1、旧知回顾旧知回顾平均变化率的定义平均变化率的定义 我们把式子我们把式子 称为函数称为函数 f(x)从从 到到 的的平均平均变化变化 率率.（average rate of change）2121f x-f xx-x1 1x x2 2x x 平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？用什么来衡量物体的状态呢？新课导入新课导入 如何知道运动员在每一时刻的速度呢？汽车在每一刻的汽车在每一刻的速度怎么知速度怎么知道呢？道呢？3.1.2 导数的概念导数的概念教学目标教学目标知识与能力知识与能力（1）体会导数的思想及其内涵）体
2、会导数的思想及其内涵.（2）能根据导数定义，求函数的导数）能根据导数定义，求函数的导数.（3）理解瞬时速度的概念）理解瞬时速度的概念.过程与方法过程与方法 （1）体会导数的思想及其内涵，体会导数的思想及其内涵，通过分析实例，了解导数概念的实际背通过分析实例，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数景，知道瞬时变化率就是导数.（2）通过函数图象直观地理解导通过函数图象直观地理解导数的意义数的意义.情感态度与价值观情感态度与价值观 能够在已有的经验（生活经验，能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，更好的数学学习经验）的基础上，更好的学习瞬时速度，导数等概念学习瞬时速度，导数等概
3、念.教学重难点教学重难点重点重点 体会导数的思想及其内涵，体会导数的思想及其内涵，形成导数概念形成导数概念.难点难点导数导数的概念及其内涵的概念及其内涵.在高台跳水运动中，运动员在不同在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的时刻的速度是不同的.我们把物体在某一我们把物体在某一时刻的速度称为时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度（instaneous velociy）.平均速度平均速度反映了物体运动时的快慢程度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀但要精确地描述非匀速直线运动速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要也即需要通过通过瞬时
4、速度瞬时速度来反映来反映.已知物体作变速直线运动已知物体作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为ss（t）(表示位移表示位移,t表示时间）表示时间）,求物体在求物体在t0 时刻的速度时刻的速度00()()limlim.ttss tts tvtt 物体的运动规律是物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻 t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是物体在，就是物体在t到到 t+t这段时间内，当这段时间内，当 t0 时的平均速度时的平均速度:物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其中位移单位是其中位移单位是m，时间单位是，时间单位是s，g=10m/s2.求：求：（
5、1）物体在时间区间物体在时间区间2，2.1上的上的平均速度；平均速度；（2）物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.2 21 1s s=g gt t2 2s ss(2+t)Os(2)解解:_s1v=2g+g(t)t2(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得:_v=2.05g=20.5m/s.(2)t0,2+t2当./202limlim0_0smgtsvvtt 即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等等于于20(m/s).当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平平均速度就越接近均速度就越接近t0=2(s)时的时的瞬时速度瞬时速度v=20(m/s).从而
6、平均速度从而平均速度 的极限为的极限为v 还记得上节课讲的关于高台跳水问题吗？运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系:2 2h(t)=-4.9t+6.5t+10h(t)=-4.9t+6.5t+10通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势 ：知道了瞬时速度的概念，那么在高台跳水运动中，如何求（比如，t=2)运动员的瞬时速度？t0时，在时，在2,2+t这段时间内这段时间内 h 2-h 2+h 2-h 2+t tv=v=2-2+2-2+t t2 24.94.9 t+13.1t+13.1 t t=-t t=-4 4.9 9 t t-1 13 3
7、.1 1当当t=0.01时，时，=-13.149；v当当t=0.001时，时，=-13.1049；v当当t=0.0001时，时，=-13.10049；v当当t=0.00001时，时，=-13.100049；v当当t=0.000001时，时，=-13.1000049；v.观察观察 当当 趋近于趋近于0时，平均速度时，平均速度 有什么样的变化？有什么样的变化？tv 我们发现，当我们发现，当 趋近于趋近于0时，即无论时，即无论t从小于从小于2的一边，还是的一边，还是从大于从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 .t 我们用我们用
8、表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0 时时,平均速度趋于确定值平均速度趋于确定值-13.1”.0limth(2+h(2+t)-h(2)t)-h(2)=-13.1=-13.1 t t探究探究l那么运动员在某一时刻那么运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎么表示的瞬时速度怎么表示?0limt0000h(t+h(t+t)-h(t)t)-h(t)t t探究探究 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又怎么表示？一般地，函数一般地，函数 在在 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 y=f xy=f x0 0 x=xx=x 我们称它为函数我们称它为函数 在在 处的处的导数导数（derivative）.yf x0
