1、第十一章第十一章 材料力学中的材料力学中的能量方法能量方法11.1 基本概念基本概念11.2 互等定理互等定理11.3 虚位移原理、内力虚功虚位移原理、内力虚功11.4 莫尔方法莫尔方法11.5 莫尔积分应用直杆时的图乘法莫尔积分应用直杆时的图乘法11.6 卡式定理卡式定理11.7 结论与讨论结论与讨论11.1.1 作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功11.1 11.1 基本概念基本概念外力功：外力功：在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功其作用方向产生位移，便引起外
2、力做功。变形能或应变能：变形能或应变能：弹性固体因变形将具有作功的本领弹性固体因变形将具有作功的本领，即能量即能量。能量法：能量法：根据能量守恒原理，外力功根据能量守恒原理，外力功w应等于弹性体的应变能应等于弹性体的应变能 V。WV本章主要研究能量法的以下问题：本章主要研究能量法的以下问题：1.外力功与杆件应变能的计算外力功与杆件应变能的计算；2.能量法的卡式定理能量法的卡式定理；3.能量法的单位载荷法与莫尔积分能量法的单位载荷法与莫尔积分；4.能量法的力法求解超静定结构能量法的力法求解超静定结构。一、外力功的计算一、外力功的计算 线弹性结构上的外力功的计算线弹性结构上的外力功的计算。b)FF
3、Fd0dWF在线弹性范围内，在线弹性范围内，F与与成正比成正比12WFFa)AB1、F为一个集中力为一个集中力，就是沿就是沿F作用方向的线位移作用方向的线位移 1、轴向拉压杆、轴向拉压杆 需要指出：需要指出：F与与均为广义量均为广义量2、F为一个集中力偶为一个集中力偶，就是角位移就是角位移 3、F为为一对等值、反向的集中力或集中力偶一对等值、反向的集中力或集中力偶，就是就是相对线位移或相对角位移相对线位移或相对角位移 11.1.2、杆件的弹性应变能、杆件的弹性应变能轴向变形轴向变形 NddFxlxEA轴力在轴力在dl上作上作的功的功 2NN1ddd22FxWFxlxEA整根杆的应变能整根杆的应
4、变能 2Nd2lFxVxEA当当FN/EA为常量时为常量时 2N2FlVEA2、圆轴扭转、圆轴扭转 扭转圆轴的应变能扭转圆轴的应变能 当当T/GIT/GIp p为常量时为常量时 3、对称弯曲梁、对称弯曲梁 对称弯曲梁的应变能对称弯曲梁的应变能 由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦适用于刚架。适用于刚架。2pd2lTxVxGI2p2TlVGI 2d2lMxVxEI4、组合变形杆、组合变形杆 222Npddd222lllFxTxMxVxxxEAGIEI例例11-1 悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及悬臂梁如图所示，试计算其应变能以
5、及B截面截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。解：（解：（1）梁的应变能）梁的应变能 梁任一横截面上的弯矩梁任一横截面上的弯矩（2）截面的转角）截面的转角 梁上外力的功为梁上外力的功为 MexBAl eM xM 即得梁的应变能即得梁的应变能 222eedd222llMxMM lVxxEIEIEIe12BWM由由 2ee122BM lMEI于是于是 eBM lEI旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。例例11-2 试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为刚度为EI，杆的拉压刚度为，杆的拉压刚
6、度为EA。解解（1）CB杆的轴力杆的轴力（2）由截面法，得梁的弯矩方程为）由截面法，得梁的弯矩方程为 得梁的应变能得梁的应变能 即得即得CB杆的应变能杆的应变能 所以，整个结构的应变能所以，整个结构的应变能 ClABxqaN12Fql22 2N28CBFaq l aVEAEA 21122M xqlxqx 2222 51122dd22240ABllqlxqxMxq lVxxEIEIEI2 22 58240CBABq l aq lVVVEAEI例例11-3 在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为均为EA，试计算结点的竖直位移，试计算结点的竖直位移BV。解（
7、解（1）计算外力功）计算外力功（2）计算应变能）计算应变能由截面法，得由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为两杆的轴力分别为 三角支架上外力的功为三角支架上外力的功为 三角支架的应变能三角支架的应变能 21l45FACBV12BWFN1FFN22FF 222N2N1212 2222FlF lF lVEAEAEA（3）计算）计算BV 2V112 222BF lFEA由由 得得 V12 2BFlEA11.2 互等定理互等定理 22122 11.2.1、功互等定理、功互等定理 在载荷在载荷F1和和F2共同作用共同作用下，下，1、2点处的位移点处的位移先加先加F1，再加，再加F2 11112 2221
