1、2.5 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和 传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活中，发现了64格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和奥妙，决定要重赏发明人他的宰相西萨班达依尔，让他随意选择奖品.宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他四粒麦子依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求.实际上国王能满足宰相的要求吗？1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点）2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点）3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1
2、q =a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2 =a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)探究：等比数列的前n项和公式12313(1)(1)(1)11aqqqaqSqq1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq观察：1(1)(1)1nnaqSqq猜想得：Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn -得：Sn(1-q)=a1-a1qn当q1时，1(1).1nnaqSq等比数列an的前n项和 11 ,1(1
3、).11nnnaqSaqqq有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题1：a1=1,q=2,n=64.可得:S64=估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.64641(1-2)=2-1()=18 446 744 073 709 551 615()1-2粒粒1.注意q=1与q1两种情形2.q1时，nnnaa qa(q)Sqq 111113.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.11 ,1(1).11nnnaqSaqqq1919例例 求求下下列列等等比比数数列列前前8 8项项的的和和:111111（1 1）,.,.248
4、2481 1（2 2）a a 2727，a a，q 0.q 0.243243 为为1 188888 88 811111 因1 因a=,q=,n=8，a=,q=,n=8，2222111111111-1-1-1-2222222212551255所所以以S=1-=.S=1-=.1111225622561-1-2222解解:当当时时 8 81 19 98 88 81 11 12 2 由由a a=2 27 7,a a=,可可得得2 27 7q q,2 24 43 32 24 43 3又又由由q q 0,a10),则此数列的通项公式为_.an=(a1)an 4.2+(2+22)+(2+22+23)+(2+22+23+210）=_.21224 等比数列的前n项和公式111(1),111,1nnnnaa qaqSqqqSnaq -=-=12nnSaaa=+鬃 错 位 相 减 法通项公式nnSanqa,1求和公式知三求二
