1：解：解：22(75)75(75)(75)方法方法2：2(75)=7+5.2 2757575 (75)(75)=75.75 16.3 二次根式的加减第第1 1课时课时 二次根式的加减二次根式的加减第十六章 二次根式利用二次根式的加减法法则计算利用二次根式的加减法法则计算利用被开方数相同的最简二次根式的定义求值利用被开方数相同的最简二次根式的定义求值利用
19、二次根式的加减求代数式的值利用二次根利用二次根式的加减求代数式的值利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值式的整数部分和小数部分求代数式的值利用二次根式的运算解三角形问题利用二次根式的运算解三角形问题1234515计算：计算：(1)【2016泰州泰州】(2)【2016茂名茂名】(1)2 016|(3.14)0；(3)111232;238221962.34xxxx(1)原式原式(2)原式原式(3)原式原式解：解：111(2 332)32.22212 2212.2323.xxxx16若若 和和 是被开方数相同的最是被开方数相同的最 简二次根式求：简二次根式求：(1)x，y的值；的值；(2)的值
20、的值31025xxy(1)由题意得由题意得3x102，2xy5x3y11，解得解得x4，y3.(2)当当x4，y3时，时，5.解：解：222243xy311xy22xy 17已知已知ab ，bc ，求，求a2b2c2 abacbc的值的值a2b2c2abacbc .因为因为ab ，bc ，所以所以ac2 .所以原式所以原式 18.解：解：222()()()2abacbc5+353 53 53 5222()()()2abacbc 222(53)(2 5)(53)2解此题的关键是配方，将待求值的式子化成三解此题的关键是配方，将待求值的式子化成三个完全平方式的和除以个完全平方式的和除以2的形式，然后
21、利用的形式，然后利用整整体思想体思想进行计算即可进行计算即可18已知已知x ，y ，求，求x2y2的值的值2323 因为因为x 74 ，y 74 ，所以所以xy14，xy1.所以所以x2y2(xy)22xy14221194.解：解：32323 2323 2323 319已知已知7 和和7 的小数部分分别为的小数部分分别为a，b，试求代数式试求代数式aba4b3的值的值5因为因为 的整数部分为的整数部分为2，所以所以7 9a，7 4b，即，即a2 ，b3 .所以所以aba4b3(2 )(3 )(2 )4(3 )3115 2 124 30.解：解：555555555555520已知已知a，b，c满
22、足满足|a|(c )20.(1)求求a，b，c的值的值 (2)以以a，b，c的值为边长的三条线段能构成三角形吗？的值为边长的三条线段能构成三角形吗？并说明你的理由并说明你的理由(1)由非负数的性质知由非负数的性质知a 0，b 0，c 0，所以，所以a2 ，b3 ，c4 .(2)能理由：因为能理由：因为abc，ab2 3 5 ，c4 ，所以，所以abc.所以以所以以a，b，c的值为边长的的值为边长的 三条线段能构成三角形三条线段能构成三角形解：解：8322188328b 22222217.1 勾股定理第第1 1课时课时 勾股定理勾股定理第十七章 勾股定理利用勾股定理求直角三角形中的边长利用勾股定
23、理求直角三角形中的边长利用勾股定理解四边形问题利用勾股定理解四边形问题利用勾股定理求折叠中线段的长利用勾股定理求折叠中线段的长利用勾股定理解非直角三角形问题利用勾股定理解非直角三角形问题123413如图，在如图，在ABC中，中，CDAB于于D，AC4，BC3，BD ，求：，求：(1)CD的长；的长；(2)AB的长的长95(1)在在RtBCD中，中，CD2BC2BD232 ，所以所以CD .(2)在在RtACD中，中，AD2AC2CD242 ，所以所以AD .所以所以ABADBD 5.解：解：29144525 125212156525 1659516514如图，每个小正方形的边长为如图，每个小正
24、方形的边长为1.求：求：(1)线段线段AD的长度；的长度；(2)四边形四边形ABCD的面积的面积(1)因为因为AD2324225，所以所以AD5.(2)S四边形四边形ABCD75 17 24 12 (15)317.5.解：解：1212121215在长方形纸片在长方形纸片ABCD中，中，AD4 cm，AB10 cm，按如图所示的方式折叠，使点按如图所示的方式折叠，使点B与与D重合，折痕为重合，折痕为 EF，求，求DE的长的长设设DEx cm，则，则BEDEx cm.AEABBE(10 x)cm.在在RtADE中，由勾股定理，中，由勾股定理，得得DE2AE2AD2，即即x2(10 x)242，解得
