1、第第13章章 全等三角形全等三角形13.4 尺规作图尺规作图第第1课时课时 尺规作图尺规作图1课堂讲解课堂讲解u 作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段u 作一个角等于已知角作一个角等于已知角u 作已知角的平分线作已知角的平分线u 经过一已知点作已知直线的垂线经过一已知点作已知直线的垂线u 作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段1 1.尺规作图的定义：尺规作图的定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的我们把只能使用圆规和没有刻度的直直 尺尺这两种工具作几何图形
2、的方法称为尺规作图这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图2 2常见的五种基本作图：常见的五种基本作图：(1)(1)作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；(2)(2)作一个角等于已知角；作一个角等于已知角；(3)(3)作已知角的平分线；作已知角的平分线；(4)(4)经过一已知点作已知直线的垂线；经过一已知点作已知直线的垂线；(5)(5)作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线知知1 1讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲作一条线段等于已知线段的作法：作一条线段等于已知线段的作法：如图如图13.4-1所示，已知所示，已知线段线段DE，作一条线段，作一条线段等于等于
3、已知已知线段线段DE.图图13.4-1作法：如图作法：如图13.4-1所示所示第一第一步：先作射线步：先作射线AB；第二步：再用圆规在射线第二步：再用圆规在射线AB上截取上截取AC，使，使AC DE，线段，线段AC就是所要作的线段就是所要作的线段（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲 例例1 下列下列说法正确的是说法正确的是()A作直线作直线ABCDB延长直线延长直线ABC延长射线延长射线AB D延长线段延长线段AB导引：导引：直线直线没有端点，可以向两方无限延伸，没有端点，可以向两方无限延伸，不可不可测量测量故故A，B错误；射线只有一个端点错误；射线只有一个端点，可可无限延伸，
4、也可反向延长，故无限延伸，也可反向延长，故C错误；错误；线线段段有两个端点，不可以向两方无限延伸，有两个端点，不可以向两方无限延伸，可可以以测量，故测量，故D正确故选正确故选D.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）D知知1 1讲讲 例例2 如如图图13.4-2，已知线段，已知线段a，b(ab)，求作一条，求作一条线段线段AB，使，使AB2(ab)图图13.4-2解解：如图如图13.4-3，线段，线段AB为所求为所求 图图13.4-3 作法：作法：(1)作射线作射线OP；(2)在射线在射线OP上顺次截取上顺次截取OMMBa；(3)在线段在线段OB上顺次截取上顺次截取ONNAb，则，则线段线段A
5、B就是所求作的线段就是所求作的线段（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲点拨点拨 解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系化线段之间的数量关系（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）2知识点知识点作一个角等于已知角作一个角等于已知角知知2 2讲讲1.作一个角等于已知角的作法：作一个角等于已知角的作法：如如图图13.4-4所所示，已知示，已知AOB，作作AOBAOB.作法作法：如图如图13.4-5所示所示第一步：作射线第一步：作射线OA第二步：以点第二步：以点O为圆心为圆心，以以适当长为半径作弧适当长为半径作弧，交，交OA于
6、于点点C，交，交OB于点于点D；图图13.4-4（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.4-5知知2 2讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）第三第三步：以点步：以点O为圆心，以为圆心，以OC长为半径作弧长为半径作弧，交交OA于点于点C；第四步：以点第四步：以点C为圆心，以为圆心，以CD长为半径作弧，长为半径作弧，交交前前一条弧于点一条弧于点D；第五步：经过点第五步：经过点D作射线作射线OB，AOB就是所就是所求求的角，如图的角，如图13.4-5.知知2 2讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）2作一个角等于已知角的理论依据：作一个角等于已知角的理论依据：作一个作一个角角等于等
7、于已知角的理论依据是全等三角形的判定方法已知角的理论依据是全等三角形的判定方法“S.S.S.”理由如下：如图理由如下：如图13.4-5所示，连结所示，连结CD.由作法的第二、三、四步知，由作法的第二、三、四步知，OCOCODOD，CDCD.OCD OCD(S.S.S.)知知2 2讲讲（来源于教材）（来源于教材）我们我们在讨论三角形全等的条件时，曾利用上述在讨论三角形全等的条件时，曾利用上述两两种基本种基本作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三边分作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三边分别别作出作出 相应的三角形相应的三角形.图图13.4.3这是我们在七年级这是我们在七年级已经学习过的作一已经学习
8、过的作一个角等于已知角的个角等于已知角的方法，你能用学过方法，你能用学过的知识说明为什么的知识说明为什么AOB=AOB吗？吗？知知2 2讲讲 例例3 如图如图13.4-6所示，已知所示，已知，求作，求作AOB，使，使AOB.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.4-6图图13.4-7知知2 2讲讲解：解：作法作法：(1)分别以点分别以点E，P为圆心、以适当长为为圆心、以适当长为半径半径 画画弧，交弧，交的两边于点的两边于点F，G，交，交的两边的两边于于 点点M，N；(2)作射线作射线OA，以点，以点O为圆心，以为圆心，以EF长为半径长为半径画画弧弧l，交射线，交射线OA于点于点C；(