9、 xx0000limlimxxf xxf xfxx 一般将导数一般将导数记作记作 ,或或 者者 ,即即0f(x)0 x xy|()00000 x0 xx0f xxf(x)f(xf(x)f(x)limlim xxx 表示函数表示函数y关于关于自变量自变量x在在 处的导处的导数数0|xxy0 x0 xxy 有极限有极限f(x)在点在点x0处可导处可导f(x)在点在点x0处的导数处的导数 是函数是函数f(x)在以在以x0与与x0+x 为端点的区间为端点的区间x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均变化率平均变化率,而导数则是函数而导数则是函数f(x)在点在点x0 处的处的变化率变化率,它反映
10、了函数随自变量变化而变它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度化的快慢程度 00f(xx)f(x)yxx 000 xx0f(x)-f(x)f(x)=limx-x事实上，导数也可以用下式表示：事实上，导数也可以用下式表示：如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=x0存在导数，存在导数，就说函数就说函数y=f(x)在点在点x0处处可导可导，如果极限，如果极限不存在，就说函数不存在，就说函数 f(x)在点在点x0处处不可导不可导.由导数的意义可知，求函数由导数的意义可知，求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基本方法是处的导数的基本方法是:（1）求函数的增量）求函数的增量00y=f(x+x)-f(
11、x).00f(x+x)-f(x)y=xx（2）求平均变化率）求平均变化率0 x0yf(x)=lim.x（3）取极限，求得导数）取极限，求得导数 这里的增量不是一般意义上的增量，这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是的形式是多样的多样的,但不论但不论x选择哪种形式选择哪种形式,y也必也必须选择与之相对应的形式须选择与之相对应的形式.注意！注意！求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数.2 22 22 2解解：(1 1)y y=(1 1+x x)-1 1=2 2 x x+(x x),2 2 y y2 2 x x+(x x)=2 2+x x
12、,x x x xx x=1 1 x x0 0 x x0 0 y y l li im m=l li im m(2 2+x x)=2 2,y y|=2 2.x x课堂小结课堂小结1.瞬时速度的定义瞬时速度的定义 物体在某一时刻的速度称为物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.2.导数的定义导数的定义 一般地，函数一般地，函数 在在 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 yf x0 xx00 x0 x0f x+x-f xflim=limxx 我们称它为函数我们称它为函数 在在 处的处的导数导数（derivative）.yf x0 xx3.求导数的步骤求导数的步骤（1）求）求 y；x y（2）求）求 ；
13、（3）取极限得取极限得 f(x)=lim .x y x0若若f(x0)=2，则，则00()()lim_.2kof xkf xk -1随堂练习随堂练习1.设函数设函数 f(x)可导可导，则，则 x x0 0f(1+f(1+x)-f(1)x)-f(1)limlim3 3 x x=（）A.f(1)B.1f(1)3 C.不存在不存在 D.以上都不对以上都不对 B2.求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.1 11 1-x x解解：y y=(2 2+x x)+-(2 2+)=x x+2 2+x x2 22 2(2 2+x x)-x x x x+y y1 12 2(2 2+x x)=1 1-
14、,x x x x2 2(2 2+x x)x x=2 2 x x0 0 x x0 0 y y1 11 13 33 3l li im m=l li im m 1 1-=1 1-=,y y|=.x x2 2(2 2+x x)4 44 44 43.4.已知函数已知函数 在在 处的附近有定义，且处的附近有定义，且 ，求求 的值的值.y=x0 x=x0 x=x1y|=20 x0 00 0解解:y y=x x+x x-x x,0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 x x+x x-x x(x x+x x-x x)(x x+x x+x x)y y=x x x x x x(x x+x x+
15、x x)1 1=.x x+x x+x x x x0 0 x x0 0000000 y11y11 lim=lim=,lim=lim=,x xx+x+x+x2 xx+x2 x0 0 x x=x x0 00 01 11 11 1由由y y|=,得得=,x x=1 1.2 22 22 2x x 设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列极限值求下列极限值.00 x 0f(x-x)-f(x)lim.x0 00 00 00 0 x x0 0 x x0 00 0f f(x x-x x)-f f(x x)f f(x x-x x)-f f(x x)1 1)原原式式=l li im m=-l li im m-(-x x)-解解：(x x=-f f(x x);5.x x0 0 y y所所 以以，f f(3 3)=l li im m=-1 1 x x同同 理理：f f(5 5)=3 3 说明在第说明在第3h附近，原油的温度大约以附近，原油的温度大约以1/h的速率下降，原油温度以大约以的速率下降，原油温度以大约以3/h的速率上升的速率上升.
