1、第第一一节节 微分方程的例子微分方程的例子第第八八章章 微分方程微分方程一、人口模型一、人口模型二、传染病模型二、传染病模型一、人口模型一、人口模型1798年英国神父马尔萨斯根据近百年的人口统计资料，提出了著名的马尔萨斯人口模型。他假定人口自然增长过程中，相对净增长率为常数，此处的净增长是指出生数减去死亡数。据此假定，单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数是常数。记 时刻的人口数为 ，假设 为连续可微函数。在 的时间段内，根据马尔萨斯的假设，令t)(tx)(txt的人口总数在时刻时间内出生的人口数人口平均出生率tttc1的人口总数在时刻时间内死亡的人口数人口平均死亡率tttc ttxxc
2、cc人口平均增长率21()dxCx tdt当 时，我们可得如下微分方程：0t（1）设 时的人口数为 ，则初始状态，即初始条件为00/)(xtxt0t0 x为求解上述微分方程，我们利用微商性质，变换为如下形式：dxCdtx对上式两边求不定积分，我们有dcttx)(ln即 ctdeetx)(当 时,，0)0(xexd0t故 ctextx0)(如果我们对人口每年统计一次，且令 ，则到第 年时其人口数为 。按照马尔萨斯的人口模型，我们可以推断：人口的增长是按几何级数增长的。CeRnnnRxx0由于人口的增长受到自然资源、环境条件、战争等诸多因素影响，人类的人口数量不可能以几何级数不断地增长。而当时间趋
3、向于无穷大时，按马尔萨斯的人口模型，人口总数也将无限地增加，此显然不符合实际的。人们在实验中发现，在地广人稀的加拿大，法国移民的人口增长远低于这一模型，为此人们对模型（1）作了各种修正。其中最著名的一个模型称为阻滞增长模型（Logistic模型）。在此模型中，引入了表示自然资源和环境条件能容许的最大人口数 ，并假定相对净增长率为：k()(1)x tCk从而净增长率随着 的增长而减小，当 时，净增长率趋于零。此时，人口总量的微分方程为)(txktx)(0(1)(0)dxxCxdtkxx上述方程称之为人口增长的阻滞增长模型（阻滞增长模型（Logistic模型）模型）。二、传染病模型二、传染病模型不同类型传染病的传播途径都各不相同，我们按照一般的传播机理建立下述模型。为简便起见，假设在疾病传播期内所考察区域的总人数保持不变，且单位时间内一个病人能传染的人数为常数 。C()()()x ttx tCx tt 设时刻 的病人数为 ，为了利用微积分这一数学工具，将 视为连续可微函数，如果设 时，有A个病人，则)(txt)(tx0t得()()()x ttx tcx tt 于是 满足如下微分方程：)(txAxtcxdtdx)0()(由人口模型可知，上述方程的解为ctAetx)(
