1、第1 1课时平行直线、直线与平面平行一二三四五一、平行直线【问题思考】填空:(1)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性.一二三四五二、等角定理【问题思考】1.填空:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.2.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向都相反,那么这两个角的大小关系怎样?若方向一同一反呢?提示:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,那么这两个角相等;方向一同一反时,这两个角互补.一二三四五3.做一做:如图,三棱
2、柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则EFG与ABC1()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定答案:B一二三四五三、空间四边形【问题思考】1.如图所示,A,B,C,D四点不共面,顺次连接ABCD得一四边形ABCD.请问该四边形的对角线是什么?它们之间有何位置关系?提示:该四边形的对角线是AC和BD,它们之间是异面关系(其中该四边形也就是本节研究的空间四边形).一二三四五2.填空:一二三四五四、直线与平面的位置关系【问题思考】1.若直线a与平面不平行,则直线a就与平面内的任何一条直线都不平行吗?提示:不是.若直线a与平面不平行,则直线a与平面相交或a
3、,当a时,内有直线与直线a平行.一二三四五四、直线与平面的位置关系【问题思考】1.若直线a与平面不平行,则直线a就与平面内的任何一条直线都不平行吗?提示:不是.若直线a与平面不平行,则直线a与平面相交或a,当a时,内有直线与直线a平行.一二三四五2.填写下表:一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:一二三四五3.做一做:已知下列叙述:一条直线和另一条直线平行,那么它就和经过另一条直线的任何平面平行;一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;若直线l与平面不平行,则l与内任一直线都不平行;与一平面内无数条直线都平行的直线必
4、与此平面平行.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:一条直线和另一条直线平行,那么它就在经过这两条直线的平面内,错;一条直线平行于一个平面,这个平面内的直线可能与它异面,错;对于,直线有可能在平面内.答案:A一二三四五五、直线与平面平行的判定定理及性质定理【问题思考】1.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面中直线的关系如何?一二三四五提示:一条直线与一个平面平行,它可以与平面内的无数条直线平行,这无数条直线是一组平行线.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为A1C1AC,所以A1C1平面ABCD.在平面ABCD内所有与AC平行的直线,由基本性质4知都应与A1
5、C1平行,这样的直线显然有无数多条,但直线A1C1并不是和这个面内的所有直线都平行,在平面ABCD中,所有与AC相交的直线与A1C1的位置关系都是异面.由此说明:直线与平面平行即直线与平面无公共点,则直线与平面内的任意直线都无公共点,直线与平面内的直线有且仅有两种位置关系:平行和异面.一二三四五2.填写下表:一二三四五3.做一做:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN平面PAD,则()A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能解析:因为MN平面PAD,MN平面PAC,平面PAD平面PAC=PA,所以MNPA.答案:B一二三四五思考辨析判断下列说法是否正
6、确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)异面直线所成的角的范围是 .()(2)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反,则这两个角互补.()(3)若一条直线l与一个平面不平行,则一定有l.()(4)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三探究四思维辨析基本性质基本性质4的应用的应用【例1】如图所示,已知E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G,H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.思路分析:要证明四边形EFGH是梯形,只需证一组对边平行且不相等即可.通过本题条件可知,利用平面的基
7、本性质4即可解决.探究一探究二探究三探究四思维辨析证明:在ABC中,因为E,F分别是AB,BC边上的中点,所以EF AC.又在ACD中,G,H分别是CD,AD边上的三等分点,所以EFGH,且EFGH,即四边形EFGH是梯形.反思感悟基本性质4是判断两条直线平行的重要方法之一,其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线.此外,我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征.探究一探究二探究三探究四思维辨析等角定理的应用等角定理的应用【例2】已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:BEC=B1E1C1.探究一探究二探究三探究四思维辨析解:如图所示,连接EE1,因
8、为E1,E分别为A1D1,AD的中点,所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形,所以A1AE1E.又因为A1AB1B,所以E1EB1B,所以四边形E1EBB1是平行四边形,所以E1B1EB.同理E1C1EC.又BEC与B1E1C1对应边方向相同,所以BEC=B1E1C1.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟证明角相等的常用方法有:(1)利用题设中的条件,将要证明的两个角放在两个三角形中,利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等.(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等,可考虑两个角的两边,可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反,从
