1、2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2激趣诱思知识点拨海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际,一轮红日慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着斑斓的霞光和迷人的风采.这个过程中,太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.激趣诱思知识点拨直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系及判断激趣诱思知识点拨名师点析几何法更为简洁和常用.激趣诱思知识点拨微练习直线3x+4y=5与圆x2+y2=16
2、的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相切或相交答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思
3、感悟直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径一是点到直线的距离与半径大小的关系大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方三是两方程组成的方程组解的个数程组解的个数.因此因此,若给出图形若给出图形,可根据公共点的个数判断可根据公共点的个数判断;若给出若给出直线与圆的方程直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法可选择用几何法或代数法,几何法计算量小几何法计算量小,代数代数法可一同求出交点法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择解题时可根据条件作出恰当的选择.探究一探究二探究
4、三素养形成当堂检测直线与圆相切直线与圆相切例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.解:因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.探究一探
5、究二探究三素养形成当堂检测反思感悟切线方程的求法1.求过圆上一点求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜先求切点与圆心连线的斜率率k,则由垂直关系则由垂直关系,切线斜率为切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程由点斜式方程可求得切线方程.若若k=0或斜率不存在或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为则由图形可直接得切线方程为y=b或或x=a.2.求过圆外一点求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时的圆的切线时,常用几何方法求解常用几何方法求解设切线方程为设切线方程为y-y0=k(x-x0),即即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等由圆心到直线
6、的距离等于半径于半径,可求得可求得k,进而切线方程即可求出进而切线方程即可求出.但要注意但要注意,此时的切线有此时的切线有两条两条,若求出的若求出的k值只有一个时值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在则另一条切线的斜率一定不存在,可可通过数形结合求出通过数形结合求出.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测直线与圆相交直线与圆相交例3求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解
7、法都可求得弦长.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2 ,求圆C的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测两直线交点为(2,1).设直线l的斜率为k1,l与x+y-2=0垂直,k1=1,l过点(2,1),l的方
8、程为y-1=x-2,即x-y-1=0;探究一探究二探究三素养形成当堂检测一题多解一题多解直线与圆相切和光的反射直线与圆相切和光的反射典例自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.分析l过点A,欲求其方程需求斜率k或与x轴的交点B.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(方法2)已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1相切.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y
9、-3=0.(方法3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切,探究一探究二探究三素养形成当堂检测点评本题是方程思想的典型应用,考查的重点在于设置怎样的未知数,依怎样的性质列方程,方法1、方法2属常规方法,方法3设置两个未知数,体现了列方程的方法在具体运用时的灵活性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离 D.相交但不过圆心答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是()答案:B 3.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为.答案:2x+y-5=0 探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.
