1、 初中数学（人教版）初中数学（人教版）八年级 下册第十九章一次函数第十九章一次函数知识点一知识点一 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程内容叙述从“数”上看从“形”上看一次函数与一元一次方程的关系由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a,b为实数,a0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为求某个一次函数的函数值为0时的自变量的值方程ax+b=0(a0)的解函数y=ax+b(a0)中,y=0时对应的x的值方程ax+b=0(a0)的解函数y=ax+b(a0)的图象与x轴交点的横坐标利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数.(2)画图象:画出一
2、次函数的图象.(3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解例例1画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解.分析分析画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1=0的解,也就是1-2x=0的解.解析解析如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为,图19-2-3-1方程2x-1=0的解为x=,即方程1-2x=0的解为x=.1,021212知识点二知识点二 一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式将一元一次不等式转化为ax+b0(或ax+b0(或ax+b0)的解集举例如图
3、是一次函数y=-2x-2的图象,从图中可以看出,当x0的解集是x-1;同理,不等式-2x-2-1例例2用画函数图象的方法解不等式3x+22x-1.解析解析解法一:原不等式可化为x+30.画出函数y=x+3的图象(如图19-2-3-2所示).图19-2-3-2由图象可以看出:当x-3时,这条直线上的点在x轴上方,不等式3x+22x-1的解集为x-3.解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象(如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.图19-2-3-3当x-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点的上方,此时3x
4、+22x-1,故不等式3x+22x-1的解集为x-3.温馨提示温馨提示一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低.知识点三知识点三 一次函数与二元一次方程一次函数与二元一次方程(组组)的关系的关系一次函数与二元一次方程一次函数与二元一次方程组内容一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k0)的形式,所以:1.二元一次方程一次函数一条直线;2.二元一次方程的解一次函数两变量的对应值直线上点的坐标1.二元一次方程组两个一次函数两条直线;2.二元一次方程组的解两个一次函数值相等时自变量的值及函数值两条直线的交点坐标知识详解1.
5、两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系:(1)两条直线有交点(相交)方程组只有一个解;(2)两条直线无交点(平行)方程组无解;(3)两条直线是同一直线(重合)方程组有无数个解.2.用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤:(1)转函数:把两个方程转化为两个一次函数的形式;(2)画图象:在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象;(3)找交点:根据交点坐标写出方程组的解温馨提示从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于求两条直线的交点坐标例例3用作图象的方法解方程组27,38.xyxy分析分
6、析把方程组转化为两个一次函数,即y=2x-7和y=-3x+8,然后在同一直角坐标系内画出图象,仔细观察图象,找出交点坐标即可求解.解析解析由2x-y=7,得y=2x-7;由3x+y=8,得y=-3x+8.在同一直角坐标系内作出函数y=2x-7的图象l1和y=-3x+8的图象l2,如图19-2-3-4所示,由图象知l1与l2的交点坐标为P(3,-1).经检验满足2x-y=7,3x+y=8,故方程组的解为3,1xy 27,38xyxy3,1.xy 图19-2-3-4温馨提示温馨提示由于所画图象有误差,所以用图象法求出的方程组的解多数情况下是近似解,可以通过检验知道它是否正确,这种解法很直观,对理解
7、数形结合思想很有帮助.例例1 (2015山东济南中考)如图19-2-3-5所示,一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的不等式x+bkx+4的解集是()图19-2-3-5A.x-2B.x0C.x1D.x1时,函数y1=x+b的图象在y2=kx+4的图象的上方,关于x的不等式x+bkx+4的解集为x1.故选C.答案答案C解题归纳解题归纳本题考查了利用一次函数的图象解不等式,解答本题也可以利用待定系数法求出两函数解析式,再解不等式.例例2已知一次函数的图象过点A(1,4),B(-1,0),求该一次函数的解析式并画出它的图象,再利用图象求:(1)当x为何值时,
8、y0,y=0,y0;(2)当-3x-1时,y0;当x=-1时,y=0;当x-1时,y0.(2)由图象可知当-3x0时,-4y2.(3)由图象可知当-2y2时,-2x0.方法点拨方法点拨在(1)中利用图象解方程或不等式时,关键是确定图象与x轴的交点坐标,实际解题时可能会有误差,应注意先通过观察得出坐标的近似值,再代入方程验证后方可确认.例例3 (2015贵州六盘水中考)联通公司手机话费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.(1)分别表示出y1与x,y2与x的函