8、21111)a(2121FFFV先加先加F2，再加，再加F1 111212222)b(2121FFFV应变能与加载次序无关应变能与加载次序无关 F1在在F2单独作用下引起的单独作用下引起的1点的位移点的位移12上所作的功，上所作的功，等于等于F2在在F1单独作用下引起的单独作用下引起的2点处的位移点处的位移21上所上所作的功，这就是作的功，这就是功互等定理功互等定理。)b()a(VV212121FF11.2.2、位移互等定理、位移互等定理当当F1=F2 时，有时，有 12=21 当当F1、F2数值相等时，数值相等时，F2在在1点引起的沿点引起的沿F1方向的位方向的位移移12，等于，等于F1在在
9、2点引起的沿点引起的沿F2方向的位移方向的位移21，此，此为为位移互等定理位移互等定理。例例 所示外伸梁，抗弯刚度所示外伸梁，抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点为常量。已知在跨度中点C处作用集中力处作用集中力F时，截面时，截面B的转角为的转角为 ，试，试求在截面求在截面D作用力偶作用力偶MD时，跨度中点时，跨度中点C的挠度。的挠度。解解图图a为第一载荷系统，为第一载荷系统，图图b为第二载荷系统为第二载荷系统 由功互等定理由功互等定理 于是有于是有)16/(2EIFlBBDCMFEIlMFEIFlMDDC161162211.3.1 虚位移原理虚位移原理（1）刚体）刚体虚位移 满足约束条件的假想的
10、任意微小位移。虚位移原理 作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。11.3 11.3 虚位移原理、内力虚功虚位移原理、内力虚功（2）可变形固体）可变形固体 满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。外力作用下，物体产生变形的同时产生内力外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移 虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）Wi（内力虚功）0 （815）1.梁的虚位移原理梁的虚位移原理 图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件
11、和变形连续条件的假想的任意微小位移，与梁上的荷载及其内力完全无关。(a)x 实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy 梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为nFFF,21n,21 外力对于虚位移所作的总虚功为niiinFFFFW132211e (a)(a)外力虚功外力虚功(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功内力虚功 取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。11.3.2 各种受力形式下的内力虚功各种受力形式下的内力虚功由于梁的虚位移，使微段位移至图d 所示位置。微段的虚位移可分为两部分：一
12、为刚性体位移一为刚性体位移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd 位置移至 。1111dcba（图d 的实线）(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy二为变形虚位移二为变形虚位移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由 移到 （图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。1111dcbadcba(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy)2d)(d()2d()2d)(d()2d(SSSFFFMMMddSFM(b)M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。
13、SFM、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为SF(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理(3-15)，即。0dddSiFMW)dd(dSFMWi (c)梁的内力虚功为llFMWW0S0ii)dd(d (d)0)dd(0S1liniiFMF将(a),(d)式代入（315）式，得梁的虚位移原理表达式虚位移原理表达式为得即liniiFMF0S1)dd(8-16)组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力Q，轴力N及扭矩Mn。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角 dj。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原
