1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二二、二重积分的性质、二重积分的性质 第一节一一、二重积分的、二重积分的概念概念二重积分的概念与性质 第十章 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、一、二重积分的二重积分的概念概念1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：
2、xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”D),(yxfz 引例引例高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院D),(yxfz 1)“大化小大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变常代变”在每个k,),(kk3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院
3、浙江师范大学数理与信息工程学院4)“取极限取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz),(kkfk),(kk高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,),(Cyx计算该薄片的质量 M.度为),(),(常数若yx设D 的面积为,则M若),(yx非常数,仍可用其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决.1)“大化小大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小块
4、.DyxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院yx2)“常代变常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2,1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量O高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱
5、体体积:平面薄片的质量:高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、重积分二、重积分的定义的定义定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I,使nkkkkfI10),(lim可积可积,),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作记作是定义在有界区域 D上的有界函数,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:D
6、yxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二重积分的几何意义二重积分的几何意义：（1）如果二重积分是是正的或者负的，则其绝对值就是柱体的体积；（2）如果在定义域上二重积分有正有负，则等于xoy面上方的柱体体积减去xoy面下方的柱体体积的差.D),(yxfz 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信
7、息工程学院二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略证明略)定理定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,yxyxyxf22),(在 D:10 x10 y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D 上 二重积分不存在.y1x1DO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二二、二重积分的性质、二重积分的性质Dyxgyxfd),(),(.1Dyxfd),(.2,1),(.3yxfD上若在DDdd1 为
8、D 的面积,则),(2121无公共内点DDDDDDDyxgyxfd),(d),(21d),(d),(DDyxfyxf积分区域具有可加性高为1的平顶柱体 的体积等于柱体的底面积.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxgd),(4.若在D上),(yxf,),(yxgDyxfd),(5.设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为,MyxfmDd),(则有高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院6.(二重积分的中值定理二重积分的
9、中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证:由性质6 可知,),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由连续函数介值定理,至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解解:积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线.1相切 yx,1 yx从而d)
10、(d)(32DDyxyx而域 D 位于直线的上方,故在 D 上1y2x1OD高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2.估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解:D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200 I102200即:1.96 I 210101010D10011021xyO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3.判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解:分积分域为,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd
11、12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11D0)21(3猜想结果为负 但不好估计.舍去此项yxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院xyO例例4.设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(2
12、2Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似)高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 P139 2，4，5 作业作业高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解:321,II
13、I由它们的积分域范围可知312III11xyO1.比较下列积分值的大小关系:高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因 0 y 1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyOx1D高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院3.计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院4.证明:,2d)cossin(122Dyx其中D 为.10,10yx解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1,故结论成立.yOx1D1