9、数关系式;(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样?(3)什么情况下A套餐更省钱?题型三题型三 解与不等式有关的问题解与不等式有关的问题解析解析(1)A套餐的收费与月通话时间的函数关系式为y1=0.1x+15;B套餐的收费与月通话时间的函数关系式为y2=0.15x.(2)由0.1x+15=0.15x,解得x=300,故当月通话时间是300分钟时,A、B两种套餐收费一样.(3)由0.1x+15300,故当月通话时间大于300分钟时,A套餐更省钱.易错点易错点 不能正确理解图象导致错解不等式不能正确理解图象导致错解不等式例例已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限,求m的取值
10、范围.正解正解由题意,得解得又交点在第三象限,解得-1m.21,3,yxyxm 1,523,5mxmy 10,5230,5mm32错解错解直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限,直线y=3x+m经过第三象限,m0.错解警示错解警示 两条直线相交于第三象限并不代表直线y=kx+b中的b0,应先求出用含有m的式子表示的交点坐标,再求出m的取值范围.1.直线y=3x+9与x轴的交点坐标是()A.(0,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(3,0)知识点一知识点一 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程答案答案 B当y=0时,3x+9=0,解得x=-3.故直线与x轴的交点坐标为(
11、-3,0).2.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x=.答案答案 2解析解析 由一次函数与一元一次方程的关系可知一次函数图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解,即x=2.知识点二知识点二 一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式3.(2017湖南湘潭中考)一次函数y=ax+b的图象如图19-2-3-1所示,则不等式ax+b0的解集是()图19-2-3-1A.x2B.x2C.x4D.x4答案答案B通过观察图象可以看出ax+b0的解集是x2,故选B.4.如图19-2-3-2所示,一次函数y=kx+b(k0)的图象经过点A(2,3).当y2解析
12、解析因为直线呈下降趋势,点A的坐标为(2,3),所以求当y2.知识点三知识点三 一次函数与二元一次方程一次函数与二元一次方程(组组)的关系的关系5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为,则方程组的解为.47,1xyxy答案答案(2,-1);21xy 解析解析在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=1,故方程组的解为47,1xyxy2,1.xy 如图,两直线l1,l2的交点坐标(2,2)可以看作关于x,y的方程组的解,求这个方程组.由题意可得解得所以直线l1对应
13、的函数解析式为y=-2x+6.由题图可知,直线l2经过点(6,0)和点(2,2),设直线l2:y=k2x+b2(k20),由题意可得解得所以直线l2对应的函数解析式为y=-x+3,所以所求方程组为1116,22,bkb116,2,bk 222260,22,kbkb221,23.kb 1226,13.2yxyx 解析解析由题图知,直线l1经过点(0,6)和点(2,2),设直线l1:y=k1x+b1(k10),1.(2014湖北孝感中考)如图19-2-3-3,直线y=-x+m与y=nx+4n(n0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+mnx+4n0的整数解为()图19-2-3-3A.-1B
14、.-5C.-4D.-3答案答案D直线y=-x+m与y=nx+4n(n0)的交点的横坐标为-2,且xnx+4n的解集为x0的解集是x-4,-x+mnx+4n0的解集是-4xkx-1的解集在数轴上表示正确的是()答案答案B由图象知,当x-1时,函数y1=x+m的图象在y2=kx-1的图象上方,故不等式x+mkx-1的解集为x-1.故选B.2.(2017山东滨州滨城二模,18,)如图,直线l1的表达式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C.(8分)(1)求点D的坐标;(2)求直线l2的表达式;(3)求ADC的面积.解析解析(1)对于y=-3x+3,令y=
15、0,得-3x+3=0,x=1,D点的坐标为(1,0).(2)设直线l2的表达式为y=kx+b(k0),由图象知,直线l2过点A(4,0),B.直线l2的表达式为y=x-6.(3)由解得33,240,33,2kbkb 3,26,kb 3233,362yxyx 2,3,xy C点的坐标为(2,-3),AD=3,SADC=3|-3|=.1292一、选择题一、选择题1.(2018四川德阳期末,7,)如图19-2-3-4,函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P(1,2),那么关于x,y的方程组的解是()图19-2-3-4,ykxbymxnA.B.C.D.12xy21xy23xy13xy答案答案A方
16、程组的解就是两函数图象的交点P的横、纵坐标,即x=1,y=2.故选A.2.(2018重庆渝北期末,12,)如图19-2-3-5,一次函数y=kx+b(k0)过点A(-,0),B(-1,1),则关于x的不等式0kx+b-x的解集为()图19-2-3-5A.0 x1B.x-1C.-x-1D.-x1111111答案答案C构造函数y=-x,则函数y=-x与已知函数y=kx+b都经过点B(-1,1),即B是两函数图象的交点,结合图象可知:当x-1时,一次函数y=kx+b(k0)的图象在y=-x的图象的下方,即kx+b-时,kx+b0.所以关于x的不等式0kx+b-x的解集为-xax-3的解集是.图19-
