1、-1-11.1.1空间几何体与斜二测画法课前篇自主预习一、空间几何体1.思考我们以前接触过的几何体有哪些?提示:正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球.2.填空课前篇自主预习3.做一做(1)观察如下图所示的物体,将每个建筑物可抽象出的几何体画出来.提示:课前篇自主预习(2)观察如下图所示的物体,说出几何体的名称.提示:球,圆柱 课前篇自主预习二、斜二测画法1.思考问题1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗?提示:为了直观,不一定.问题2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么?提示:平行四边形、椭圆形,为增加直观性.问题3:这种作图方法与在直角坐标系中
2、画平面图的方法相同吗?提示:不相同.课前篇自主预习2.填空(1)立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观图.(2)一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如下:建系在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,使得它们正方向的夹角为45或135平行不变平面图形中平行或重合于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行或重合于x轴或y轴的线段课前篇自主预习长度规则平面图形中平行或重合于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行或重合于y轴的线段,长度为原来的一半(3)一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下:在
3、立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴).在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于x轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段,且长度不变.连接有关线段.擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.相等的角,在直观图中仍相等.()长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.()若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直.()解析:根据斜二测画法的意义及作图知,均错.答案:(1)课前篇自主预习(
4、2)(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是()A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原来的C.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy必须是45D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同解析:在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy可以是45,也可以是135.C不正确.答案:ABD课前篇自主预习(3)长方形的直观图可能为下图的哪一个()A.B.C.D.解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为.答案:C(4)在用斜二测画法画水平
5、放置的ABC时,A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,A=.解析:由斜二测画法,A=45或A=135.答案:45或135课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测水平放置的平面图形的直观图水平放置的平面图形的直观图例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画法:(1)在图中作AGx轴于G,作DHx轴于H.(2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy=45.(4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE如图.课堂篇探究学习探究一探
6、究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画法:(1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O如图,画相应的x轴和y轴,两轴相交于点O,
7、使xOy=45如图;(3)连接ED,DC,CE,并擦去辅助线x轴和y轴,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图ABC-DE如图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测空间几何体的直观图空间几何体的直观图例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-ABCD的直观图.解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD就是正方体的底面
8、ABCD.(3)画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA、BB、CC、DD.(4)成图.顺次连接A、B、C、D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=45(或135),它们确定的平面表示水平面,再作z轴与x轴垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平
9、行于y轴的线段,且线段长度画成原来的二分之一.(4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)画轴.如下图,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90.(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应高度,过O作Ox的平行线Ox,Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy画出上底面ABCD.(3)画正四棱锥
10、顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA,PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如下图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测直观图的还原与计算直观图的还原与计算例3如图所示,水平放置的平面图形ABCD为某一平面图形的斜二测直观图,它是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原来的平面图形的面积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如图所示,因为ADBC,所以ADBC.因为ABC=45,所以ABC=90,所以ABBC.所以四边形ABCD是直角梯形,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当
11、堂检测延伸探究1把例3中的条件改为:如图所示的直角梯形中,ABC=45,AB=AD=1,CDBC,求原平面图形的面积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在斜二测直观图中(如图所示),作AHx轴交于H.AB=AD=1,DCBC,ABC=45.从而在原平面图形ABCD中(如图所示),课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究2已知正ABC的边长为1,那么ABC的平面斜二测直观图ABC的面积为.解析:图、分别为实际图形和直观图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由原图形求直观图的面积由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状关键是确定直观图的
12、形状,作出直观图作出直观图后后,求出其边长和高求出其边长和高,进而求出面积进而求出面积;如果由直观图求原图形的面积如果由直观图求原图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和高再求边长和高,进而求进而求面积面积.直观图的面积是原图形面积。直观图的面积是原图形面积。课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解答平面图形直观图还原问题的易错点典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OABC的面积为 ,则原梯形的面积为()课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:方法一:如图,由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上
13、、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.故选D.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 易错防范1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC的长度的2倍,OC长度是直观图中梯形的高的 倍,此处易出错.2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是()A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直解析:斜
14、二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条直交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45的两条相交直线,故选项D错误。答案:B课堂篇探究学习A.模块B.模块C.模块D.模块解析:观察所给模块图形,可知选A.答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.如图,模块均由4个棱长为1的小正方体构成,模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上,使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为()课堂篇探究学习探究一
15、探究二探究三思维辨析当堂检测3.如图,水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC,已知AC=6,BC=4,则AB边的实际长度是.答案:10 课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.如图RtOAB是一平面图形的直观图,直角边OB=1,则这个平面图形的面积是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如图,ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.解:画法:(1)如图,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA,即CA=CA;(2)在图中,过B作BDy轴,交x轴于D,在图中,在x轴上取OD=OD,过D作DBy轴,并使DB=2DB.(3)连接AB,BC,则ABC即为ABC原来的图形,如图.
