1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式圆柱、圆锥、圆台的表面积公式【思考思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？提示：提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：S S圆柱侧圆柱侧=2r=2rl S S圆台侧圆台侧=(r+r)=(r+r)l S S圆锥侧圆锥侧=r=rl.2.2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式圆柱、圆锥、圆台的体积公式柱体的体积公式柱体的体积公式V=Sh(SV=Sh(S为底面面积，为底面面积，h h为高为高)；锥体的体积公式锥体的体积公式V=Sh
2、(SV=Sh(S为底面面积，为底面面积，h h为高为高)；台体的体积公式台体的体积公式V=(S+S)h.V=(S+S)h.1313SS【思考思考】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？提示：提示：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：V=Sh V=(S+S)h V=Sh.V=Sh V=(S+S)h V=Sh.13SS 133.3.球的表面积和体积公式球的表面积和体积公式设球的半径为设球的半径为R R，则球的表面积，则球的表面积S=4RS=4R2 2，即球的表面，即球的表面积等于它的大圆面积的积等于它的大圆面积的
3、4 4倍倍.球的体积球的体积V=RV=R3 3.43【思考思考】如何理解、把握球的表面积、体积公式？如何理解、把握球的表面积、体积公式？提示：提示：把握住球的表面积公式把握住球的表面积公式S S球球=4R=4R2 2，球的体积公，球的体积公式式V V球球=R=R3 3是计算球的表面积和体积的关键，半径是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了积计算的相关题目也就迎刃而解了.43【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)
4、球的体积之比等于半径比的平方球的体积之比等于半径比的平方.()(2)(2)长方体既有外接球又有内切球长方体既有外接球又有内切球.()(3)(3)球面展开一定是平面的圆面球面展开一定是平面的圆面.()(4)(4)圆台的高就是相应母线的长圆台的高就是相应母线的长.()【解析解析】(1)(1).球的体积之比等于半径比的立方球的体积之比等于半径比的立方.(2)(2).长方体只有外接球，没有内切球长方体只有外接球，没有内切球.(3)(3).球的表面不能展开成平面图形球的表面不能展开成平面图形.(4)(4).圆台的高是指两个底面之间的距离圆台的高是指两个底面之间的距离.2.2.两个球的半径之比为两个球的半
5、径之比为1313，那么两个球的表面积，那么两个球的表面积之比为之比为()A.19A.19B.127B.127C.13C.13D.11D.11【解析解析】选选A.A.由表面积公式知，两球的表面积之比由表面积公式知，两球的表面积之比为为 =19.=19.2212RR3.3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是柱的表面积与侧面积的比是()12141214A.B.C.D.242【解析解析】选选A.A.设圆柱底面半径、母线长分别为设圆柱底面半径、母线长分别为r r，l，由题意知由题意知l=2r=2r，S S侧侧=l=l2 2=4
6、=42 2r r2 2.S S表表=S=S侧侧+2r+2r2 2=4=42 2r r2 2+2r+2r2 2=2r=2r2 2(2+1)(2+1)，22 2S2 r 2112.S4r2表侧（）4.4.圆锥的母线长为圆锥的母线长为5 5，底面半径为，底面半径为3 3，则其体积，则其体积为为()A.15A.15B.30B.30C.12C.12D.36D.36【解析解析】选选C.C.设圆锥的高为设圆锥的高为h h，如图，则，如图，则h=h=所以其体积所以其体积V=Sh=V=Sh=3 32 24=12.4=12.22534.1313类型一圆柱、圆锥、圆台、球的表面积类型一圆柱、圆锥、圆台、球的表面积【
7、典例典例】1.1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为已知圆柱的上、下底面的中心分别为O O1 1，O O2 2，过直线，过直线O O1 1O O2 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 8的的正方形，则该圆柱的表面积为正方形，则该圆柱的表面积为()A.12 A.12 B.12B.12C.8 C.8 D.10D.10222.2.若球的过球心的截面圆的周长是若球的过球心的截面圆的周长是C C，则这个球的表面，则这个球的表面积是积是()A.A.B.B.C.C.D.2CD.2C2 23.3.已知某圆锥的底面半径为已知某圆锥的底面半径为8 8，高为，高为6 6，则该圆锥的表
8、，则该圆锥的表面积为面积为_._.2C42C22C【思维思维引引】1.1.根据条件画出图形，根据圆柱的侧面根据条件画出图形，根据圆柱的侧面展开图求出圆柱的底面半径展开图求出圆柱的底面半径.2.2.根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径，再求根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径，再求球的表面积球的表面积.3.3.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长.【解析解析】1.1.选选B.B.因为过直线因为过直线O O1 1O O2 2的平面截该圆柱所得的平面截该圆柱所得的截面是面积为的截面是面积为8 8的正方形，所以圆柱的高为的正方形，所以圆柱的高为2 2 ，底面
9、圆的直径为底面圆的直径为2 2 ，所以该圆柱的表面积为，所以该圆柱的表面积为2 2()()2 2+2+2 2 =12.2 =12.222222.2.选选C.C.由题意知大圆的半径即球的半径，设为由题意知大圆的半径即球的半径，设为R R，由由2R=C2R=C，得，得R=R=，所以，所以S S球面球面=4R=4R2 2=.=.C22C3.3.由题意，得该圆锥的母线长由题意，得该圆锥的母线长l=10=10，所以该圆锥的侧面积为所以该圆锥的侧面积为8 810=8010=80，底面积为，底面积为8 82 2=64=64，所以该圆锥的表面积为，所以该圆锥的表面积为80+64=144.80+64=144.答