17、2-3-6答案答案x-2解析解析函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),当x-2时,函数y=3x+b的图象在函数y=ax-3的图象的上方,不等式3x+bax-3的解集是x-2.三、解答题三、解答题4.(2018北京房山期中,20,)如图19-2-3-7,直线l1:y=2x与直线l2:y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P.(1)直接写出不等式2xkx+3的解集.(2)设直线l2与x轴交于点A,求OAP的面积.图19-2-3-7解析解析(1)从题图中得出当x1时,y=2x的图象在y=kx+3图象的上方,不等式2xkx+3的解集为x1.(2)把x=1代入y=2x,得y=2,
18、点P的坐标为(1,2),点P在直线y=kx+3上,2=k+3,解得k=-1,直线l2:y=-x+3,当y=0时,由0=-x+3得x=3,点A的坐标为(3,0),SOAP=32=3.12(2018江苏南通一中期末,25,)赛龙舟是端午节的主要习俗之一,某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛,从起点A驶向终点B,在整个比赛过程中,龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)分别求出甲、乙两支龙舟队的y与x的函数关系式;(2)甲龙舟队出发多长时间时,两支龙舟队相距200米?解析解析(1)设甲龙舟队的y与x的函数关系式为y=kx(k0),把(25
19、,3000)代入,可得3000=25k,解得k=120,甲龙舟队的y与x的函数关系式为y=120 x(0 x25),设乙龙舟队的y与x的函数关系式为y=ax+b(a0),把(5,0),(20,3000)代入,可得解得乙龙舟队的y与x的函数关系式为y=200 x-1000(5x20).05,300020,abab200,1000,ab(2)令120 x=200 x-1000,可得x=12.5,即当x=12.5时,两支龙舟队相遇.当x5时,令120 x=200,得x=(符合题意);当5x12.5时,令120 x-(200 x-1000)=200,得x=10(符合题意);53当12.5x20时,令2
20、00 x-1000-120 x=200,得x=15(符合题意);当200的解集是()图19-2-3-8A.x2B.x0,即y0,即求y=kx+3的图象在x轴上方时x的取值范围,故不等式kx+30的解集为x2.二、填空题二、填空题2.(2016四川巴中中考,15,)已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为.5,22xyxy 4,1,xy 12答案答案(-4,1)解析解析y=x+5即x-y=-5,y=-x-1即x+2y=-2,所以二元一次方程组的解即两直线交点的坐标,所以直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为(-4
21、,1).125,22xyxy 123.(2018甘肃白银中考,16,)如图19-2-3-9,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x的不等式组的解集为.图19-2-3-922,20 xmxx 答案答案-2x2解析解析y=-x-2过点P(n,-4),-n-2=-4,解得n=2.P点的坐标为(2,-4),观察图象知2x+m-x-2的解集为x2.解不等式-x-2-2.不等式组的解集是-2x2.22,20 xmxx 三、解答题三、解答题4.(2017浙江台州中考,20,)如图19-2-3-10,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).(8分)(
22、1)求b,m的值;(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值.图19-2-3-10解析解析(1)把点P(1,b)代入y=2x+1,得b=3,把(1,3)代入y=mx+4得3=m+4,解得m=-1.(2)由(1)知直线l2的解析式为y=-x+4,故直线x=a与直线l1的交点C的坐标为(a,2a+1),与直线l2的交点D的坐标为(a,-a+4).CD=2,|2a+1-(-a+4)|=2,即|3a-3|=2,3a-3=2或3a-3=-2,a=或.53131.(2018陕西中考,7,)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对
23、称,则l1与l2的交点坐标为()A.(-2,0)B.(2,0)C.(-6,0)D.(6,0)答案答案B设直线l1的解析式为y1=kx+4(k0),l1与l2关于x轴对称,直线l2的解析式为y2=-kx-4,l2经过点(3,2),-3k-4=2,k=-2.两条直线的解析式分别为y1=-2x+4,y2=2x-4,联立解得x=2,y=0.l1与l2的交点坐标为(2,0),故选B.24,24,yxyx 2.(2016北京中考,21,)如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A(-6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4).(5分)(1)求直线l1的表达式;(2)过动点P(n,0)且垂直于x
24、轴的直线与l1,l2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值范围.解析解析(1)点B(m,4)在直线l2:y=2x上,m=2.设直线l1的表达式为y=kx+b(k0).直线l1经过点A(-6,0),B(2,4),解得直线l1的表达式为y=x+3.(2)n2.60,24,kbkb1,23.kb12已知甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发,相向而行,甲到B地后立即返回,图19-2-3-11是它们离各自出发地的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.(1)请直接写出甲、乙两车离各自出发地的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式,并标明自变量x的取值范围;(2)它们在行驶的过程中有几次相遇?求出每次相遇的时间.图19-2-3-11解析解析(1)y甲=y乙=40 x.100(03),27540803,4xxxx1502x(2)由题意可知有两次相遇.当0 x3时,100 x+40 x=300,解得x=(符合题意);当3x时,(540-80 x)+40 x=300,解得x=6(符合题意).综上所述,两车第一次相遇的时间为第小时,第二次相遇的时间为第6小时.157274157