14、理表达式为lniniiMNQMF01)dddd(jd (8-17)2.组合变形的虚位移原理组合变形的虚位移原理 由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，所以(3-17)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生的内力，为广义虚位移，d,d,dd,为微段的变形虚位移。ijd单位力法单位力法 (1)因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移d,d,dd,dj 作为变形虚位移。即以实际位移以实际位移作为虚位移。作为虚位移。(2)若要确定在荷载作用
15、下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为 。TFFM,NS（3）单位力所做的外力虚功为 We=1lTFFMW0NSi)dddd(jd单位力法的虚位移原理表达式为lTFFM0NS)dddd(1jd(3-18)该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。杆件的内力虚功为pNSsdd,dd,dd,ddGIxTEAxFGAxFEIxMjd(3-19)于是(3-18)成为llllGIxTTEAxFFGAxFFEIxMMpNNSsSdddd1(3-20)式中 为
16、由单位力引起的内力，为荷载引起的内力。为大于1的系数，见例 320。TFFM,NSTFFM,NSs(4)线弹性体线弹性体由荷载引起的微段变形位移公式为线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为 11.4、莫尔方法、莫尔方法则则 AExxFd)(dNdpd)(dGIxxTjxIExMd)(dlllIExxMxMIGxxTxTAExxFxFd)()(d)()(d)()(1pNN上式为计算线弹性杆件或杆系结构位移的一般公上式为计算线弹性杆件或杆系结构位移的一般公式，又称为式，又称为莫尔积分莫尔积分。)(NxF)(xT)(xM 为实际载荷作用于结构时为实际载荷
17、作用于结构时x截面上截面上的轴力、扭矩和弯矩。的轴力、扭矩和弯矩。为单位载荷单独作用于同一结为单位载荷单独作用于同一结构时构时x截面上的轴力、扭矩和弯矩。截面上的轴力、扭矩和弯矩。)(NxF)(xT)(xM1.平面弯曲变形平面弯曲变形 各种基本变形的莫尔积分式各种基本变形的莫尔积分式2.轴向拉压变形轴向拉压变形 3.扭转变形扭转变形 lIExxMxMd)()(niiiiiiAElFF1NNlIGxxTxTpd)()(例例 图图11-15a所示刚架，若两杆抗弯及抗拉所示刚架，若两杆抗弯及抗拉(压压)刚度分别刚度分别为为EI和和EA，且为常数。试求，且为常数。试求A点的水平位移点的水平位移 。解解
18、 在在A点加一水平单位力点加一水平单位力 各段的弯矩方程和轴力方程各段的弯矩方程和轴力方程 BC段段 HAAB段段 0)()(0)()(NNxFxxMxFFxxM1)()()()(NNxFaxMFxFFaxM代入莫尔积分式代入莫尔积分式)(3d)1)(d)(d)(23000HEAFbEIbFaEIFaxEAFxEIaFaxEIxFxbbaA当当 时，上式变为时，上式变为 第一项是由于弯曲变形引起的第一项是由于弯曲变形引起的A点的位移，点的位移，第二项是由于轴向变形引起的第二项是由于轴向变形引起的A点的位移。点的位移。可见由于轴向变形引起的位移大约是弯曲变形引可见由于轴向变形引起的位移大约是弯曲
19、变形引起位移的起位移的0.3%。若两杆均为直径为若两杆均为直径为d的圆截面杆，且设的圆截面杆，且设a=4d，则，则I/A=d2/16，A点的水平位移为点的水平位移为 ab 23H43134AaIEIFaA102431346431343223HEIFaadEIFaA 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：的积分：lxIExMxMd)()(lxxMxMd)()(对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外，故只需计算积分故只需计算积分目录tg)(xxMllxxMxxxMxMd)(tgd)()(tg xCCM直杆的直杆的M
20、(x)图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。目录IEMxIExMxMCld)()(顶点顶点23lh13lh二次抛物线的二次抛物线的 顶点顶点目录二、常见图形的面积和形心位置二、常见图形的面积和形心位置 LFIEMxIExMxMwClBd)()(32212lFlIE IEFl33FlF解解（1）求自由端的挠度）求自由端的挠度例题例题试用图乘法求试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。目录FlFm=1(2)求自由端的转角求自由端的转角1212FlIEB顺时针IEFl22例题例题13-1213-12目录 图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，i为广义位移。各
21、力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。11.6.1 卡氏定理及其证明卡氏定理及其证明iniiifWUdd10（810）设各力和相应位移的瞬时值分别为fi,d i，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理),(21nifU表明为位移状态函数。假设与第 i个荷载Fi相应的位移i有一微小位移增量di，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为（di不是由Fi产生的，Fi di为常力做的功）iiFWdd （a）iiUUdd(b)式中，为应变能对位移 的变化率。iUi（811）式为卡氏