9、3)以点以点C为圆心，以为圆心，以GF的长为半径画弧，交弧的长为半径画弧，交弧l于于点点H；以点；以点H为圆心、以为圆心、以MN长为半径画弧，长为半径画弧，在在OA的同侧与弧的同侧与弧l交于点交于点Q；(4)过点过点Q作射线作射线OB，则，则AOB就是所求作的角就是所求作的角，如如图图13.4-7所示所示（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲叙述作法时，要注意对方向的描述，以本题为例，叙述作法时，要注意对方向的描述，以本题为例，(3)应说明所画的弧与弧应说明所画的弧与弧l的交点在的交点在OA的同侧还是异侧的同侧还是异侧（来自（来自点拨点拨）1 任意任意画出两个画出两个角
10、角1和和2,其中其中1 2,再作一个角，再作一个角，使它使它等于等于1-2.知知2 2练练（来自教材）（来自教材）2(中考中考宁德宁德)如图，用尺规作图：如图，用尺规作图：“过点过点C作作CN OA”，其作图依据是，其作图依据是()A同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行B内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行C同旁内角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行D同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3知识点知识点作已知角的平分线作已知角的平分线知知3 3讲讲如如图图13.4.4，已知已知AOB，为已知角，为已知角，试按试按下列下列步
11、骤步骤用用直尺直尺和圆规准确地和圆规准确地作出作出AOB的的平分线平分线.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）试试一一试试想想看，如想想看，如 何将何将AOB四等分？四等分？知知3 3讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）第一第一步：在步：在射线射线OA、AB上上，分别，分别截取截取OD、OE.使使 OD=OE；第二步：分别以第二步：分别以点点D和和点点E为圆心、适当长（为圆心、适当长（大大于于 线段线段DE长长的一半）为半径作圆弧，的一半）为半径作圆弧，在在AOB内，内，两两弧弧交交于点于点C;第三步：作第三步：作射线射线OC.射线射线OC就是所要求作就是所要求作的的AOB的的平分线
12、平分线.知知3 3讲讲（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）我们可以证明这样作出来的射线是我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即符合要求的，即 AOCBOC.如图如图13.4.5,连结连结 EC、DC.OD=OE，DC=EC，OC=OC，OCD OCE(S.S.S.),AOCBOC(全等三角全等三角形的对应角相等形的对应角相等）.为简化推理格为简化推理格 式，今式，今后只注明主后只注明主 要依据，要依据，省略省略“已已 知知”、“等等量代换量代换”等依据等依据.知知3 3讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）1.理论理论根据：作角平分线的理论根据是三角形根据：作角平分线的理论根据是
13、三角形全全等等的判定方法：的判定方法：“S.S.S.”拓展：拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的根据角平分线的作法还可以作已知角的四四等分线等分线2.易易错警示：作角平分线的最后一步错警示：作角平分线的最后一步“过两点过两点作作射线射线”时，不能简单地叙述为时，不能简单地叙述为“连结两点连结两点”，连结，连结两两点点是线段，角平分线是射线而不是线段是线段，角平分线是射线而不是线段知知3 3讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.4-8图图13.4-9例例4知知3 3讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）点点 拨拨知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练（来自教材）
14、（来自教材）A知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）4知识点知识点经过一已知点作已知直线的垂线经过一已知点作已知直线的垂线知知4 4讲讲1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：如图如图13.4-10所示，已知直线所示，已知直线AB和和AB上一点上一点C，作作AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.图图13.4-10（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知4 4讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）作法：如图作法：如图13.4-11所示所示第一步：作平角第一步：作平角ACB的平分线的平分线CF；第二步：反向延长射线第二步：反向延长射线CF.直线
15、直线CF就是所就是所要求要求作作的垂线的垂线图图13.4-11知知4 4讲讲 2经过已知直线外一点作这条直线的垂线：经过已知直线外一点作这条直线的垂线：如图如图13.4-12所示，已知直线所示，已知直线AB和和AB外一点外一点C，作，作AB的的垂垂线线，使它经过点，使它经过点C.作法：如图作法：如图13.4-13所示所示第一步：以点第一步：以点C为圆心，作能与为圆心，作能与AB相交于相交于D、E两点的弧；两点的弧；第二步：作第二步：作 DCE的平分线的平分线CF；第三第三步：反向延长射线步：反向延长射线CF，则直线，则直线CF 就是就是所所要要 求求 作作 的的 垂线垂线图图13.4-12 图