10、案：答案：1441442286【内化内化悟悟】怎样求圆柱、圆锥、圆台的表面积？怎样求圆柱、圆锥、圆台的表面积？提示：提示：求圆柱、圆锥、圆台的表面积，关键是求出底求圆柱、圆锥、圆台的表面积，关键是求出底面圆的半径，圆柱、圆锥、圆台的高及母线长面圆的半径，圆柱、圆锥、圆台的高及母线长.【类题类题通通】1.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤：解决圆柱圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤：解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即
11、可，基本步骤如下：要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)(1)得到空间几何体的平面展开图得到空间几何体的平面展开图.(2)(2)依次求出各个平面图形的面积依次求出各个平面图形的面积.(3)(3)将各平面图形的面积相加将各平面图形的面积相加.2.2.球的表面积的求法球的表面积的求法要求球的表面积，关键是知道半径要求球的表面积，关键是知道半径R R或者通过条件能求或者通过条件能求出半径出半径R R，然后代入球的表面积公式求解，然后代入球的表面积公式求解.【习练习练破破】1.1.过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为，截面面积为48
12、 cm48 cm2 2，则球的表面积为，则球的表面积为_cm_cm2 2.【解析解析】易知截面为一圆面，如图所示，圆易知截面为一圆面，如图所示，圆O O是球的过是球的过已知半径的大圆，已知半径的大圆，ABAB是截面圆的直径，作是截面圆的直径，作OCOC垂直垂直ABAB于于点点C C，连接，连接OA.OA.由截面面积为由截面面积为48 cm48 cm2 2，可得，可得AC=4 cm.AC=4 cm.设设OA=R cmOA=R cm，则，则OC=R cmOC=R cm，所以，所以R R2 2-=(4 )-=(4 )2 2，解得解得R=8.R=8.故球的表面积故球的表面积S=4RS=4R2 2=25
13、6(cm=256(cm2 2).).331321(R)2答案：答案：2562562.2.如图所示，已知直角梯形如图所示，已知直角梯形ABCDABCD，BCADBCAD，ABC=90ABC=90，AB=5 cmAB=5 cm，BC=16 cmBC=16 cm，AD=4 cm.AD=4 cm.求以求以BCBC所在直线为轴旋所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积转一周所得几何体的表面积.【解析解析】以以BCBC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为其中圆锥的高为16-4=12(cm)16-4=12(c
14、m)，圆柱的母线长为，圆柱的母线长为AD=4 cmAD=4 cm，故该几何体的表面积为，故该几何体的表面积为225 54+4+5 52 2+5 513=130(cm13=130(cm2 2).).类型二圆柱、圆锥、圆台、球的体积类型二圆柱、圆锥、圆台、球的体积【典例典例】1.1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是侧面积是16 16 ，则圆锥的体积是，则圆锥的体积是 ()A.A.B.B.C.64C.64D.128 D.128 2643128322.2.棱台的上、下底面面积分别是棱台的上、下底面面积分别是2 2，4 4，高为，高为3 3，则该棱，则该棱台的体积是台
15、的体积是()A.18+6 A.18+6 B.6+2 B.6+2 C.24C.24D.18D.18223.3.用与球心距离为用与球心距离为1 1的平面去截球，所得的截面面积的平面去截球，所得的截面面积为为，则球的体积为，则球的体积为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()3288 2A.B.C.8 2D.333【思维思维引引】1.1.先由侧面积求出圆锥的底面半径和高先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积，再求体积.2.2.直接利用公式求体积即可直接利用公式求体积即可.3.3.根据与球心距离为根据与球心距离为1 1的平面去截球，所得的截面面积的平面去截球，所得的截面面积为为，先求出小圆的半径，再求球的
16、半径，进而求出，先求出小圆的半径，再求球的半径，进而求出球的体积球的体积.【解析解析】1.1.选选A.A.设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r r，母线长为，母线长为l，因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以2r=2r=即即l=r=r，由题意得，侧面积，由题意得，侧面积S S侧侧=r=rl=r=r2 2=16 16 ，所以所以r=4.r=4.所以所以l=4 =4 ，高，高h=4.h=4.所以圆锥的体积所以圆锥的体积V=Sh=V=Sh=4 42 24=.4=.22，ll222222r-l13136432.2.选选B.V=(S+S)h=B.V=(S+S)h=
17、(2+4)(2+4)3 3=6+2 .=6+2 .3.3.选选D.D.设截面圆的半径为设截面圆的半径为r r，则，则rr2 2=，故，故r=1r=1，由勾股定理求得球的半径为由勾股定理求得球的半径为 ，所以球的，所以球的体积为体积为 1313SS2 421 12348 22.33（）【内化内化悟悟】如何利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式巧解题？如何利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式巧解题？提示：提示：利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式解题时，首利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式解题时，首先要记准、记清公式，根据题目给出的已知条件求出先要记准、记清公式，根据题目给出的已知条件求出底面半径和几何体的高，再利用公式