22、第一定理卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故（811）适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。iiUF（811）得WUdd令11.6.2 卡氏定理的内力分量形式卡氏定理的内力分量形式 线弹性结构线弹性结构 应变能应变能第第i个外力增加一微量个外力增加一微量dFi，结构应变能为，结构应变能为1.先施加先施加F1，F2，Fn，后加，后加dFi),(21nFFFVV，iiFFVVd应变能应变能(1)在施加在施加dFi时时,其作用点沿其作用点沿dFi方向的位移为方向的位移
23、为di，结构中的应变能为结构中的应变能为dFidi/2。2.先施加先施加dFi，后加，后加F1，F2，Fn9.4 卡氏第二定理卡氏第二定理iiiiFVFddd21(2)再施加再施加F1，F2，Fn时的应变能时的应变能V。(3)同时同时,在在Fi的方向的方向(即即dFi的方向的方向)上又发生了位移上又发生了位移i，“等候等候”在此的常力在此的常力dFi又完成了功又完成了功dFii。略去二阶微量，得略去二阶微量，得 根据弹性结构的应变能与加力次序无关的性质根据弹性结构的应变能与加力次序无关的性质 9.4 卡氏第二定理卡氏第二定理线弹性结构的应变能对某一载荷线弹性结构的应变能对某一载荷Fi的偏导数，
24、等于在的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏第二定理卡氏第二定理。1dd dd2iiiiiiVVFFVFF iiFV 交换上式中的积分与微分次序交换上式中的积分与微分次序,即先对即先对Fi求微分，求微分，再对再对x积分，得积分，得 例：对于横力弯曲例：对于横力弯曲,由卡氏第二定理，得由卡氏第二定理，得 liiiEIxxMFFV2d)(2liixFxMEIxMd)()(例例 图图9-9a所示悬臂梁的抗弯刚度所示悬臂梁的抗弯刚度EI为常数。试用卡氏为常数。试用卡氏第二定理计算自由端第二定理计算自由端B截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。解解(1)求截面
25、求截面B的挠度的挠度 梁内任意横截面梁内任意横截面x处的处的弯矩及其对载荷弯矩及其对载荷F的的偏导数为偏导数为 21()2MM xFxqxxF 831d)(2114302qlFlEIxxqxFxEIlB(2)求截面求截面B的转角的转角在截面在截面B处处“虚拟虚拟”地施加一个力偶地施加一个力偶Me 2ee1()12MM xMFxqxM并令并令Me=0，得，得 ee002230()()d111 11d226lBMlM xM xxEIMFxqxxFlqlEIEI结果为负，说明结果为负，说明B的转向与施加的的转向与施加的“虚拟虚拟”力偶力偶Me的转向相反。的转向相反。例例 图图9-10a所示简支刚架的
26、抗弯刚度所示简支刚架的抗弯刚度EI为常量，不计轴为常量，不计轴力和剪力的影响，求截面力和剪力的影响，求截面B的转角和截面的转角和截面C的水平位移。的水平位移。解解(1)求截面求截面B的转角的转角 各段弯矩方程及其对各段弯矩方程及其对MB的偏导数的偏导数1()2BCyMFqllAB段段021)(2111BMMqxqlxxMCB段段lxMMxlMlqxMBB22221)(EIqlxlxxlMxqlEIlqlMBBB2d213022222截面截面B的转角的转角 1()()2BAyAxMFqlFqll(2)求截面求截面C的水平位移的水平位移 在在C处虚加水平力处虚加水平力FC AB段段CB段段截面截面
27、C的水平位移的水平位移()AxCFFql33()()22AyCC yCFqlFFqlF各段的弯矩方程及其对各段的弯矩方程及其对FC的偏导数的偏导数 1211121)()(xFMqxxqlFxMCC22223)(xFMxFqlxMCC042H11112220011317()dd2224FCllCCCqlFql xqxx xqlFxxxEIEI 能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著弹性力学的变分原理及应用。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。11.7、结论与讨论、结论与讨论11.7.1、关于单位力的讨论应用图乘法须注意：应用图乘法须注意：(1)(1
28、)画画 和和 图时，正负号规定要一致。图时，正负号规定要一致。)(xM)(xM(2)(2)必须取自直线图形。如果必须取自直线图形。如果M图和图和 图都是图都是直线图形，则直线图形，则 的数值可取自任一个图形。的数值可取自任一个图形。CMMCM(3)(3)当当M为正弯矩时，为正弯矩时，为正，反之为负。为正，反之为负。(4)(4)图乘时应注意分段，每一段的图乘时应注意分段，每一段的 须为常数，须为常数，且且 图必须为一条直线，否则必须分段计算。图必须为一条直线，否则必须分段计算。EIM(5)(5)当当M图较复杂时，可考虑用叠加法作弯矩图，图较复杂时，可考虑用叠加法作弯矩图，以易于确定以易于确定M图的形心位置图的形心位置 和面积和面积 。Cx11.7.2、应用图乘法时弯矩图的另一种画法
