1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作3.23.2立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（2 2）平行与垂直平行与垂直天才是1%的灵感加上99%的汗水一、用向量运算处理平行与垂直关系一、用向量运算处理平行与垂直关系例例1四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，求证：求证：PA/平平面面EDB.ABCDP PE EXYZG法法1 立体立体几何法几何法分析分析:证明线面问题证明线面问题,可利用四可利用四种方法种方法:一是立体几何法，二一是立体几何法，二是证明是证明 与平面与平面A1BD的法的法向量垂直向量垂直;三
2、是在平面三是在平面A1BD内内找一向量与找一向量与 平行平行;四是证明四是证明 用平面用平面A1BD中的两不共线向中的两不共线向量线性表示量线性表示 .P A P A PA ABCDP PE EXYZG法法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意得得G1 11 1(,，(,，0)0)2 22 211(1,0,1),(,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且
3、平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ法法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B(1,1，B(1,1，0)0)(1,0,1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为(,1)nx y,nnDEDB 则1101,1,1220ynxy于是0PA nPAn ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系
4、，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B(1,1，B(1,1，0)0)(1,0,1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、共面1111111-,:/:/ABC DA B C DA BDC B D在 正 方 形中求 证平 面平 面变 式1CABCD1D1A1B111111111:,/./.ADCB DABCB DABDCB
5、 D先建系 然后证明平面同理证明平面从而证明平面平面分析ABCDP PE EF FXYZ-,.(2):.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2.四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面法法1 1：如图所示建立如图所示建立空间直角坐标系，设空间直角坐标系，设DC=1.DC=1.)1,1,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E
6、是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(2)求证：PB平面EFD法二：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ,设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)）。，（即即：则则设设323131.32,31,310),()1,1,1()1,1,1()1,(0,/),(FzyxzyxkzyxDFPBPBkPFDFPBPBPFzyxFABCDPEFZXY./)1,1,1()1,1,1(.1,1,10323131021210,0,EFDPBnPBnPBnyxzzyxzxDFnDEnDFnDEnEFDzyxn面面又又则则，取取则则平平面面）（设设DEFPXZYBC又E(0,1/2
7、,1/2)F（1/3,1/3,2/3）ABCDP PE EF FXYZ-,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2.四四棱棱锥锥中中底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点作作交交于于点点求求证证平平面面 法法3 3：立体几何法：立体几何法,E是AA1中点，1111DCBAABCD 例3 正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0,1)EB (0,2,1)ED 设平面EBD的一个法向量是(,1)ux y0u EBu E
8、D 由1 1(,1)2 2u 得1(1,1,1)vCA 0,u v 平面C1BD.平面EBD证明2：立体几何法E,E是AA1中点，1111DCBAABCD 例3 正方体平面C1BD.求证：平面EBD练习：vP107：T1立体几何中的向量方法距离问题例1如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD 图1解：如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAA
9、ADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以6|1 AC答:这个晶体的对角线 AC1的长是棱长的 倍。6化为向量问题进行向量运算回到图形问题例1如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD 图1解2：如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.BACD 68解解1 n
10、A P O 补充知识点1：点到面的距离问题：n A P O 记忆：点到平面的距离公式：nnPAdABCD1A1B1C1DExyz例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.u 建立坐标系11111 11 1 解解:.A E=(-1,0),A B=(0,1,-1):.A E=(-1,0),A B=(0,1,-1)2 2设设=(1,y,z)=(1,y,z)为为面面A BEA BE的法向的法向量量uu 1 11 1A E=0,A E=0,由由A B=0,A B=0,得 u u=(1 1,2 2,2 2)1111A B=0,1,0,A B=
11、0,1,0,11111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距离离为为A B nA B n2 2 d=d=3 3n nABCD1A1B1C1DE 例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.等体积法1111BA BEE A BBVV解2ABCD1A1B1C1DExyz 例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离.仿上例求得D1C到面A1BE的距离为1113D A udu ABCD1A1B1C
12、1DE 例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.等体积法1111DA BEB A D EVV解2ABCD1A1B1C1Dxyz例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.解1:面D1CB1面A1BD D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离1111(1,1,1),(1,0,0)平面的一个法向量为且A BDACD A 111133D AACdAC ABCD1A1B1C1D例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.等体
13、积法1111DA BDB A DDVV解2ABCD1A1B1C1D例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.解3 nabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则|nABnCD A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为 的的法向量法向量补充知识补充知识2：两异面直线间的距离：两异面直线间的距离即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，21,llCD例5如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.ABCD1A1
14、B1C1DExyz111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解:111,0,2AE 11,1,1D B 11(1,),设与都垂直ny zA E D B 110,0,由n A En D B (1,2,3)得n 111,0,0,D A 11与的距离为A EBD111414D A ndn 1、立体几何中的向量方法的“三部曲”：用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等元素进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系以及它们之间的距离和夹角。把运算结果“翻译”成相应的几何意义。2、解决立体几何问题常用方法：综合法向量法坐标法 1、E为平面外一点,F为内任意一点,为平面的法向量,则点E到平面的距离为:n|nEFnd 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间 距离为|nEFndn小 结作业vP112 T5，T7，T9
