1、1.3 反比例函数的应用第1章 反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力提高运用代数方法解决问题的能力.2.能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力象、性质的综合能力.(重点、难点重点、难点)3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围能够根据实际问题确定自变量的取值范围导入新课导入新课 对于一个矩形，当它面积一
2、定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为 (S 0).请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式实例：函数解析式：三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入Sab2Syx(S0)的反比例函数 ；讲授新课讲授新课反比例函数在实际生活中的应用一引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S
3、的反比例函数吗？为什么？由p 得pp是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？当S0.2m2时，p 3000(Pa)答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象 图象如下当 p6000 Pa时，S 0.1m20.10.5O0.60.30.20.41000300040002000500060002mp/PaS/例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室
4、的底面积 S(单位：m2)与其深度 d(单位：m)有怎样的函数关系?解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd=104，S 关于d 的函数解析式为410.Sd典例精析(2)公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深?解得 d=20.如果把储存室的底面积定为 500 m，施工时应向地下掘进 20 m 深.解：把 S=500 代入 ，得410Sd410500d，(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m.相 应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小 数点后两位)?解得 S666.67.当储存室的深度为15
5、 m 时，底面积应改为 666.67 m.解：根据题意，把 d=15 代入 ，得410Sd41015S，第(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？第(2)问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第(3)问则是与第(2)问相反 想一想：1.矩形面积为矩形面积为 6，它的长，它的长 y 与宽与宽 x 之间的函数关系用之间的函数关系用 图象可表示为图象可表示为 ()B练一练A.B.C.D.xyxyxyxy2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升升 (1升升1立方分米立方分米)的圆锥形漏斗的圆锥形漏斗 (1)漏
6、斗口的面积漏斗口的面积 S(单位：单位：dm2)与漏斗的深与漏斗的深 d(单单位：位：dm)有怎样的函数关系有怎样的函数关系?d解：3.Sd(2)如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？解：10cm=1dm，把 d=1 代入解析式，得 S=3.所以漏斗口的面积为 3 dm2.(3)如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少?解：60 cm2=0.6 dm2，把 S=0.6 代入解析式，得 d=5.所以漏斗的深为 5 dm.例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数
7、t 之间有怎样的函数关系?提示：根据平均装货速度装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式.解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k=308=240，所以 v 关于 t 的函数解析式为240.vt(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大.这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.解：把 t=5 代入 ，
8、得240vt24048.vt练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走(1)假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式；解：1200.yx(2)若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？解：x=125=60，代入函数解析式得120020.60y 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.(3)在(2)的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？解
9、：运了8天后剩余的垃圾有 1200860=720(立方米)，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 7206=120(立方米)，所以需要的拖拉机数量是：12012=10(辆)，即至少需要增加拖拉机105=5(辆).例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地.(1)甲、乙两地相距多少千米？解：806=480(千米)答：甲、乙两地相距 480 千米.(2)当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？解：由题意得 vt=480，整理得 (t 0).480vt例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200
10、 N 和 0.5 m.(1)动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系?当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力?反比例函数在其他学科中的应用一解：根据“杠杆原理”，得 Fl=12000.5，F 关于l 的函数解析式为600.Fl当 l=1.5m 时，600400.1.5F 对于函数 ，当 l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.600Fl(2)若想使动力 F 不超过题(1)中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少?提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小.因此，只要求出 F=200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长
