1、3.4 基本不等式基本不等式 如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第24届国届国际数学家大会的会标，会标是根据际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。代表中国人民热情好客。一、问题引入一、问题引入你能在图中找出一些相等关系或不等关系吗？你能在图中找出一些相等关系或不等关系吗？思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：这会标中含有怎样的几何图形？abS2 四个三角形四个三角形22baS 大正方形大正方形abba222 则则)(时取等号时取等号当且仅当当且仅当
2、ba 1.重要不等式重要不等式2.基本不等式（均值不等式）基本不等式（均值不等式）二、新课探究二、新课探究)(2,22号号时，取时，取当且仅当当且仅当，那么，那么如果如果 baabbaRba)(20,0号号时，取时，取当且仅当当且仅当，那么，那么如果如果 baabbaba)0,0(2 baabba证明证明:基本不等式：基本不等式：要证：要证：只要证：只要证：要证要证，只要证，只要证:要证要证，只要证，只要证:abba 2abba2 02 abba0)(2 ba式显然成立式显然成立.当且仅当当且仅当a=b时，时，中的等号中的等号成立成立.在右图中，在右图中，AB是圆的直径，是圆的直径，点点C是是
3、AB上的一点，上的一点，设设 AC=a,BC=b。过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接连接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形与相似基本不等式的基本不等式的几何意义是：几何意义是：“半径不小于半弦。半径不小于半弦。”2ababE()ab当且仅当时，取号aCDCDb2CDabCDab基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释2.基本不等式基本不等式（均值定理）（均值定理）,2,aba baba b我们把叫做正数的把叫做正数的算算术术平平均均数数，几几何何平平均均数数。1.两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平均数它们的几何平均数.2.两个正数的等差中项
4、两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项。它们的等比中项。此定理又可叙述为：此定理又可叙述为：)(20,0号号时，取时，取当且仅当当且仅当，那么，那么如果如果 baabbaba注意：注意：2.取等号时的条件相同：当且仅当取等号时的条件相同：当且仅当a=b时，取等号。时，取等号。2abab（）1.重要不等式重要不等式2.基本不等式（均值不等式）基本不等式（均值不等式）)(2,22号号时，取时，取当且仅当当且仅当，那么，那么如果如果 baabbaRba)(20,0号号时，取时，取当且仅当当且仅当，那么，那么如果如果 baabbaba1.定理成立的条件不同：定理成立的条件不同：前者只要求前者只要
5、求a，b都是实数，而后者要求都是实数，而后者要求a，b都是正数都是正数.使用使用均值不等式均值不等式应注意三个条件：应注意三个条件：(1)a、b均为正数均为正数;(2)a+b与与ab有一个为定值有一个为定值;(3)等号必须取到。等号必须取到。以上三个条件缺一不可以上三个条件缺一不可简记：简记：“一正一正”、“二定二定”、“三相等三相等”。2.基本不等式（均值不等式）基本不等式（均值不等式）)(20,0号号时，取时，取当且仅当当且仅当，那么，那么如果如果 baabbaba三、例题讲解三、例题讲解的最值的最值，求，求、已知、已知例例xxx101 21,121210时，原式有最小值时，原式有最小值即
6、即当且仅当当且仅当解：解：xxxxxxxx的最值的最值，求，求变式、已知变式、已知xxx10 21,12)(1)(2)(1)(100 时，原式有最大值时，原式有最大值即即当且仅当当且仅当，解：解：xxxxxxxxxxx运用均值不等式的过程中，运用均值不等式的过程中，a、b必须为必须为“正数正数”.2322，并并求求其其最最值值为为何何值值时时，函函数数有有最最值值当当，函函数数、若若例例xxxyx 6,323223223函数有最小值是函数有最小值是时时，即，即当且仅当当且仅当解：解：xxxxxxxxy用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这个条件这个条件.2322
7、，并并求求其其最最值值为为何何值值时时，函函数数有有最最值值当当，函函数数、若若例例xxxyx 232,32232232223)2(2223)2(23022 函数有最小值是函数有最小值是时时，即，即当且仅当当且仅当，解：解：xxxxxxxxxyxx用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意“相等相等”的条件的条件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.2,0(sin4sin3的最小值的最小值其中其中、求函数、求函数例例 y.44sin4sin2sin4sin函数的最小值为函数的最小值为，解：解：y的最小值的最小值，求，求、若、若xxxfx312
