1、一、复习目标一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平理解直线的方向向量与平面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向量。量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。第十三章第十三章空间向量与立体几何空间向量与立体几何二、重难点：二、重难点：概念与方法的运用概念与方法的运用三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合。探析归纳，讲练结合。四、教学过程四、教学过程(一）、知识梳理，方法定位一）、知识梳理，方法定位1、点、直线、平面的
2、位置的向量表示、点、直线、平面的位置的向量表示PO。APtAB atAP 或a ABP。Ob a OPxayb 2、直线的向量参数方程、直线的向量参数方程 对对于于直直线线 l上上的的任任一一点点P,存存在在实实数数t使使得得 APtAB aAlBP此方程称为此方程称为直线的向量参数方程。直线的向量参数方程。这这样点样点A和向量和向量 不仅可以确定直线不仅可以确定直线 l的位置，还可以具体写出的位置，还可以具体写出l上的任意一上的任意一点。点。.(1，）OPOAtaOPxOAyOB xy 3 3、平面的法向平面的法向量量 Ob a PO Px ayb 这样，点这样，点O与向量与向量 不仅可以确
3、定平面不仅可以确定平面 的位的位置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点。内的任意一点。ab、除除 此之外此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个这个平面的法向量平面的法向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置.。平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过
4、点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l步骤：步骤：求法：求法：设平面的法向量为设平面的法向量为(,)nx y z 找出找出(求出求出)平面内的两个不共线的向量平面内的两个不共线的向量 的坐标的坐标111222(,),(,)aab cbabc 根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关
5、于,x y z的的 方程组方程组00n an b 解方程组解方程组,取其中的一个解取其中的一个解,即得法向量即得法向量.4、用方向向量和法向量判定位置关系、用方向向量和法向量判定位置关系设直线设直线,l m的方向向量分别为的方向向量分别为,a b ，平面平面,的法向量分别为的法向量分别为,u v ，则则 线线平行线线平行lm a b akb；线面平行线面平行l a u 0a u；面面平行面面平行 u v.ukv 线线垂直线线垂直lm a b 0a b ；线面垂直线面垂直l a u aku；面面垂直面面垂直 uv.0vu 111222(,),(,),laabcuabc设 直 线 的 方 向 向
6、量 为平 面的法 向 量 为则121212/00;laua abbc c.111222222,0,/abca b cauabc当时111222(,),(,),aa b cua b c若则121212/,.lauakuaka bkb ckc（二）例题探析（二）例题探析例例1、用用向量法向量法证明：一条直线与一个平面内两条相证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：直线已知：直线m，n是平面是平面 内的任意两条相交直线，内的任意两条相交直线，且且,.lm ln,.l m na b c 解：设直线的方向向量分别为,0.lmlnab
7、a b 0.a c 同理。,m nm n且相交，p内 任 一 向 量可 以 表 示 为 如 下 形 式：,.px by cxyR()0,a paxbycxa bya c .ll与内 的 任 一 直 线 垂 直.即例例2、已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ，（1）求证：是平面 的法向量；（2）求平行四边形 的面积（1）证明：，又 ，平面 ，是平面 的法向量 PABCD(2,1,4)AB(4,2,0)AD(1,2,1)AP ABCDAP ABCD(1,2,1)(2,1,4)0AP AB (1,2,1)(4,2,0)0A PA D APABAPADAB AD AAPABCDAP ABCD。
8、(2,1,4)(4,2,0)6AB AD 63 105cos(,)10521 2 5AB AD 932sin110535BAD|sin8 6ABCDSABADBAD 例例3：如图在四棱锥PABCD中底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。(1)求证PA平面EDB(2)求证PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小222|(2)(1)(4)21AB 222|4202 5AD.解：如图建立空间直角坐标系，解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.(1)证明：连结AC，AC交BD21,21,00,21,211,0,1 PA21
9、,0,21EGEGPAEGPA/,2及于点G，连结EG依题意得A（1，0，0）P（0，0，1）E（因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为（）且），所以而EG平面EDB，且PA平面EDB，因此PA/平面EDB。21210,1,1,1，又DEPB021210DEPB(2)证明；依题意得B（1，1，0），故所以DEPB EDEEFEFPB，且EFDPB平面由已知所以（3）解：已知 由（2）可知 ，故 是二面角C-PB-D的平面角。设点F的坐标为（），则 ，因为 所以 ，因为 所以 所以 ，点F的坐标为 ，又点E的 坐标为 所以 因为所以 即二面角C-PB-D的大小为 。，
10、EFPBDFPBEFDzyx，1,zyxPFPBkPF 01311,1,1,1kkkkkkk0DFPB kkkkzyx,11,11,31k32,31,3121,21,061,61,31FE213161366632,31,3161,61,31cosFDFEFDFEEFD,60 EFD60（三）、强化巩固训练（三）、强化巩固训练1、设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，根据下列，根据下列条件判断条件判断l，m的位置关系：的位置关系：.ab)6,3,6(),2,1,2()1(ba)2,3,2(),2,2,1()2(ba)3,0,0(),1,0,0()3(ba2、设平面设平面 ，的法向
11、量分别为的法向量分别为 ，根据下，根据下列条件判断列条件判断 ，的位置关系：的位置关系：uv )4,4,6(),5,2,2()1(vu)4,4,2(),2,2,1()2(vu)4,1,3(),5,3,2()3(vu3、棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，B1D面PAC，a2+az=0z=a，即点P与D1重合点P与D1重合时，DB1面PAC。AP A C1D B 01APDB01ACDB A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P x z y（四）、小结：本课主要探析了（四）、小结：本课主要探析了1、直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量 的概念与的概念与求法；求法；2、用方向向量和法向量判定线面位用方向向量和法向量判定线面位置关系的方法。要求大家理解和掌握并会置关系的方法。要求大家理解和掌握并会熟练运用。熟练运用。（五）、作业布置：（五）、作业布置：复资复资P132中中2、4、5、6题。题。五、教学反思五、教学反思.
