1、知识回顾知识回顾学过的函数：学过的函数：一次函数一次函数 f（x）=ax+b+c 二次函数二次函数 f（x）=ax2+bx+cf（1）=a+b+cf（-1）=a-b+cf（2）=4a+2b+c方程组：方程组：导入新课导入新课 今有物不知数，三今有物不知数，三三数之剩二，五五数三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩之剩三，七七数之剩二，问物几何？二，问物几何？你能算出来吗？你能算出来吗？今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从只鸡兔同在一个笼子里，从 上
2、面数，有上面数，有35个头个头；从下面从下面 数数，有有94只脚只脚.求笼中各有几只鸡和兔求笼中各有几只鸡和兔.你知道有多少只鸡吗？你知道有多少只鸡吗？你能够解决以上的问题，求出你能够解决以上的问题，求出数值吗？要解决以上的问题穷举法数值吗？要解决以上的问题穷举法显然是不可能的，这就涉及到我们显然是不可能的，这就涉及到我们今天要学习的知识，拉格朗日插值今天要学习的知识，拉格朗日插值法、孙子定理法、孙子定理.教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.理解一次同余式组的概念理解一次同余式组的概念.2.理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙子定理的过程子定理的过程
3、.3.掌握用孙子定理法求一次同余式组的解掌握用孙子定理法求一次同余式组的解.过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心.2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人，在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人，树立远大理想和目标树立远大理想和目标.1.先阅读案例，探究解决问题的算法先阅读案例，探究解决问题的算法.2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题研读算法，体会算法思想，能解决具体问题.教学重难点教学重难点
4、重点重点1.理解拉格朗日插值公式的建立过程理解拉格朗日插值公式的建立过程.2.孙子定理的推导过程孙子定理的推导过程.3.用孙子定理解一次同余方程用孙子定理解一次同余方程.难点难点建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理.孙子算经翻译：孙子算经翻译：一个数除以一个数除以3余余2，除以，除以5余余3，除以除以7余余2，问这个数是几，问这个数是几?m=3x+2 x2（mod3）相当于解方程组相当于解方程组 m=5y+3 即即 x3（mod5）m=7z+2 x2（mod3）同余方程组同余方程组 为了能更方便的求解方程组我们将学为了能更方便的求解方程组我们将学习习拉格朗日插值
5、法拉格朗日插值法.我们知道，在二次函数我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要中只要我们知道其上的三个值如（我们知道其上的三个值如（x1，f（x1），），（x2，f（x2），），（x2，f（x2），就能得到要求的多项），就能得到要求的多项事事.一种更一般的一种更一般的拉格朗日插值法拉格朗日插值法.1）求多项式）求多项式p（x）,使使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）求多项式求多项式q（x）,使使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求）求多项式多项式r（x）,使使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若选取若选取p（x）=c（x-x2）（）
6、（x-x3），其中），其中c为常数为常数.显然显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入再代入p（x1）=1,可可求得求得c为为(x1-x2)（x1 x3）的倒数）的倒数.求得求得 同理得同理得231213xxxxp(x)xxxx132123xxxxq(x)xxxx123132xxxxr(x)xxxx设设a，b，c两两不同那么满足两两不同那么满足f(a)=e，f(b)=f，f（c）=g的一个多项式可用的一个多项式可用f(x)=e p(x)+f q(x)+g r(x)()其中其中 （）xbxcxaxcxaxbp(x),q(x),r(x)abacbabccacb上面的公式（上面的公式（）和（）和（
7、）叫做拉格朗日公式）叫做拉格朗日公式.用类似方法解决用类似方法解决孙子算经的物不知其数问题孙子算经的物不知其数问题.1）求整数求整数p,使使p1（mod3）,p 0（mod5）,p0（mod7）.求整数求整数q,使使q0（mod3）,q 1（mod5）,q0（mod7）.求整数求整数r,使使r0（mod3）,r 0（mod5）,r1（mod7）.2）作整数作整数k=2p+3q+2r，这个这个k使同余使同余式都成了式都成了.此时此时xk（mod357）现在的焦）现在的焦点就是如何求点就是如何求p、q、r.由由于于p0（mod5），），p 1（mod7）故故 5p，7p，于是于是p=57c，c为整
8、数为整数再由再由p1（mod3）即即57c 1（mod3）若若c=2，则则p=70.同理求得同理求得q=21，r=15.所以所以k=233，x 23323（mod105）.此求同余方程组的方法即此求同余方程组的方法即孙子定理孙子定理.孙子定理孙子定理 设设a，b，c为两两为两两互素互素的正整数，的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组为任意整数，则同余方程组 xe（moda），），xf（modb），仅有一解：），仅有一解：xg（modc）xebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中），其中c1，c2，c3分别满足同余式：分别满足同余式：bcc11（moda）acc2 1（mo
