1、人教A版高中数学选修2-1课件椭圆的简单几何性质复习：复习：1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2|）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay2.1.2椭圆的几何性质2.2.2椭圆的简单几何性质（1）.,.小小、对对称称性性和和位位置置等等包包括括椭椭圆圆的的形形状状、大大程程研研究究它它的的几几何何性性质质方方
2、下下面面再再利利用用椭椭圆圆的的标标准准椭椭圆圆的的标标准准方方程程立立了了建建出出发发几几何何特特征征上上面面从从椭椭圆圆的的定定义义 .来来研研究究椭椭圆圆的的几几何何性性质质我我们们用用椭椭圆圆的的标标准准方方程程1012222babyaxyOx?,比比较较特特殊殊点点些些哪哪上上椭椭圆圆它它具具有有怎怎样样的的对对称称性性围围吗吗你你能能从从图图上上看看出出它它的的范范的的形形状状观观察察椭椭圆圆观观察察012222 babyax椭圆的几何性质椭圆的几何性质1.范围范围：由由12222byax即即-axa,-byb说明：椭圆落在说明：椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中112
3、222byax和oyB2B1A1A2F1F2cabx1.1.范围范围:.,:bybaxa从图形上看;11:222222axaaxbyax从方程上看bybbaxby222222y 11.,所围成的矩形内故整个椭圆位于axbyF2F1Oxy椭圆关于y轴对称。F2F1Oxy椭圆关于x轴对称。A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称。2、椭圆的对称性椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）结论结论:椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。)0(12222babyax椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是1P同理椭圆关于x轴对称关于原点原点对称即在椭圆上,
4、则椭圆关于y轴对称2222xyab1P(-x,y)2,P xy22221xyab叫叫做做心心中中圆圆的的对对称称椭椭中中心心称称对对椭椭圆圆的的点点是是原原轴轴称称坐坐标标轴轴是是椭椭圆圆的的对对这这时时轴轴对对称称轴轴、椭椭圆圆关关于于综综上上,yx.椭椭圆圆的的中中心心顶点顶点3.,.,标标轴的交点坐轴的交点坐轴、轴、常需要求出曲线与常需要求出曲线与常常的位置的位置要确定曲线在坐标系中要确定曲线在坐标系中线的位置线的位置可以确定曲可以确定曲的位置的位置研究曲线上某些特殊点研究曲线上某些特殊点yx?交点坐标吗交点坐标吗轴的轴的轴、轴、得出椭圆与得出椭圆与程程你能由椭圆的方你能由椭圆的方探究探
5、究yxbabyax012222 yOx1A2A2B1B812.图图3、椭圆的顶点、椭圆的顶点)0(12222babyax令令x=0，得，得y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与y轴的交点？轴的交点？令令y=0，得，得x=？说明椭圆与？说明椭圆与x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,
6、-b)(-a，0)椭圆几何性质的应用椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质的值可确定其性质(2)明确明确a，b的几何意义，的几何意义，a是长半轴长，是长半轴长，b是短半轴长，是短半轴长，不不要与长轴长、短轴长混淆，由要与长轴长、短轴长混淆，由c2a
7、2b2，可得，可得“已知椭圆已知椭圆的四个顶点，求焦点的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或或B2)为圆心，以为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点是焦点名师点睛名师点睛1学生活动学生活动(课本课本48页练习页练习1)思考思考:已知椭圆的长轴已知椭圆的长轴A A1 1A A2 2和短轴和短轴B B1 1B B2 2，怎样确定椭圆焦点的位置？怎样确定椭圆焦点的位置？oB2B1A1A2F1F2aaccb因为因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为所以以椭圆短轴端点为圆心圆心,a长为半径的圆与长为半径的圆
8、与x轴的交点即为轴的交点即为椭圆焦点椭圆焦点.练习：课本48页2离心率离心率4?,.画椭圆的扁平程度呢画椭圆的扁平程度呢用什么量可以刻用什么量可以刻那么那么椭圆的扁平程度不一椭圆的扁平程度不一我们发现我们发现图图观察不同的椭圆观察不同的椭圆思考思考912 912.图图、离心率、离心率)0(12222babyax椭圆观察得知：长半轴为a半焦距为c思考：保持长半轴a不变，改变椭圆的半焦距c，我们可以发现，c越接近a，椭圆越_这样，我们就可以利用和这两个量来刻画椭圆的扁平程度扁平扁平ca看动画称为：轴长的我们把椭圆的焦距与长ac椭圆的离心率椭圆的离心率.acee来表示，即用因为ac0,所以e的取值范
9、围是:_0ebabceaa2=b2+c2标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率a a、b b、c c的关系的关系22221(0)xyabab|x|a,|y|b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|b,|y|a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前
10、同前同前同前椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质自学导引自学导引焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上图形图形标准方程标准方程_(ab0)(ab0)焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上范围范围_顶点顶点_轴长轴长短轴长短轴长_，长轴长，长轴长_焦点焦点_焦距焦距|F1F2|_对称性对称性对称轴对称轴_，对称中心，对称中心_离心率离心率e_axa且且bybbxb且且ayaA1(a，0)、A2(a，0)B1(0，b)、B2(0，b)A1(0，a)、A2(0，a)B1(b，0)、B2(b，0)2b2aF1(c，0)、F2(c，0)F1(0
11、，c)、F2(0，c)2cx轴和轴和y轴轴(0，0)例例4 4求椭圆求椭圆16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标心率、焦点和顶点坐标解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程1452222yx这里，这里，31625,4,5cba因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率离心率6.053ace焦点坐标分别是焦点坐标分别是)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA解题的关键：解题的关键：1、
12、将椭圆方程转化为标准方程、将椭圆方程转化为标准方程2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置例.求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点）经过点P（-3，0），），Q（0，-2）；）；（2）长轴长等于）长轴长等于20，离心率等于，离心率等于.5314922yx解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别为椭圆长轴和短轴的一个端点.23ba，为所求椭圆的标准方程.，由已知53202)2(acea.610ca，.64222cab1641001641002222xyyx或所以椭圆方程为：练习：课本48页4练习：课本48页3.,.|,.|,.,.,.)