8、)(01 练习练习2002 xyyxyx，求证，求证，、已知、已知2.,22,0000 xyyxyxxyyxxyyxxyyxxyyxyx所以所以时，等号成立时，等号成立即即当且仅当当且仅当由基本不等式有由基本不等式有，证明：证明：例例4、已知已知x、y都是正数，求证：都是正数，求证：3333228)()(yxyxyxyx 练习练习abcdbdaccdabdcba4)(,3 是正数，求证是正数，求证、已知、已知4、已知、已知a、b、c都是正数，都是正数，a+b+c=1,求证：求证：(1 a)(1 b)(1 c)8abc。例例5、已知、已知a、b、c都是正数，证明：都是正数，证明：a2b2+b2c
9、2+c2a2abc(a+b+c)练习练习5、已知、已知a、b、c都是正数，证明：都是正数，证明：accbbacba 111212121公式运用公式运用基本不等式（均值不等式）基本不等式（均值不等式）abba 22)2(baab abba2 正用、逆用、变形用正用、逆用、变形用使用使用均值不等式均值不等式应注意三个条件：应注意三个条件：(1)a、b均为正数均为正数;(2)a+b与与ab有一个为定值有一个为定值;(3)等号必须取到。等号必须取到。以上三个条件缺一不可以上三个条件缺一不可.“一正一正”、“二定二定”、“三相等三相等”。abba222 222baab 例例1、构造构造积为定值积为定值，
10、利用基本不等式求，利用基本不等式求最值最值练习练习:答：最小值是答：最小值是3，取得最小值时，取得最小值时x的值为的值为2的最小值的最小值求函数求函数)3(31 xxxy的的值值值值时时的的最最小小值值以以及及取取得得最最小小，求求已已知知xxxx111 构造构造和为定值和为定值，利用基本不等式求，利用基本不等式求最值最值的最大值的最大值，求函数，求函数已知已知)31(310 xxyx 例例2、练习：练习：1、若、若x,yR+，且，且x+4y=20，求，求xy的最大值的最大值121练习练习.11022的最大值的最大值，求，求、已知、已知xxx .1132的最小值的最小值，求，求、已知、已知 x
11、xyx2112222xxxx 例例3、的值的值的最大值，及此时的最大值，及此时求函数求函数xxxxxxf)0(32)(2 2662)(621)(263262)32(62322320)32(132)(2的值为的值为，此时，此时的最大值为的最大值为所以所以所以所以时，取等号时，取等号即即当且仅当当且仅当所以所以，所以，所以因为因为，解：解：xxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxf .,191,0,0值值和和并求此时的并求此时的的最小值的最小值求求且且已知已知yxyxyxyx 16)(,12,4min yxyx时时当当练习练习例例4、.1112,0,0的的最最小小值值，求求且且已已知知yxyxy
12、x 课后练习课后练习215_54124451的最小值是的最小值是，则函数，则函数、已知、已知 xxyx_54124452的最大值是的最大值是，则函数，则函数、已知、已知 xxyx_251lglg3的最小值是的最小值是，则，则、已知、已知yxyx )1.(14324 xxxy其其中中的的最最小小值值、求求534,3321min yx时时当当且且仅仅当当)210.()21(5 xxxy其其中中的的最最大大值值、求求81,41max yx时时当且仅当当且仅当例例5、(1)用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是
13、多矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？少？(2)一段长为一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？均值不等式在实际中的应用均值不等式在实际中的应用例例6、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为米，如果池底每平方米的造价为150元，元，池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120元，元，怎样设计水池能使总造价怎样设计水池能使总造价最
14、低？最低总造价是多少？最低？最低总造价是多少？练习练习某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物400吨，每次购买吨，每次购买x吨，吨，运费为运费为4万元每次万元每次.一年的总存储费用为一年的总存储费用为4x万元，要万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求使一年的总运费与总存储费用之和最小，求x的值的值课后练习课后练习的最小值的最小值求求的最大值；的最大值；求求是正实数，且是正实数，且、已知、已知yxyxuyxyx11)2(lglg)1(2052,1 2、设设a0，b0，给出下列不等式，其中恒成立的，给出下列不等式，其中恒成立的是是 。(1)(2)(3)2111)4(4)11)()(3(4)1)(1)(2(21)1(22 aabababbaaaaRQPDQPRCRQPBQPRAbaRbaQbaPba 、，则，则，、若、若)()2lg()lg(lg21lglg13 B22222)()(:4bdacdcba 、求证、求证
