1、第十八章 平行四边形18.2.3 正方形第2课时 正方形的判定学习目标1探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算(难点)你觉得什么样的四边形是你觉得什么样的四边形是正方形呢正方形呢?(?(判断一个四边形判断一个四边形是正方形有哪些方法？）是正方形有哪些方法？）新课问题引入问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：四个角都是直角;四条边都相等;对角线相等且互相垂直平分.O提出问题问题2 你是如何判断是矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形
2、三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直提出猜想已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,ACDB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是矩形,AO=CO=BO=DO，ADC=90.ACDB,AD=AB=BC=CD,四边形ABCD是正方形.ABCDO对角线互相垂直的矩形是正方形.判定方法证明活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，
3、观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等提出猜想已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,ACDB.AC=DB,AO=BO=CO=DO,AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90,四边形ABCD是正方形.ABCDO对角线相等的菱形是正方形.判定方法证明正方形判定的几条途径：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角，一组邻边相等，对角
4、线相等对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角总结判定方法正方形的正方形的4个判定定理个判定定理w1 1、有一个组邻边相等的矩形是正方形、有一个组邻边相等的矩形是正方形w2 2、有一个角是直角的菱形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形.w3 3、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形.w4 4、对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.总结判定定理(1)(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(2)(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （）(3)(3)
5、如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （）(4)(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（）(5)(5)四个角都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形 ()()(6)(6)四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 ()()判定方法即时应用 1、下列命题正确的是（、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形、对角线
6、相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形D判定方法即时应用 2四个内角都相等的四边形一定是（四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D、平行四边形、平行四边形 3在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点，能判定这个是对角线的交点，能判定这个四边形是正四边形是正 方形的是：（方形的是：（）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA判定方法即时应用4 4、已知四边形、已知四边形ABCDABCD是平行四边形，对角线是平行四边形，对角线ACAC、BDBD
7、相相交于点交于点O O。若若AB=BC，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若BCD=900，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若OA=OB，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若AB=BC，且，且AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是（是（）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形判定方法即时应用例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=D
8、M.分析：由已知可证AENBFECMFDNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.判定方法典例精讲在AEN、BFE、CMF、DNM中，AE=BF=CM=DN,A=B=C=D,AN=BE=CF=DM,AENBFECMFDNM,EN=FE=MF=NM，ANE=BEF,四边形EFMN是菱形，NEF=180（AEN+BEF）=180（AEN+ANE）=18090=90.四边形EFMN是正方形.例2、直角三角形、直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求证：四边形。求证：四边形CEDFCEDF是正方形。是正方形。A
9、BCDEF四边形四边形ABCDABCD是正方形（是正方形（)DE=DF()DE=DF()DEACDEAC，DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形()()而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=90，DFC=90DFC=90证明：证明：DEAC DEAC，DFABDFAB有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形判定方法典例精讲例3 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点E
10、运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由（1）证明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，BAF=EAD，在ADE和ABF中，ADAB，DAEBAF，AEAF ,ADEABF（SAS），BF=DE；判定方法典例精讲（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：点E运动到AC的中点，AB=BC，BEAC，BE=AE=AC，AF=AE，BE=AF=AE.又BEAC，FAE=BEC=90，BEAF，BE=AF，得平行四边形AFBE，FAE=90，AF=AE，四边形AFBE是正方形121.下列命题正确的是（）A.四
11、个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形D课堂反馈训练2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B当ACBD时，四边形ABCD是菱形 C当ABC=90时，四边形ABCD是矩形 D当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 D课堂反馈训练3.如图，四边形ABCD中，ABC=BCD=CDA=90，请添加一个条件_，可得出该四边形是正方形AB=BC(答案不唯一)ABCDO4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，AC
12、BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_（只填写序号）或课堂反馈训练 1 1、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一点，上任意一点，PEACPEAC于点于点E E，PFBDPFBD于点于点F F，求，求PE+PFPE+PF的值。的值。ABCDEPFO核心素养培养2.2.如图正方形如图正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，O O又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG的一个的一个顶点，若正方形顶点，若正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程
13、中.探究探究2:2:若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边分别相交于两边分别相交于M NM N，试判断，试判断线段线段AMAM于于BNBN之间的关系之间的关系.探究探究1:1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？探究探究3:3:若正方形若正方形ABCDABCD的边长为的边长为1 1，则阴影部分面积，则阴影部分面积BMONBMON为多少？为多少？核心素养培养3.如图，点如图，点M是矩形是矩形ABCD边边AD的中点，的中点，2ABAD，点，点P是边是边BC上上一动点，一动点，PEMC，PFMB，垂足分别为，垂足分别为E、F，
14、求点，求点P运动到什么运动到什么位置时，四边形位置时，四边形PEMF为正方形？为正方形？P M F E D C B A核心素养培养4.4.已知，如图在已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形。是矩形。当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。ABCEMND核心素养培养5.如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形A
15、BCD与CEFG是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC核心素养培养6.如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP核心素养培养5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结感谢您的聆听