13、(,.所所在在的的椭椭圆圆方方程程求求截截口口已已知知集集中中到到另另一一个个焦焦点点经经过过旋旋转转椭椭圆圆面面反反射射后后发发出出的的光光线线一一个个焦焦点点由由椭椭圆圆上上片片门门位位于于另另一一个个焦焦点点上上一一个个焦焦点点灯灯丝丝位位于于椭椭圆圆是是椭椭圆圆的的一一部部分分称称轴轴的的截截口口过过对对的的一一部部分分的的曲曲面面其其对对称称轴轴旋旋转转一一周周形形成成椭椭圆圆绕绕是是旋旋转转椭椭圆圆面面电电影影放放映映灯灯泡泡的的反反射射镜镜一一种种如如图图例例BACcmFFcmBFFFBCFFFFBAC548211125211212121 xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射
14、镜面反射镜面xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112.图图.,.111122222 byax圆方程为设所求椭的直角坐标系所示建立图解.|,22221212215482 FFBFBFFBFRt中在所以由椭圆的性质知,|,aBFBF221 ;.)|(1454828221212221 BFBFa.43252142222 cabxy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112.图图.,143142222 yx所求的椭圆方程为所以解：解：xyl l.FFO.M的距离，则到直线是点设lMd由题意知acdMF|d.|)(222acxcaycx即化简.)()(22222222c
15、aayaxca，则设222bca12222byax方程化为)0(ba.22的椭圆、分别为的轨迹是长轴、短轴长点baM.例例6.6.点点M M（x x，y y）与定点）与定点F F（c c，0 0）的距离和它到）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点定直线的距离的比是常数，求点M M的轨迹的轨迹2al:xcc(ac0)a 是离心率常数定直线叫椭圆的准线定点是椭圆的焦点这个点的轨迹是椭圆时（常数比是到一条定直线的距离的与一个定点的距离和它当点eeac,)10eM椭圆第二定义:xyl l.FFO.Md活页规范训练4已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是_解析设
16、椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b1，a2b2()2，即a24.所以椭圆的标准方程是y21或x21.答案y21或x215542x42y42x42y5已知椭圆的离心率为，则k的值为_解析当k89时，e2，k4；当k81，0m1.由方程得a，b1.a2b，m.答案A4121my12m1m14111已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，6)求椭圆的标准方程解法一依题意a2b.(1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为.代入点A(2，6)坐标，得，解得b237，a24b2437148，椭圆的标准方程为.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为.代入点A(2，6)坐标得，b213，a25
17、2.椭圆的标准方程为.综上所述，所求椭圆的标准方程为或.142222bybx1364422bb13714822yx142222bxby1443622bb1135222xy1135222xy13714822yx2.1.2椭圆的几何性质2.2.2椭圆的简单几何性质（2）自学导引自学导引直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类种类:相离相离(没有交点没有交点)相切相切(一个交点一个交点)相交相交(二个交点二个交点)相离相离(没有交点没有交点)相切相切(一个交点一个交点)相交相交(二个交点二个交点)直线与椭圆的位置关系的判定直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m0）Ax+By+C=0由
18、方程组：由方程组：0相交相交方程组有两解方程组有两解两个交点两个交点代数方法代数方法=n2-4mp12222 byax所以消所以消y得一个一元二次方程得一个一元二次方程位置关系位置关系解的个数解的个数的取值的取值相交相交_解解_0相切相切_解解_0相离相离_解解_0两两一一无无0，因为因为所以方程（）有两个根，所以方程（）有两个根，变式变式1：交点坐标是什么？：交点坐标是什么？弦长公式：弦长公式：则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)22121214)kxxxx （2121|ABk xx 所以该直线与椭圆相交所以该直线与椭圆相交.变式变式2：相交所得的弦的弦长是多少？：相交所得的弦的弦
19、长是多少？117(1,),(,)2510AB 6|55AB 由韦达定理由韦达定理12124515xxxx k表示弦的斜率，表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标表示弦的端点坐标名师点睛名师点睛利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中的中利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中的中点、弦长等问题是本节特别常见的方程思想方法点、弦长等问题是本节特别常见的方程思想方法方法技巧函数方程思想在椭圆中的应用方法技巧函数方程思想在椭圆中的应用【示示例例】思路分析思路分析 求弦求弦AB的长，需确定点的长，需确定点A、B的坐标，点的坐标，点A、B是是直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方
20、程直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解组，解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解方法点评方法点评解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为：解的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于消元得到关于x或或y的一元二次方程；的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或或y1y2，y1y2，进，进而求解而求解5椭圆x24y216被直线yx1截得的弦长为_解析由消去y并化简得x22x60.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22，x1x26.12116422xyyx221221)()(|yyxxMN弦长35)244(454)(4521221xxxx221221)2121()(xxxx练习：课本48页7