25、解得x .即即DE的长为的长为 cm.295解：解：295在折叠的过程中，在折叠的过程中，BEDE.从而设从而设DE即可表示即可表示AE.在在RtADE中，根据勾股定理列方程即可中，根据勾股定理列方程即可求解求解16【中考中考柳州柳州】如图，在】如图，在ABC中，中，D为为AC边的中点，边的中点，且且DBBC，BC4，CD5.(1)求求DB的长；的长；(2)求求ABC中中BC边上的高边上的高(1)DBBC，BC4，CD5，BD 3.(2)如图，延长如图，延长BD至至E，使，使DEBD，连接，连接AE.D是是AC的中点，的中点，ADDC.在在BDC和和EDA中，中，BDC EDA(SAS)，DA
26、EDCB，AEBC.BDBC，BEAE.BE与与ABC中中BC边上的高相等，边上的高相等，又又BE2BD6，ABC中中BC边上的高为边上的高为6.2254 解：解：,DCDABDCEDADBDE 17.1 勾股定理第第2 2课时课时 勾股定理在求距离中的勾股定理在求距离中的应用应用第十七章 勾股定理利用勾股定理借助水中物体变化情况求水深利用勾股定理借助水中物体变化情况求水深利用勾股定理求圆柱中最短距离利用勾股定理求圆柱中最短距离利用勾股定理解答实际生活中综合应用问题利用勾股定理解答实际生活中综合应用问题利用勾股定理解最短距离问题利用勾股定理解最短距离问题123410在波平如镜的湖面上，有一朵盛
27、开的美丽的红莲，它在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它 高出水面高出水面3尺尺(如图如图)突然一阵大风吹过，红莲被吹至突然一阵大风吹过，红莲被吹至 一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平 距离为距离为6尺，请问水深多少？尺，请问水深多少？设水深设水深h尺如图，在尺如图，在RtABC中，中，ABh尺，尺，AC(h3)尺，尺，BC6尺由勾股定理得尺由勾股定理得AC2AB2BC2，即即(h3)2h262.解得解得h4.5.所以水深所以水深4.5尺尺解：解：本题利用了本题利用了方程思想方程思想，关键是根据题意画出图，关键是根据题意画出图形
28、，再利用勾股定理列方程求解形，再利用勾股定理列方程求解11如图，圆柱形无盖玻璃容器，高为如图，圆柱形无盖玻璃容器，高为18 cm，底面周长为，底面周长为 60 cm，在外侧距下底，在外侧距下底1 cm的点的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛处有一蜘蛛，与蜘蛛 相对的圆柱形容器的上口外侧距开口相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1 cm的的F处有一处有一 苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线 的长度的长度将曲面沿将曲面沿AB展开，如图所示，连接展开，如图所示，连接CF，过点，过点C作作CEAB于于E，在在RtCEF中，中，CEF90，EF181116(cm
29、)，CE 6030(cm)，由勾股定理，得由勾股定理，得CF2CE2EF21 156，所以所以CF34 cm.即蜘蛛所走的最短路线的长度是即蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.解：解：1212如图，公路如图，公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交会，且处交会，且QPN 30.点点A处有一所中学，处有一所中学，AP160 m假设一拖假设一拖 拉机在公路拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶，周围方向行驶，周围100 m以内以内 (包括包括100 m)会受到噪音的影响会受到噪音的影响 (1)该学校是否会受到噪音的影响？请说明理由该学校是否会受到噪音的影响？请说明理由 (2)若受影响，已知拖拉机的速度
30、为若受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，则学，则学 校受到影响的时间有多长？校受到影响的时间有多长？如图，过点如图，过点A作作ABPN于点于点B，根据垂线段最短可，根据垂线段最短可知，若知，若AB100 m，则不受影响；若，则不受影响；若AB100 m，则受影响若受影响，则首先需要找出受影响时拖则受影响若受影响，则首先需要找出受影响时拖拉机行驶的路段，再构建直角三角形并利用勾股定拉机行驶的路段，再构建直角三角形并利用勾股定理求出该路段的长，进而可求出受影响的时间理求出该路段的长，进而可求出受影响的时间分析：分析：(1)学校会受到噪音的影响学校会受到噪音的影响 理由：如图，过点理由：如图，