9、db）,abc3 1（moda）的整数）的整数.课堂小结课堂小结一、一次同余式组：一、一次同余式组：xe（moda）xf（modb）xg（modc）二、拉格朗日插值公式：二、拉格朗日插值公式：f(x)=e p(x)+f q(x)+g r(x)x b x cx a x cx a x bp(x),q(x),r(x)a b a cb a b cc a c b三、孙子定理：三、孙子定理：设设a，b，c为两两为两两互素互素的正整数，的正整数，e，f，g为为任意整数，则同余方程组任意整数，则同余方程组 xe（moda）xf（modb），仅有一解：），仅有一解：xg（modc）xebcc1+facc2+ga
10、bc3（modabc），其中），其中c1，c2，c3分别满足同余式：分别满足同余式：bcc11（moda）acc2 1（modb）,abc3 1（moda）的整数）的整数.针对性练习针对性练习1、已知函数已知函数f（x）=x2+2x+alnx当当t1时时,不等式不等式f(2t1)2f(t)3恒成立恒成立,求实数求实数a的取值范围的取值范围.证明证明:当当t1时，时，f(2t1)2f(t)3 恒成立恒成立.即即（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）2t2+4t+2alnt-3当当t1恒成立恒成立.即即alnt2-ln（2t-1）2（t-1）2h(x)=ln)=lnx,由拉格朗日定理知
11、由拉格朗日定理知,使得使得 成立成立 故故 所以所以 即实数取值范围（即实数取值范围（-,2-,22(2t-1,t)22lnt-ln(2t-1)1=2t-11t-(2t-1)122aa即22lnt-ln(2t-1)1=h()=t-(2t-1)当当t=1时，不等式恒成立时，不等式恒成立,此时此时aR.当当t1时，由于时，由于t2-（2t-1）=（t-1）20，所以所以 lnt2ln（2t-1）故故 当当t1时恒成立时恒成立.22at-(2t-1)2lnt-ln(2t-1)2、已知函数已知函数 ，f（x）的导数是）的导数是f（x），任意两个不等正数），任意两个不等正数x1，x2证：若证：若a4，f
12、（x1）-f（x2）x1-x2 ，22f(x)=x+alnx (x 0)x证明：证明：要证要证f（x1）-f（x2）x1-x2 只要证只要证 由拉格朗日定理，总存在由拉格朗日定理，总存在 使使 故只要证明故只要证明 只要证只要证2121f(x)-f(x)1x-x12xx()1f()1f 32324a44f =2+-2+-1令令 ，则，则 令令 故当故当a4时时f（x1）-f（x2）x1-x2 3224()2g344862(43)()gmin33()0()144ggg3、已知函数已知函数 且存在且存在x x0 0(0,)(0,),使使f(xf(x0 0)=x)=x0 0.证明：证明：3211()
13、24f xxxx1112nnnnyxyx证明：证明：因为因为 由拉格朗日中值定理知由拉格朗日中值定理知:总存在总存在 使得使得 由于由于 又又 当当 故得证故得证 n+1n+1nnnnnny-xf(y)-f(x)=y-xy-x(,)nnxyn+1n+1nny-x=f()y-x1(,)0,2nnxy21()322fxxxmax110,()(0)22xfxfn+1n+1nny-x1y-x21、求整数求整数n，它被，它被3，5，7除的余数分除的余数分别是别是1，2，3,则该整数最小为（则该整数最小为（）.2、解同余方程组解同余方程组 则则x x为为()().8(mod15)5(mod8)13(mod
14、25)xxx课堂练习课堂练习5221531056 4、一个数被一个数被3除余除余1，被，被4除余除余2，被，被5除余除余4，这个数最小是（，这个数最小是（）.3、有一个数，除以有一个数，除以3余余2，除以，除以4余余1，问这，问这个数除以个数除以12余（余（）.A.5 B.7 C.8 D.9AA.274 B.40 C.34 D.36C解析：解析：若若4人一组多人一组多1人，人，6人一组少人一组少3人人,则加则加3人为人为4和和6的公约数的公约数=12K，12K-3能被能被5整除整除,根据根据5和和2的倍数特征规的倍数特征规律律:124-3=45，所以至少有，所以至少有45人人.5、若若4人一组
15、多人一组多1人，人，5人一组正好分完，人一组正好分完，6人一组少人一组少3人，最少有几人？人，最少有几人？6、每每9人一排多人一排多6人，每人，每7人一排多人一排多2人，每人，每5人一排多人一排多3人，问至少有多少人人，问至少有多少人？解：由于解：由于9,7,5互素互素,故故同样可用孙子定理同样可用孙子定理.解解1 75c1=35c11(mod9)得得 c1 8(mod9),解解2 95c2=45c21(mod7)得得 c2 5(mod7),解解3 97c3=63c31(mod5)得得 c3 2(mod5),于是于是,选取选取c1=2，c2=3，c3=11 得得x6758+2955+3972
16、303(mod305)是同余方程的解是同余方程的解.所以至少所以至少303人人.解：由于解：由于3,7,11互素互素,故故同样可用孙子定理同样可用孙子定理.解解1 711c1=77c11(mod3)得得 c1 2(mod2),解解2 311c2=33c21(mod7)得得 c2 3(mod7),解解3 37c3=21c31(mod11)得得 c3 10(mod11),于是于是,选取选取c1=2，c2=3，c3=11 得得x27112+13113+23710=727 24(mod231)是同余方程的解是同余方程的解.7、3除余除余2，被，被7除余除余1，被，被11除余除余2，求同余方，求同余方程的解程的解.再见再见
