1、第第2424章章 圆圆24.7 24.7 弧长与扇形面积弧长与扇形面积第第1 1课时课时 弧长与扇形面积弧长与扇形面积1课堂讲解课堂讲解弧长公式弧长公式扇形面积公式扇形面积公式2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1.圆的周长公式是什么？圆的周长公式是什么？2.圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？3.什么叫弧长？什么叫弧长？1知识点知识点弧长公式弧长公式弧长公式：弧长公式：在半径为在半径为R的圆中，的圆中，n的圆心角所对的弧的圆心角所对的弧长长C1的计算公式为的计算公式为C1要点精析：要点精析：(1)应用公式时应用公式时“n”和和“180”不应写单位不应写单
2、位.(2)题目若没有写明精确度，可以用含题目若没有写明精确度，可以用含“”的式子表示的式子表示 弧长弧长.(3)在弧长公式中，已知在弧长公式中，已知C1，n，R中任意两个量，都可中任意两个量，都可 求出第三个量求出第三个量.知知1 1讲讲.180n R知知1 1讲讲弧、弧长、弧的度数间的关系：弧、弧长、弧的度数间的关系：弧相等表示弧长、弧的度数都相等；弧相等表示弧长、弧的度数都相等；度数相等的弧，弧长不一定相等；度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧，弧的度数不一定相等弧长相等的弧，弧的度数不一定相等例例1 一滑轮装置如图，滑轮的半径一滑轮装置如图，滑轮的半径R=10 cm，当重物，当重物
3、上升上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径时，问滑轮的一条半径OA绕轴心绕轴心O按按逆时针方向旋转的角度？逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没假设绳索与滑轮之间没有滑动，有滑动，取取 3.14)解：解：设半径绕轴心设半径绕轴心O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转 n，则，则解方程，得解方程，得n 90.答：答：滑轮按逆时针方向旋转的角度滑轮按逆时针方向旋转的角度 约为约为90.知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）15.7.180n R 总总 结结知知1 1讲讲弧长公式中弧长公式中180与与n都没有单位。都没有单位。例例2 (衡阳衡阳)如图，如图，O的半径为的半径为6 cm，直线，直线A
4、B是是 O的的切线，切点为点切线，切点为点B，弦，弦BCAO，若，若A30，则劣弧则劣弧BC的长为的长为_cm.设由切线性质可知设由切线性质可知OBA90.因为因为A30，所以，所以BOA60，因为，因为 BCAO，所以，所以CBO60.又因为又因为OBOC，所，所 以以OBC为等边三角形，所以为等边三角形，所以BOC60，代，代 入公式入公式C1 ，得，得 2(cm)知知1 1讲讲180n R260 6180 导引：导引：总总 结结知知1 1讲讲求弧长需要两个条件：求弧长需要两个条件：(1)弧所在圆的半径；弧所在圆的半径；(2)弧所弧所对的圆心角当题中没有直接给出这两个条件时，则对的圆心角当
5、题中没有直接给出这两个条件时，则需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆的半径或弧所对的圆心角求出圆的半径或弧所对的圆心角例例3 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长(或或子午圈长子午圈长)的简单方法的简单方法.如图如图,点点S和点和点A分别表示埃分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为为5 000希腊里希腊里(1希腊里希腊里158.5 m).当太阳光线在赛当
6、太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为偏离直射方向的角为，实际测得，实际测得是是7.2，由此，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？估算出了地球的周长，你能进行计算吗？知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）解：解：因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角AOS =7.2.设地球的周长（即设地球的周长（即 O的周长）为的周长）为C，则则=250 000(希腊里希腊里)39 625(km).答：答：地球的周长约为地球的周长约为39 625 km.知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）360