31、过点A作作ABPN，垂足为点，垂足为点B，则有则有ABP90.AP160 m，QPN30，AB AP 16080(m)80 m100 m，学校会受到噪音的影响学校会受到噪音的影响12解：解：12(2)如图，以如图，以A为圆心，为圆心，100 m为半径作弧，交为半径作弧，交PN于点于点C，D(C，D分别在分别在BP，BN上上)，连接，连接AC，AD.即当拖拉机在公路即当拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶到点方向行驶到点C处时，学处时，学 校开始受到噪音的影响，直到拖拉机行驶到点校开始受到噪音的影响，直到拖拉机行驶到点D以外时，以外时，学校才不受拖拉机噪音的影响学校才不受拖拉机噪音的影响 在在R
32、tABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 BC2AC2AB210028023 600.BC 60(m)同理同理BD60 m.CDBCBD6060120(m)学校受噪音影响的时间为学校受噪音影响的时间为 (1201 000)18 (h)24(s)3 600115013如图，如图，A，B两村在河边两村在河边CD的同侧，两村到河边的的同侧，两村到河边的 距离分别为距离分别为AC1 km，BD3 km，且，且CD3 km.现要在河边现要在河边CD上建一水厂向上建一水厂向A，B两村输送自来水，两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米铺设水管的工程费用为每千米2 000元请你在元请你在CD 上选择水
33、厂位置上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求，使铺设水管的费用最省，并求 出此时铺设水管的总费用出此时铺设水管的总费用铺设水管的费用与水管的长度有关，所以本题铺设水管的费用与水管的长度有关，所以本题的关键是使点的关键是使点O到点到点A，B的距离之和最小此的距离之和最小此时可考虑作点时可考虑作点A关于直线关于直线CD的对称点，根据的对称点，根据“两两点之间，线段最短点之间，线段最短”先确定点先确定点O的位置，再利用的位置，再利用勾股定理进行求解勾股定理进行求解分析：分析：如图所示，作点如图所示，作点A关于直线关于直线CD的对称点的对称点A，连接，连接AB交交CD于点于点O，则点，则点O即为
34、水厂的位置连接即为水厂的位置连接AO，过，过点点A作作AEBD交交BD的延长线于点的延长线于点E，则，则AECD3 km，DEACAC1 km.BEBDDE314(km)在在RtAEB中，中，AB 5(km)OAOBOAOBAB5 km.总费用为总费用为52 00010 000(元元)222234A EBE解：解：17.1 勾股定理第第3 3课时课时 勾股定理在几何中的应用勾股定理在几何中的应用第十七章 勾股定理利用勾股定理作长度为利用勾股定理作长度为 的线段的线段利用勾股定理求线段长利用勾股定理求线段长利用勾股定理探究三角形三边关系利用勾股定理探究三角形三边关系利用勾股定理证明平方关系利用勾
35、股定理证明平方关系1234n11如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点以格点为顶点画三角形每个小格的顶点叫做格点以格点为顶点画三角形 (1)使三角形的三边长分别为使三角形的三边长分别为 3，2 ，.(2)使三角形的周长为使三角形的周长为 .25105+17(1)如图如图中的中的ABC为所求的三角形为所求的三角形(2)如图如图中的中的ABC的三边长分别为的三边长分别为 ，三角形的周长为三角形的周长为 .解：解：10517，10+5+17在网格中画长为在网格中画长为 的线段的步骤：的线段的步骤：(1)设法设法将将n表示成两个整
36、数的平方和；表示成两个整数的平方和；(2)构造直角构造直角三角形，使直角三角形的两条直角边长等于三角形，使直角三角形的两条直角边长等于第一步得出的两个整数的值，斜边即为长为第一步得出的两个整数的值，斜边即为长为 的线段的线段方法总结：方法总结：nn如图，连接如图，连接BD.因为因为ABAD，A60，所以所以1ABD 60.所以所以ABD是等边三角形所以是等边三角形所以BD8.又又12150，则，则290.设设BCx，则，则CD16x，由勾股定理得由勾股定理得x282(16x)2.解得解得x10.所以所以BC10，CD6.12如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABAD8，A60，D15
37、0，四边形的周长，四边形的周长 为为32，求，求BC和和CD的长度的长度解：解：18060213阅读理解阅读理解 如图，在如图，在ABC中，中，BCa，CAb，ABc.(1)若若C为直角，则为直角，则a2b2c2；(2)若若C为锐角，则为锐角，则a2b2与与c2的关系为的关系为a2b2c2；(3)若若C为钝角，试推导为钝角，试推导a2b2与与c2的关系的关系 探究问题探究问题在在ABC中，中，BCa3，CAb4，ABc，若，若ABC是钝角三角形，求第三边是钝角三角形，求第三边c的取值的取值 范围范围阅读理解阅读理解(3)如图所示，作如图所示，作ADBC交交BC的延长线的延长线于于D，则，则BD
