1、第第二二节节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第八八章章 微分方程微分方程一、微分方程的定义一、微分方程的定义二、微分方程的解二、微分方程的解三三、微分方程的通解、特解和初始、微分方程的通解、特解和初始 条件条件一、微分方程的定义一、微分方程的定义,(dxdyyxF,)0nndydxy称之为未知函数的微分方程，其中F为它所依赖的 个变量的已知函数。关系式中所含未知函数 的导数的最高阶数称作微分方程的阶。2n通常把联系自变量 与未知函数 和它的某些微商 的一个关系式x22,dydydxdxnndxydy（1）例如：例如：（1）；（2）；（3）。0)()(xQyxpdxdy0cos222xA
2、ymdxyd224xyyx 其中方程（1）、（2）、（3）分别为一阶、二阶和三阶微分方程。二、微分方程的解二、微分方程的解若将一个已知函数代入微分方程后，使得该方程成为一恒等式，则称此函数为该方程的一个解。kyy 由于常数的导数恒为零，故函数kxcey 也是方程容易验证函数kxey 是微分方程 的解。kyy 此表明微分方程的解不唯一，即存在无限多个函数是微分方程的解。的解。三三、微分方程的通解、特解和初始条件、微分方程的通解、特解和初始条件如果微分方程的解中含有任意常数，这些常数的个数与微分方程的阶数相同，并且这些任意常数之间不能合并，这样的解称为微分方程的通解通解。当通解中的各个任意常数都取
3、确定的值时，此时所确定的解称为微分方程的特解。例如：为微分方程 的一个特解。kxeykydxdy此外，用来确定通解中的任意常数的附加条件称为初始条件。一般一阶微分方程的初始条件为：000)(/0yxyyyxx或二阶微分方程的初始条件为：0001/,/,x xx xyyyy1000)(,)(yxyyxy或而一个一般n阶微分方程的初始条件为：1000/,/yyyyxxxx1)1(0/nxxnyy通常把求微分方程满足初始条件特解的问题称之为微分方程初值问题微分方程初值问题。证明：证明：函数的一阶和二阶导数分别为xxececy2212xxececy2214 将 代入原方程得yy,0)(2)2(3)4(221221221xxxxxxecececececec例例1验证函数是微分方程 的通解，并求满足初始条件 的特解。3)0(,2)0(yyxxececy221023 yyy即函数 为微分方程 的解。又因为该函数含有两个任意常数，所以它是原方程的通解。xxececy221023 yyy221 cc下面求特解，由 代入函数式，得2)0(y又将 代入一阶导数式，得3)0(y3221cc解得 ，故所求的特解为：121 ccxxeey2
