1、5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时第一课时 新公式应该含有两个任意角的和或差整体感知整体感知问题1我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式你认为新公式应具备怎样的特点？第一步，从“形”的角度出发，找到相互对称的两个角的终边关系；第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论整体感知整体感知问题2之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？新知
2、探究新知探究问题3先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角，的三角恒等变形公式首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形在平面直角坐标系中，如果已知任意角，的正弦、余弦，那么cos（）与它们有什么关系呢？追问1首先我们从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的基本角有哪些？请你将它们连同单位圆一起画在坐标系中，将重要的点标注出来，并观察图形，你能发现哪些可能有用的等量关系?基本角为，重要的点包括三个角的终边与单位圆的交点（依次记为P1，A1，P），始边与单位圆的交点A 可能有用的等量关系是P1A1PA新知探究新知探究高中数学人教A
3、版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 追问2你能证明这个等量关系吗？可以借助圆的旋转对称性证明 A1P1AP，进而得到A1P1AP；可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形OA1P1全等，进而得到APA1P1；在旋转后分别与A，P重合，或者直接利用圆的旋转对称性证明线段A1P1端点从而APA1P1新知探究新知探究高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 追问3接下来，我们从“数”的角度考虑，你能写出刚刚得到的几何等量
4、关系式中出现过的点的坐标吗？P1（cos，sin），A1（cos，sin），P（cos（），sin（），A（1，0）；新知探究新知探究高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 追问4已知平面直角坐标系任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则点P1，P2 之间的距离 请你借助以上“两点间的距离公式”，融合以上“形”与“数”的探究，你能得到什么结论？221212()()dxxyy根据两点间距离公式，结合A1P1AP，有2222(coscos)(sinsin)cos()1sin()0整理得 cos(
5、)cos cossin sin()新知探究新知探究高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 当，终边重合时，cos cos，sin sin 此时等式（*）左侧cos2k1，右侧sin2cos21，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立新知探究新知探究问题4如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件差角的余弦公式 cos()cos cossin sin简记作简记作()C 新知探究新
6、知探究高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件（1）；（2）；（3）；（4）cos()cosxx cossin2xxcos()cosxxcos()cosxx 证明：（1）将公式 中的，分别替换为，x，得()C cos()coscossinsincosxxxx；（2）将公式 中的，分别替换为 ，x，得()C 2coscoscossinsinsin222xxxx；新知探究新知探究例1证明：高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正
7、切公式-课件（1）；（2）；（3）；（4）cos()cosxx cossin2xxcos()cosxxcos()cosxx 证明：（3）将公式 中的，分别替换为0，x，得()C cos 0cos0cossin0sincosxxxx；（4）将公式 中的，分别替换为，x，得()C cos(+)cos()coscos()sin sin()cosxxxxx 新知探究新知探究例1证明：高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 从区别与联系两个方面解读二者的关系：二者的区别是：第一，适用场合不同，二者涉及到的任意角
8、的数量不同，因此适用的场合并不一样，诱导公式适用于关于一个特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题，新知探究新知探究问题5结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题，第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称，将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能，这些功能
9、是 不具备的，()C 新知探究新知探究问题5结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件但公式 具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能，()C 这是诱导公式不能完成的；二者的联系是：第一，差角余弦公式中含有两个任意角，将其中一个替换为特殊角，即可推导出部分诱导公式，新知探究新知探究问题5结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，
10、这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件因此 是更上位的公式；()C 第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，它们均可以经由圆的对称性质推导得到新知探究新知探究问题5结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试高中数学人教A版(2019)必修第一册5.
11、5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件()C（1）计算cos 15的值；（2）已知 ，是第三象限角，4sin5 2，5cos13 求 的值cos()解：（1）解法一：cos15cos(4530)cos45 cos30sin45 sin30新知探究新知探究23216222224；例2借助公式 ，解答以下题目：高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5
12、.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件（1）计算cos 15的值；（2）已知 ，是第三象限角，4sin5 2，5cos13 求 的值cos()解：（1）解法二：cos15cos(6045)cos60 cos45sin60 sin45新知探究新知探究12322622224；()C 例2借助公式 ，解答以下题目：高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5
13、.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件（1）计算cos 15的值；（2）已知 ，是第三象限角，4sin5 2，5cos13 求 的值cos()解：（2）因为 ，故 ，2，23cos1sin5 因为是第三象限角，故 ，212sin1cos13 因此3541233cos()cos cossin sin51351365 新知探究新知探究()C 例2借助公式
14、，解答以下题目：高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式 ，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？()C 归纳小结归纳小结问题6请你回顾本节课的内容，思考以下问题：()C 圆的旋转对称性诱导公式勾股定理两点间的距离公式
15、高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 使用公式 ，时，由于，均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角等等 cos（）需要sin，cos，sin，cos 四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值公式 中含有两个任意角，是诱导公式更上位的公式，可以推导出诱导公
16、式；先从“形”的角度出发，再从“数”的角度考虑，最后融合“数”与“形”，似乎是一种探究数形关系的有效策略()C()C 归纳小结归纳小结高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 作业：作业：教科书习题5.5第1，2，3题作业布置作业布置高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切
17、公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件 目标检测目标检测15sin17 cos33222sin3 3cos4 cos()已知 ，是第二象限角，求 的值1已知 ，且 ，求 的值2答案：15 3834答案：3 52 712高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件再见再见高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课件