18、求解即可底面半径和几何体的高，再利用公式求解即可.【类题类题通通】求几何体体积的常用方法求几何体体积的常用方法(1)(1)公式法：直接代入公式求解公式法：直接代入公式求解.(2)(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等成棱柱，棱台补成棱锥等.(4)(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积体积
19、.【习练习练破破】1.1.若一个圆锥的轴截面若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的过圆锥顶点和底面直径的截面截面)是面积为是面积为 的等边三角形，则该圆锥的体积的等边三角形，则该圆锥的体积为为()33A.3B.C.3D.323【解析解析】选选B.B.设圆锥底面圆的半径为设圆锥底面圆的半径为r r，则圆锥的高为，则圆锥的高为 r.r.由题意，得由题意，得 (2r)(2r)2 2=，得，得r=1r=1，所以该圆，所以该圆锥的体积锥的体积V=V=1 12 2 =.=.3343333132.2.已知已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，分别以，分别以ACAC，BCBC，ABAB所在所在
20、直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V V1 1，V V2 2，V.V.求证：求证：22212111.VVV【证明证明】如图，设如图，设AC=bAC=b，BC=aBC=a，作，作CHABCHAB于于H H，则则AB=.AB=.由射影定理，得由射影定理，得AH=AH=BH=BH=，CHCH2 2=AH=AHBH=BH=三个几何体分别是两个圆锥和组合体三个几何体分别是两个圆锥和组合体(有公共底面的有公共底面的圆锥组合体圆锥组合体)，依题意，得，依题意，得V V1 1=S=S1 1h h1 1=a=a2 2b b，22ab222b,ab222aab22
21、22a b.ab1313V V2 2=S=S2 2h h2 2=b=b2 2a a，V=V=CHCH2 2ABAB所以所以 13131322222222221a b1a bab,3ab3abggg2222244212119ab1.VVa bV（）类型三与球有关的切、接问题类型三与球有关的切、接问题【典例典例】1.1.将棱长为将棱长为2 2的正方体木块削成一个体积最大的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为的球，则该球的体积为()423A.B.C.D.33262.2.长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为3 3，2 2，1 1，其顶点都在球，其顶点都在球O O的球面上，则球的球
22、面上，则球O O的表面积为的表面积为_._.世纪金榜导世纪金榜导学号学号【思维思维引引】1.1.把正方体削成一个体积最大的球，该把正方体削成一个体积最大的球，该球是正方体的内切球，球的直径就是正方体的棱长球是正方体的内切球，球的直径就是正方体的棱长.2.2.球是长方体的外接球，球的直径是长方体的体对角球是长方体的外接球，球的直径是长方体的体对角线线.【解析解析】1.1.选选A.A.球的直径是正方体的棱长，球的直径是正方体的棱长，所以所以2R=22R=2，R=1.R=1.所以所以V=RV=R3 3=.=.2.2.球的直径是长方体的体对角线，球的直径是长方体的体对角线，所以所以2R=2R=S=4R
23、S=4R2 2=14.=14.答案：答案：14144343222232114S4 R14.，【类题类题通通】球的切接问题处理策略及常用结论球的切接问题处理策略及常用结论(1)(1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)(2)几个常用结论几个常用结论球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；方
24、体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；体的体对角线长等于球的直径；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与棱锥相切，则可利用球与棱锥相切，则可利用V V棱锥棱锥=S=S底底h=Sh=S表表R R，求球，求球的半径的半径R.R.1313【习练习练破破】1.1.棱长为棱长为2 2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积球的体积.【解析解析】正
25、方体的外接球直径等于正方体的体对角线正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即长，即2R=2R=，所以，所以R=R=，所以所以V V球球=()()3 3=4 .=4 .222222 343332.2.棱长为棱长为a a的正四面体的各个顶点都在半径为的正四面体的各个顶点都在半径为R R的球面的球面上，求其外接球的表面积上，求其外接球的表面积.【解析解析】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为为x x，则，则a=xa=x，由题意，由题意2R=2R=所以所以R=aR=a，所以，所以S S球球=4R=4R2 2=a=a2 2.22a63x3a22，64323.3.
26、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a2a，a a，a a，求其外接球的表面积和体积，求其外接球的表面积和体积.【解析解析】以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故径等于长方体的体对角线长，故2R=2R=R=aR=a，所以，所以S S球球=4R=4R2 2=6a=6a2 2，V V球球=222aa2a6a（），62333446R(a)6a.332g
