1、23.2 解直角三角形及其应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第4课时 坡度问题1.理解并掌握坡度、坡比的定义；（重点）2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(难点)学习目标在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系:tanAabsinAaccosAbc(必有一边)abc别忽略我哦！导入新课导入新课回顾与思考水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD的坡度i=1 2.5，则斜坡CD的
2、坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.52363:1i 讲授新课讲授新课与坡度、坡角有关的实际问题lhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1 m的形式，如i=1 6.如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即 i=hl3.坡度与坡角的关系itanhl坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45，则坡比是 _.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_.3:1lh301：13:1练一练例1：如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，ADBC，路
3、基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角和的值（精确到1）.ABCEDi=1:2.5i=1:1.6解：过点作CFAD于点F,得典例精析FCF=BE,EF=BC,A=,D=.BE=5.8 m 1,1.6BEAE1,2.5CFDF AE=9.28 m，DF=14.5 m.AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.533.6 m.ABCEFDi=1:2.5i=1:1.6F1tan,1.6i 1tan,2.5i3222例2：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD
4、的坡度i=1 2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角（精确到 1）.EFADBCi=1:2.52363:1i 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；典例精析 垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE和RtCDF求出；斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt ABE和Rt CDF.解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、F,由题意可知EFADBCi=1:2.52361 3i:BE=CF
5、=23m ，EF=BC=6m.在RtABE中13BEAEi 33 2369mAEBE 在RtDCF中，同理可得2.52.5 2357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7mABAEBE(2)斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得22.答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.12.5CFFDi 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhll探究归纳 我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地
6、划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.hl 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,hn相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当
7、我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米,）.45304米12米ABCD414.12,732.13当堂练习当堂练习解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米），CDEF12（米）在RtADE中，在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFB
8、F4126.9322.93（米）答：路基下底的宽约为22.93米 45tan4AEAEDEi)(445tan4米米 AE)(93.630tan4米米 BF45304米12米ABCEFD2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角ABC74，坝顶到坝脚的距离AB6 m为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)分析：将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长3.如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，ADBC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角和的值（精确到1）.BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解：（1）在RtAFB中，AFB=901tan1.5AFiBF 33.7 在RtCDE中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4完成第（2）题利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案课堂小结课堂小结
