1、基本不等式 ab 一.基本不等式： ab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号. ab (3)其中 称为正数 a，b 的算术平均数， ab 称为正数 a，b 的几何平均数. 2 二几个重要的不等式 (1)a 2b22ab(a，bR) b a (2) 2(a，b 同号) a b ab (3)ab 2 2 (a，bR) a 2b 2 (4) 2 ab 2 2(a，bR) 以上不等式等号成立的条件均为 ab. 三算术平均数与几何平均数 ab 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均
2、2 数不小于它们的几何平均数 四利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值 2 p.(简记：积定和最小) p 2 (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值 .(简记：和定积最大) 4 考向一 直接法 2 【例 1】（1）若 x0，则 x 的最小值是( ) x A2 B4 C. 2 D2 2 （2）.设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 【答案】（1）D （2）C 2 2 2 【解析】（1）由基本不等式可得 x 2 x 2 2，当且
3、仅当 x 即 x 2时取等号，故最小值是 2 2. x x x 故选 D. xy 2 （2）xy 2 81，当且仅当 xy9 时取等号.答案 C 【套路总结】 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即 一正：各项必须为正； 二定：各项之和或各项之积为定值； 三相等：必须验证取等号时条件是否具备 考向二 配凑法 3 【例 2-1】（1）设 01)的最小值为_ x1 【答案】 2 32 x 22 x 22x1 2x23 【解析】 x1，x10，y x1 x1 x1 22 x13 3 (x1) 22 32. x1 x1 3 当且仅当 x1 ，即 x 31 时，等号成立 x1 【套
4、路总结】 此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等 考向三 常数替代法 1 2 【例 3】（1）已知 x0，y0，且 1，则 xy 的最小值为_ x y 4 1 (2)已知正数 x，y 满足 xy1，则 的最小值为_ x2 y1 9 【答案】（1）32 2 （2） 4 【解析】（1）由 x0，y0，得(xy) 1 2 y 2x x y 3 32 2， x y 1 2 当且仅当 y 2x 时等号成立，又 1，则 xy32 2，所以 xy 的最小值为 32 2. x y （2）正
5、数 x，y 满足(x2)(y1)4， 4 1 1 (x2)(y1) x2 y1 4 4 1 1 x2 y1 4 x2 4y1 5 1 y1 x2 4 52 x2 4y1 9 y1 x2 ， 4 2 当且仅当 x2y 时， 3 4 1 x2 y1 9 min . 4 【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解 考向四 基本不等式积(ab)与和(ab)的转化 【例 4】正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_. 【答案】 9，) 【解析】 a，b 是正数，abab32 ab3，解得 ab3，即 ab9. 拓展：
6、本例已知条件不变，求 ab 的最小值. 【答案】 见解析 ab 2 【解析】 a0，b0，ab 2 ， ab 2 即 ab3 2 ，整理得(ab) 24(ab)120， 解得 ab6 或 ab2(舍).故 ab 的最小值为 6. 考向五 消元法 2a3b 【例 5】已知正实数 a，b 满足 a 2b40，则 u 的最小值为_ ab 【答案】 14 5 【解析】 a 2b40，ba24，aba2a4. a a a a 又a，b0， ， ， ab a 2a4 ab a 2a4 1 1 2a3b a a 14 u 3 3 3 3 ， 4 4 ab ab a 2a4 5 a 1 2 a 1 a a 考
7、向六 实际运用 【例 6】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 1 10 000 80 千件时，C(x) x 210x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x 1 450(万元)每件 3 x 商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】见解析 【解析】(1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.051 000x 万元，依题意得
8、当 0x80 时，L(x)1 000x0.05 1 3 x 210x 1 250 x 240x250； 3 当 x80 时，L(x)1 000x0.05 10 000 51x 1 450 x 2501 200 10 000 x x . 1 x 240x250，0x80， 3 L(x) 1 200 10 000 x x ，x80. 1 (2)当 0x80 时，L(x) (x60) 2950. 3 对称轴为 x60，即当 x60 时，L(x)max950 万元； 当 x80 时，L(x)1 200 10 000 x x 1 2002 10 0001 000(万元)， 当且仅当 x100 时，L(x
9、)max1 000 万元， 综上所述，当年产量为 100 千件时，年获利润最大 考向七 不等式与其他知识综合 1 2 【例 7】（1）已知 m，n 为正实数，向量 a(m,1)，b(1n,1)，若 ab，则 的最小值为_ m n （2）已知 x，y 满足约束条件 xy0， x2y0， 4 2 且目标函数 zaxby(a，b0)的最大值为 4，则 的 a b 2xy20， 最小值为_ 【答案】（1） 32 2 （2）32 2 1 2 【解析】（1） ab，m(1n)0，即 mn1，又 m，n 为正实数， m n 1 2 n 2m m n (mn) m n 32 n 2m 332 2，当且仅当 m n n 2m ， m n mn1， 即 m 21， n2 2 时，取等号. （2）画区域如图，易知目标函数在点 A 处取得最大值，由 xy0， 2xy20， 解得 x2， y2， 所以 2a2b4，即 ab2， 4 2 2 ab 所以 a b a ab 2b a 2b a 2 13 32 b a b a b 2b a 32 2， a b 2b a 当且仅当 ，即 a b a42 2， b2 22 4 2 时，取等号故 的最小值为 32 2. a b