7、50,7.2CAS 50500 500CAS总总 结结知知1 1讲讲同圆中，弧长之比等于圆心角之比。同圆中，弧长之比等于圆心角之比。1 如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA=3，圆心角圆心角AOB=120，求，求 的长的长.2 (中考中考包头包头)120的圆心角对的弧长是的圆心角对的弧长是6，则此弧所则此弧所在圆的半径是在圆的半径是()A3 B4 C9 D18知知1 1练练AB（来自教材）（来自教材）3(中考中考成都成都)AB为为 O的直径，点的直径，点C在在 O上，若上，若OCA50，AB4，则，则 的长为的长为()A.B.C.D.知知1 1练练B
8、C103109595184(中考中考兰州兰州)如图，如图，O的半径为的半径为2，AB，CD是互相是互相垂直的两条直径，点垂直的两条直径，点P是是 O上任意一点上任意一点(P与与A，B，C，D不重合不重合)，经过，经过P作作PMAB于点于点M，PNCD于点于点N，点，点Q是是MN的中点，当点的中点，当点P沿着圆周转过沿着圆周转过45时，点时，点Q走过的路径长为走过的路径长为()A.B.C.D.知知1 1练练42632知识点知识点扇形面积公式扇形面积公式知知2 2讲讲1扇形定义：扇形定义：我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫 做扇形做扇形2扇形面积公式：扇形面积公式
9、：(1)S扇形扇形 (2)S扇形扇形 C1R(C1是扇形的弧长是扇形的弧长)应用方法：应用方法：当已知半径当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式面积时，选用公式S扇形扇形 当已知半径当已知半径 R 和弧和弧长求扇形的面积时，选用公式长求扇形的面积时，选用公式S扇形扇形 C1R.2;360n R122;360n R12知知2 2讲讲特别注意：特别注意：(1)已知已知S扇形扇形，C1，n，R四个量中的任意两四个量中的任意两 个量，可以求出另外两个量个量，可以求出另外两个量(2)在扇形面积公式在扇形面积公式S扇形扇形 中，中，n表示表示1的的n倍，倍，360表示
10、表示1的的360倍，倍，n，360不带单位不带单位拓展：拓展：(1)弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形(2)弓形的面积：弓形的面积：当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面 积与三角形面积的差，即积与三角形面积的差，即S弓形弓形S扇形扇形S三角形三角形；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积 的和，即的和，即S弓形弓形S扇形扇形S三角形三角形；当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即
11、即S弓形弓形 S圆圆2360n R12知知2 2讲讲例例4 如图，在如图，在 O中，弦中，弦BC垂直于半径垂直于半径OA，垂足为点，垂足为点E，D是优弧是优弧BC上的一点，上的一点，ADB30.(1)求求AOC的度数；的度数；(2)若弦若弦BC6，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积 (1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同根据垂径定理得到相等的弧，再由同 圆或等圆中，弧、圆心角、圆周角之间的关系求得圆或等圆中，弧、圆心角、圆周角之间的关系求得 AOC的度数；的度数；(2)先求出先求出 O的半径，再求出圆心的半径，再求出圆心 角角BOC的度数，利用面积割补法求出阴影部分的的度数，利用面积割
12、补法求出阴影部分的 面积面积导引：导引：知知2 2讲讲(1)弦弦BC垂直于半径垂直于半径OA，BECE，.又又ADB30，AOCBOA60.(2)BC6，CE BC3.在在RtOCE中，中，OCE30，设设OEx，则，则OC2x，CE x3，解得，解得x .OE ，OC2 .，BOC2AOC120，S阴影阴影S扇形扇形BOCSOBC (2 )2 6 43 .ABAC 123333ABAC 12036031233解：解：总总 结结知知2 2讲讲本题中求弓形面积可转化为求两个规则的基本图形本题中求弓形面积可转化为求两个规则的基本图形(扇形、三角形扇形、三角形)面积的和或差来解决将所求面积面积的和或
13、差来解决将所求面积转化为其他几个规则图形面积的和或差，是求阴影转化为其他几个规则图形面积的和或差，是求阴影面积最常用的方法面积最常用的方法知知2 2讲讲例例5 如图，在如图，在 O中，半径中，半径OA6 cm，C是是OB的中点，的中点，AOB120，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积 要求阴影部分的面积，要求阴影部分的面积，由于图形不规则，可由于图形不规则，可 转化为两个规则图形转化为两个规则图形 的面积之差，的面积之差，即即S阴影阴影S扇形扇形AOBSOAC .导引：导引：知知2 2讲讲如图，过点如图，过点C作作CDAO，交，交AO的延长线于点的延长线于点D.OAOB6 cm，C为为OB的中