38、BCCDaCD，在在RtABD中，中，AD2AB2BD2.在在RtACD中，中，AD2AC2CD2，AB2BD2AC2CD2，c2(aCD)2b2CD2，整理得整理得a2b2c22aCD.a0，CD0，a2b2c2；解：解：探究问题探究问题当当C为钝角时，为钝角时，cab，a3，b4，c34，即，即5c7；当当B为钝角时，为钝角时，bac ，a3，b4，43c ，即，即1c .综上所述第三边综上所述第三边c的取值范围为的取值范围为5c7或或1c .22ab 2234 22ba 2243 7714如图，在如图，在RtABC中，中，C90，点，点D是是AB的中的中 点，点点，点E，F分别为分别为A
39、C，BC的中点，的中点，DEDF.求证：求证：AE2BF2EF2.如图，延长如图，延长ED至点至点G，使，使DGED，连接，连接BG，FG.在在ADE和和BDG中，中，ADDB，12，EDDG，ADE BDG(SAS)AEBG，34.又又4590，3590.又又DFEG，DEDG，FGEF.在在RtFBG中，中，BG2BF2FG2，即即AE2BF2EF2.证明：证明：17.2 勾股定理的逆定理第第1 1课时课时 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理第十七章 勾股定理利用三角形三边的数量关系求网格中三角形的面积和角度利用三角形三边的数量关系求网格中三角形的面积和角度利用直角三角形的边角关系求线段长利
40、用直角三角形的边角关系求线段长利用勾股数的特征求直角三角形的边长利用勾股数的特征求直角三角形的边长利用勾股定理的逆定理求角的度数利用勾股定理的逆定理求角的度数123413如图，每个小方格都是边长为如图，每个小方格都是边长为1的正方形，的正方形，(1)求四边形求四边形ABCD的面积；的面积；(2)求求ABC的度数的度数(1)S四边形四边形ABCDSABCSACD 52 53 .(2)因为因为AB2224220，BC212225，AC25225，所以所以AB2BC2AC2.所以所以ABC90.解：解：121225214如图，已知如图，已知ABC中，中，AB8，BC10，AC6.(1)判断判断ABC
41、是什么三角形；是什么三角形；(2)用尺规作出边用尺规作出边BC的垂直平分线，交的垂直平分线，交BC于点于点D，交，交 AB于点于点E；(不写作法，保留作图痕迹不写作法，保留作图痕迹)(3)连接连接CE，求，求CE的长的长(1)因为因为AB8，BC10，AC6，1028262，所以所以BC2AB2AC2，所以，所以ABC是直角三角形是直角三角形(2)如图所示如图所示(3)如图，设如图，设CEx，因为因为DE垂直平分垂直平分BC，所以所以BECEx，在在RtACE中，可得：中，可得：CE2AE2AC2，即即x2(8x)262，解得解得x6.25.所以所以CE的长为的长为6.25.解：解：15【20
42、17宜昌宜昌】阅读：能够成为直角三角形三条边长】阅读：能够成为直角三角形三条边长 的三个正整数的三个正整数a，b，c称为勾股数世界上第一次给称为勾股数世界上第一次给 出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算 术，其勾股数组公式为：术，其勾股数组公式为：其中其中mn0，m，n是互质的奇数是互质的奇数 应用：当应用：当n1时，求有一边长为时，求有一边长为5的直角三角形的另的直角三角形的另 外两条边长外两条边长22221()21().2amnbmncmn 当当n1时，时，a (m21)，bm，c (m21)，直角三角形有一边长为直角三角形有一边长为5，.当
43、当a5时，时，(m21)5，解得：，解得：m (舍去舍去)，.当当b5时，即时，即m5，代入，代入得，得，a12，c13，.当当c5时，时，(m21)5，解得：，解得：m3，m0，m3，代入，代入得，得，a4，b3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或或3，4.12解：解：1112121216在在ABC中，中，CACB，ACB，点，点P为为ABC内内 一点，将一点，将CP绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转得到得到CD，连接，连接AD.(1)如图如图，当，当60，PA10，PB6，PC8时，时，求求BPC的度数；的度数；(2)如图如图，当，当9
44、0时，时，PA3，PB1，PC2时，时，求求BPC的度数的度数(1)如图如图，连接，连接DP，易知，易知DCP为等边三角形，为等边三角形，易证得易证得CPB CDA，BPCADC，CDP60，AD6，DP8，AD2DP2AP2，ADP90，ADC150，BPC150.解：解：(2)如图如图，连接，连接DP，易得，易得DCP为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，易证得易证得CPB CDA，BPCADC，CDP45，AD1，DP2 ，AD2DP2AP2，ADP90，ADC135，BPC135.218.1 平行四边形第第1 1课时课时 平行四边形的边、角性质平行四边形的边、角性质第十八章 平行四边形在