16、图13.4-13（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）知知4 4讲讲（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）例例5 利用利用直尺和圆规作一个直尺和圆规作一个等于等于45的角的角.作法：作法：1.作直线作直线AB；2.过点过点A作直线作直线AB的垂线的垂线AC;3.作作CAB 的的平分平分线线AD.DAB就是就是要求作的角（如图要求作的角（如图13.4.8所示）所示）知知4 4讲讲 例例6 如如图图13.4-14，已知点，已知点P和直线和直线l，求作点，求作点P关于直关于直线线l的对称点的对称点P.解解：如图如图13.4-15所示所示作法：作法：(1)过点过点P作直线作直线l的垂线，垂足为点的
17、垂线，垂足为点O；(2)在线段在线段PO的延长线上截取的延长线上截取OPOP，则点，则点P就是就是点点P关于直线关于直线l的对称点的对称点（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.4-14 图图13.4-151 如图，如图，点点P在在O的一边上的一边上,试试过点过点P作作角两边的垂线角两边的垂线.知知4 4练练（来自教材）（来自教材）PO2 下列下列尺规作图：尺规作图：过直线外一点过直线外一点C作直线作直线AB的垂的垂线，只要作线，只要作ACB的平分线即可；的平分线即可；作作ABC的的BC边上的高，只要过点边上的高，只要过点A作直线作直线BC的垂线即可；的垂线即可；作作ABC的中线的中线
18、AD，只要作边，只要作边BC的中垂线即的中垂线即可其中说法不正确的是可其中说法不正确的是()ABCD知知4 4练练（来自（来自典中点典中点）5知识点知识点作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线知知5 5导导如如图图13.4.9，已知，已知直线直线l是线段是线段的的垂直平分线，垂直平分线，则则直线直线l是线段是线段仙的仙的对称轴对称轴，对对l上上的任意两的任意两点点C、D，通通过过对折可以发现，总对折可以发现，总有有CA=CB，DA=DB.由此由此，你，你能发现能发现作垂直平分线的方法吗作垂直平分线的方法吗？（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）思思考考图图13.4.9知知5 5讲讲1.作
19、已知线段的垂直平分线作法：如图作已知线段的垂直平分线作法：如图13.4-16所所示示，已知线段，已知线段 AB,求作线段求作线段 AB 的垂直平分线的垂直平分线图图13.4-16图图13.4-17作法：如图作法：如图13.4-17所示所示第一步：分别以点第一步：分别以点A和点和点B为圆心，大于为圆心，大于AB 的的长长为为半径作圆弧，两弧相交于点半径作圆弧，两弧相交于点C和点和点D；（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知5 5讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）第二第二步：作直线步：作直线CD.直线直线CD就是要求作的就是要求作的线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线2作已知线段的垂直
20、平分线的理论依据：作作已知线段的垂直平分线的理论依据：作已已知知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定判定方法方法“S.S.S.”及等腰三角形的及等腰三角形的“三线合一三线合一”知知5 5讲讲（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）理由理由如下：如图如下：如图13.4-18所示，连结所示，连结CA，CB，DA，DB.ADBD，ACBC，CDCD，ACD BCD(S.S.S.)ACDBCD(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)CD垂直平分线段垂直平分线段AB(等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”)图图13.4-18知知5 5讲讲（此讲
21、解来源于教材）（此讲解来源于教材）例例7 如如图图13.4-19，已知钝角，已知钝角三三角角形形ABC，其中，其中A是是钝钝角角，求作，求作AC边上的边上的中线中线BD和高和高BH.解解：如图：如图13.4-20所示所示图图13.4-20图图13.4-191 四等分已知线段四等分已知线段AB.知知5 5练练（来自教材）（来自教材）BA2 (中考中考曲靖曲靖)如图，分别以线段如图，分别以线段AC的两个端点的两个端点A，C为圆心，大于为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下，以下结论结论：BD垂直平分垂直平分A
22、C；AC平分平分BAD；ACBD；四边形四边形ABCD是中心对称图形是中心对称图形其中其中正确的有正确的有()A B C D知知5 5练练（来自（来自典中点典中点）1.1.基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，准确后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，准确叙述作法，并完成作图叙述作法，并完成作图2 2利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该运用五种基本作图中的哪一种或几种运用五种基本作图中的哪一种或几种（来自（来自典中点典中点）1.1.必做必做:完成完成教材教材P88P88，T2T2；P89P89，T2T2；P90P90，T2T22 2.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余剩余部分的习题部分的习题.