9、而达到目的.探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练变式训练空间中有一个A的两边和另一个B的两边分别平行,A=70,则B=.解析:因为A的两边和B的两边分别平行,所以A=B或A+B=180.又A=70,所以B=70或110.答案:70或110探究一探究二探究三探究四思维辨析直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理【例3】一木块形状如图所示,点P在平面VAC内,过点P将木块锯开,使截面平行于直线VB和AC,应该怎样画线?思路分析:可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法.探究一探究二探究三探究四思维辨析解:如图,在平面VAC内经过点P作EFAC,且与VC的交点为F,与VA的交点为
10、E.在平面VAB内,经过点E作EHVB,与AB交于点H.在平面VBC内,经过点F作FGVB,与BC交于点G,连接GH,则EF,FG,GH,HE为截面与木块各面的交线.证明如下:因为EHVB,FGVB,所以EHFG,可知E,H,G,F四点共面.因为VB平面EFGH,EH平面EFGH,所以VB平面EFGH.同理可证AC平面EFGH.反思感悟证明线面平行时,先在平面内找与已知直线平行的直线,若找不到,再添加辅助线.添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形,添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边.探究一探究二探究三探究四思维辨析直线与平面平行的性质定理的应用直线与平面平行的性质定理的应用【例4】
11、(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN平面PAD,若CMMA=14,则CNNP=.(2)如图,已知AB与CD是异面直线,且AB平面,CD平面,AC=E,AD=F,BD=G,BC=H.求证:四边形EFGH是平行四边形.探究一探究二探究三探究四思维辨析思路分析:(1)由线面平行的性质定理易知在CAP中,MNAP,因此可利用相似比求解;(2)利用性质定理证明两组对边平行即可.(1)答案:14(2)证明:因为AB平面,AB平面ABC,平面ABC平面=EH,所以ABEH,因为AB平面,AB平面ABD,平面ABD平面=FG,所以ABFG,所以EHFG,同理由CD平面可证E
12、FGH,所以四边形EFGH是平行四边形.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.性质定理可作为直线和直线平行的判定方法.应用时,需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交,以平面为媒介证明线线平行.2.定理中的三个条件:(1)直线a平面;(2)平面,相交,即=b;(3)直线a在平面内.缺一不可.定理的应用流程可表示如下:探究一探究二探究三探究四思维辨析(1)本例4(2)中异面直线AB与CD垂直,其他条件不变,判断四边形EFGH的形状.(2)本例4(2)中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?解:(1)由例4(2)知ABEH,CDEF,又ABCD,所以EHEF,又四边形E
13、FGH是平行四边形,所以四边形EFGH是矩形.因AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE,由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出EFGH为菱形.探究一探究二探究三探究四思维辨析将b与b等同对待而致误【典例】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面.已知:直线ab,a平面,a,b.求证:b.错解因为直线ab,所以a与b无公共点.又因为a平面,所以a与平面也无公共点,又b,所以b与无公共点,所以b.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:b包含b和b=M两种情况,上面证明误认为b即意味着b而致错.探究一探究
14、二探究三探究四思维辨析正解:如图所示,过a及平面内一点A作平面,设=c.因为a,所以ac.因为ab,所以bc.因为b,c,所以b.防范措施1.首先对b含义的理解要正确、全面,其次要善于构造平面来搭建桥梁;2.构造辅助平面时,和平面几何中添加辅助线一样,一定要确认这个平面是存在的.在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的.探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练变式训练给出以下结论:若n,mn,则m;若a,ba,则b;直线a平面,直线b,则ab;若a,b,则a,b无公共点.其中,错误结论的序号是.解析:当n,mn时,可能有m,也可以有m,故错;当a,ba时,可以有b,
15、也可能有b,故错;错,也可能有a与b异面;错,因为b时,b可以与相交,这时a与b可以有公共点.答案:123451.若AOB=A1O1B1,且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OBO1B1且方向相同B.OBO1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行答案:D123452.如图,点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点,若AC=BD,且AC与BD成90角,则四边形EFGH是()A.菱形B.梯形C.正方形D.空间四边形答案:C123453.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面AA
16、1C1C的位置关系是()A.平行B.相交C.直线在平面内D.相交或平行答案:D123454.在正方体ABCD-ABCD中,AE=AE,AF=AF.求证:EFEF,且EF=EF.证明:连接EE,FF,可得矩形AAFF和矩形EEAA.由此可得EEAAFF.所以四边形EEFF是平行四边形.所以EFEF.123455.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:APGH.证明:如图所示,连接AC,BD交于点O,连接MO.因为ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所以OMAP.又AP平面BDM,OM平面BDM,所以AP平面BDM.又AP平面APGH,平面APGH平面BDM=GH,所以APGH.