45、在 ABCD中，中，DAB的平分线分边的平分线分边BC为为3 cm和和4 cm两两部分，则部分，则 ABCD的周长为的周长为()A20 cm B22 cmC10 cm D20 cm或或22 cmD2易错小结易错小结易错点：易错点：不注意分情况讨论，造成漏解不注意分情况讨论，造成漏解.情况一，如图情况一，如图，BE3 cm，CE4 cm.四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ADBC，ABCD，ADBC，DAEAEB.AE平分平分BAD，BAEDAE，BAEAEB，ABBE3 cm，平行四边形平行四边形ABCD的周长的周长(334)220(cm)情况二，如图情况二，如图，BE4 cm，
46、CE3 cm.同理可得同理可得ABBE4 cm，平行四边形平行四边形ABCD的周长的周长(443)222(cm)本题利用了分类讨论思想，本题利用了分类讨论思想，AE把把BC分成分成3 cm和和4 cm两部分，没有明确哪部分是两部分，没有明确哪部分是3 cm，哪部分是，哪部分是4 cm，所，所以分两种情况以分两种情况利用平行四边形边的性质求线段长利用平行四边形边的性质求线段长利用平行四边形边角性质求线段长利用平行四边形边角性质求线段长利用平行四边形的定义和性质探究线段的相等关系利用平行四边形的定义和性质探究线段的相等关系利用平行四边形的定义和性质探究线段的位置关系利用平行四边形的定义和性质探究线
47、段的位置关系123413【2017湘潭湘潭】如图，在】如图，在 ABCD中，中，DECE，连接，连接 AE并延长交并延长交BC的延长线于点的延长线于点F.(1)求证：求证：ADE FCE；(2)若若AB2BC，F36，求，求B的度数的度数(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC.DAEF.DEACEF，DECE，ADE FCE.(2)解：解：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC.ADE CEF，ADCF.CBCF.BF2BC.AB2BC，BFAB.F36，FABF36.B180236108.14【2016梅州梅州】如图，】如图，ABCD中，
48、中，BDAD，A 45，E，F分别是分别是AB，CD上的点，且上的点，且BEDF，连接连接EF交交BD于于O.(1)求证：求证：BODO；(2)若若EFAB，延长，延长EF交交AD的延长线于的延长线于G，当，当FG 1时，求时，求AE的长的长(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，DCAB，ODFOBE.在在ODF和和OBE中，中，ODF OBE(AAS)，BODO.证明：证明：,ODFOBEDOFBOEDFBF (2)EFAB，ABDC，GEAGFD90.A45，GA45.AEGE.BDAD，ADBGDO90.GODG45.DGDO.OFFG1.由由(1)可知，可知，ODF O
49、BE，OEOF1.GEOEOFFG3.AE3.解：解：15如图所示的是某城市部分街道示意图，如图所示的是某城市部分街道示意图，AFBC，ECBC，BADE，BDAE.甲、乙两人同时从甲、乙两人同时从 B站乘车到站乘车到F站，甲乘站，甲乘1路车，路线是路车，路线是BAEF，乙乘乙乘2路车，路线是路车，路线是BDCF.假设两车速度相假设两车速度相 同，途中耽误时间相同，那么谁先到达同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说站？请说 明理由明理由两人同时到达两人同时到达F站理由如下：站理由如下：BADE，BDAE，四边形四边形ABDE是平行四边形是平行四边形BADE，BDAE，且且SABDSADE
50、.AFBC，ECBC，ECAF.EF为为ADE的边的边AD上的高，上的高，CF与与ABD的边的边AD上的高相等上的高相等SABD ADCF，SADE ADEF.12解：解：12SABDSADE，CFEF.DF为为EC的垂直平分线，的垂直平分线，DCDE.又又BADE，DCBA.由由得得BAAEEFBDDCCF.又又两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同，相同，两人同时到达两人同时到达F站站在两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时在两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同的情况下，哪一个人所走的路程较短，间相同的情况下，哪一个人所走的路程较短，则