14、点，的中点，OC3 cm.AOB120，COD60，OCD30.在在RtCDO中，中，OD OC cm，CD (cm)SAOC (cm2)又又S扇形扇形AOB 12(cm2)，S阴影阴影S扇形扇形AOBSAOC (cm2).1232222233 33()22OCOD11396332222AO CD 2120 6360 9249 312322 解：解：总总 结结知知2 2讲讲(1)本题中的阴影部分虽然本题中的阴影部分虽然不是规则图形，但它的面不是规则图形，但它的面 积可以转化为两个规则图形的面积差积可以转化为两个规则图形的面积差，因此我们，因此我们 只需分别求出一个扇形面积和一个三角形面积即只需
15、分别求出一个扇形面积和一个三角形面积即 可达到目的可达到目的(2)求不规则图形面积时，常采用的方法求不规则图形面积时，常采用的方法有：有：作差法；割补法；拼凑法；等积变形法；作差法；割补法；拼凑法；等积变形法；迁移变换法；化零为整法；平移法等迁移变换法；化零为整法；平移法等知知2 2讲讲例例6 如图所示，两个半圆中，长为如图所示，两个半圆中，长为24的弦的弦AB与直径与直径CD平行且平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分的面积等于多少？与小半圆相切，那么圆中阴影部分的面积等于多少？观察图形可知阴影部分的观察图形可知阴影部分的 面积等于大半圆的面面积等于大半圆的面 积减去小半圆的面积，因此积减去小
16、半圆的面积，因此 当小半圆在大半圆范围内当小半圆在大半圆范围内 左右移动时，其阴影部分面积都不改变，所以我们可左右移动时，其阴影部分面积都不改变，所以我们可 以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样求阴影部以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样求阴影部 分面积较容易分面积较容易导引：导引：知知2 2讲讲将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，则阴影部分面积等于半环形面积则阴影部分面积等于半环形面积作作OEAB于于E(易知易知E为切点为切点)，连接，连接OA，AE AB12.S阴影阴影 OA2 OE2 (OA2OE2)AE2 12272.12解：解：
17、1212121212总总 结结知知2 2讲讲利用平移等图形变换可将利用平移等图形变换可将不规则图形面积转化为规不规则图形面积转化为规则则图形面积的和、差进行求解图形面积的和、差进行求解1已知：扇形已知：扇形AOB的半径为的半径为12 cm,AOB=120，求求 的长度和扇形的长度和扇形AOB的面积的面积.2已知：扇形的圆心角为已知：扇形的圆心角为150，弧长为，弧长为20，求扇形，求扇形面积面积.知知2 2练练（来自教材）（来自教材）AB3知知2 2练练3 如图，圆柱形排水管的截面半径如图，圆柱形排水管的截面半径OC=0.6 m，水面，水面高高DC=0.3 m,求截面中有水部分的面积求截面中有
18、水部分的面积（来自教材）（来自教材）4(中考中考内江内江)如图，点如图，点A，B，C在在 O上，若上，若BAC45，OB2，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为()A4 B.1C2 D.2知知2 2练练23235(中考中考咸宁咸宁)如图，在如图，在ABC中，中，CACB，ACB90，以，以AB的中点的中点D为圆心，作圆心角为为圆心，作圆心角为90的的扇形扇形DEF，点，点C恰在恰在 上，设上，设BDF(090)当当由小到大变化时，图中阴影部分的面由小到大变化时，图中阴影部分的面积积()A由小变大由小变大 B由大变小由大变小C不变不变 D先由小变大，后由大变小先由小变大，后由大变小知知
19、2 2练练EF6 (中考中考枣庄枣庄)如图，如图，AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB，CDB30,CD2 ，则阴影部分的面积为，则阴影部分的面积为()A2 B C.D.知知2 2练练32337 (中考中考泰安泰安)如图，菱形如图，菱形ABCD的边长为的边长为2，A60，以点，以点B为圆心的圆与为圆心的圆与AD，DC相切，与相切，与AB，CB的延长线分别相交于点的延长线分别相交于点E，F，则图中阴影部分的，则图中阴影部分的面积为面积为()A.B.C.D知知2 2练练32 3 32 2 32 本节应掌握：本节应掌握：1弧长的计算公式弧长的计算公式l R，并运用公式进行计算；，并运用公式进行计算；2扇形的面积公式扇形的面积公式S R2，并运用公式进行计算；，并运用公式进行计算；3探索弧长探索弧长l及扇形的面积及扇形的面积S之间的关系，并能已知一之间的关系，并能已知一 方求另一方方求另一方180n360n