11、的量.600Fl解：当F=400 =200 时，由200=得12600l6003200l，3001.5=1.5(m).对于函数 ，当 l 0 时，l 越大，F越小.因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.600Fl 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？想一想：假定地球重量的近似值为 61025 牛顿(即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？由已知得Fl610252106=1.21032 米，当 F=500时
12、，l=2.41029 米，解：2000 千米=2106 米，练一练变形得：321.2 10.Fl故用2.41029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110220.已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?U解：根据电学知识，当 U=220 时，得2220.pR(2)这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小.把电阻的最小值 R=110 代入求得的解析式，得到功率的最大值 把电阻的最大值 R=220 代入求得的解析式，得到功率的最小值 2220440110p；22
13、20220.220p 因此用电器功率的范围为220440 W.1.在公式在公式 中，当电压中，当电压 U 一定时，电流一定时，电流 I 与电与电 阻阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为之间的函数关系可用图象大致表示为 ()D练一练A.B.C.D.IRIRIRIRUIR2.在某一电路中，保持电压不变，电流在某一电路中，保持电压不变，电流 I(安培安培)和电阻和电阻 R(欧姆欧姆)成反比例，当电阻成反比例，当电阻 R5 欧姆时，电流欧姆时，电流 I2 安培安培 (1)求求 I 与与 R 之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)当电流当电流 I0.5 时，求电阻时，求电阻 R 的值的值 解：(
14、1)设 当电阻 R=5 欧姆时，电流 I=2 安培，U=10 I 与 R 之间的函数关系式为 UIR，10.IR100.5R(2)当I=0.5 安培时，解得 R=20(欧姆)当堂练习当堂练习1.面积为面积为 2 的直角三角形一直角边为的直角三角形一直角边为x，另一直角边，另一直角边 长为长为 y，则，则 y 与与 x 的变化规律用图象可大致表示为的变化规律用图象可大致表示为 ()A.xy1O2xy4O4B.xy1O4C.xy1O414D.C2.(1)体积为体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：单位：cm)与面条粗细与面条粗细(横截面积横截面
15、积)S(单位：单位：cm2)的函数关系为的函数关系为 .(2)某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm.20ySS020003.A、B两城市相距两城市相距720千米，一列火车从千米，一列火车从A城去城去B城城.(1)火车的速度火车的速度 v(千米千米/时时)和行驶的时间和行驶的时间 t(时时)之间的函数关系是之间的函数关系是_ (2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在在 3 小时内回到小时内回到 A 城，则返回的速度不能低城，则返回的速度不能低 于于_240千米/时 720vt4.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进
16、一批煤，学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期吨计算，一学期(按按150 天计算天计算)刚好用完刚好用完.若每天的耗煤量为若每天的耗煤量为 x 吨，那么吨，那么 这批煤能维持这批煤能维持 y 天天.(1)则则 y 与与 x 之间有怎样的函数关系？之间有怎样的函数关系？解：煤的总量为：0.6150=90(吨)，根据题意有90yx(x0).(2)画出函数的图象；解：如图所示.30901xyO(3)若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？解：每天节约 0.1 吨煤，每天的用煤量为 0.60.1=0.5(吨)，这批煤能维持 1
17、80 天 9090180.0.5yx5.王强家离工作单位的距离为王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自米，他每天骑自行行 车上班时的速度为车上班时的速度为 v 米米/分，所需时间为分，所需时间为 t 分钟分钟 (1)速度速度 v 与时间与时间 t 之间有怎样的函数关系？之间有怎样的函数关系？解：3600.vt(2)若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？解：把 t=15代入函数的解析式，得：答：他骑车的平均速度是 240 米/分.3600240.15y(3)如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位?解：把 v=300 代入函数解析式得：
18、解得：t=12答：他至少需要 12 分钟到达单位3600300t，6.蓄电池的电压为定值使用此电源时，电流 I(A)是电 阻 R()的反比例函数，其图象如图所示 (1)求这个反比例函数的表达式；解：设 ，把 M(4，9)代入得 k=49=36.这个反比例函数的 表达式为 .kIR36IRO9I(A)4R()M(4，9)(2)当 R=10 时，电流能是 4 A 吗？为什么？解：当 R=10 时，I=3.6 4，电流不可能是4A7.某汽车的功率某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s)与它所受的牵引力与它所受的牵引力F(N)之间的函数关系如之间的函数关系
19、如 下图所示：下图所示：(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式；达式；O20v(m/s)3000 F(N)解：60000.vF(3)如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？(2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？解：把 F=1200 N 代入求得的解析式得 v=50，汽车的速度是3600501000=180 km/m.答案：F 2000 N.8.在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数开挖水渠的工程，所需天数 y(天天
20、)与每天完成的工与每天完成的工 程量程量 x(m/天天)的函数关系图象如图所示的函数关系图象如图所示.(1)请根据题意，求请根据题意，求 y 与与 x 之间的函数表达式；之间的函数表达式；5024x(m/天)y(天)O解：1200.yx(2)若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？解：由图象可知共需开挖水渠 2450=1200(m)；2 台挖掘机需要 1200(215)=40(天).(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？解：120030=40(m)，故每天至少要完成40 m课堂小结课堂小结实际问题中的反比例函数过程：分析实际情境建立函数模型明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同同学们,加油！2005年11月7日7时33分
