1、1.1不等式1.不等式的基本性质基本概念：基本概念：观察以下四个不等式：观察以下四个不等式：a+2 a+1 -(1)a+3 3a -(2)3x+1 2x+6 -(3)X a -(4)同向不等式同向不等式:在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都小于右边小于右边(不等号的方向相同不等号的方向相同).异向不等式：异向不等式：在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个的左在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个的左边小于右边边小于右边(不等号的方向相反不等号的方向相反).同解不等式同解不等式:形式不
2、同但解相同的不等式形式不同但解相同的不等式.其它重要概念其它重要概念:绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.Ox基本理论：基本理论：1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质:研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数一一研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：aba bx用数学式子表示为用数学式子表示为:设设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B，那么，当，那么，当点点
3、A在点在点B的左边时，的左边时，a b.关于关于a，b的大小关系，有以下的大小关系，有以下基本事实基本事实:如果如果a b，那么，那么a-b是正数；是正数；如果如果a=b，那么，那么a-b等于零；如果等于零；如果a b，那么，那么a-b是负数；反过来也对是负数；反过来也对.000.abababababab-；000.abababababab-；上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系关系.这一性质不仅可以用来
4、比较两个实数的大小，而且是推导这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.要比较两个实数要比较两个实数a与与b的大小，可以转化为比较它们的差的大小，可以转化为比较它们的差a-b 与与0的大小的大小.在这里，在这里，0为实数比较大小提供了为实数比较大小提供了“标杆标杆”.思考：思考：从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？例例1 试比较试比较 2x4+1 与与 2x3+x2 的大小的大小.4324324323333222222
5、(21)(2)212(22)(1)2(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)2(1)(1)(22)(22)(1)(1)(221)11(1)20.22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-解解：技能：技能：分组组合；添项、拆项；配方法分组组合；添项、拆项；配方法.作差比较大小：作差比较大小：分四步进行：分四步进行：作差；作差；变形；变形；定号；定号；结论结论.2243224324324321120221(1)02121(1)0212.12121212.xRxxxxxxxxxxxxxxxxxxx -，若若，那那 么么，则则；若若，那那 么么，则则综综 上上 所所 述述
6、：若若时时，；若若时时，练习练习:已知实数已知实数x、y，比较，比较x2+y2与与xy+x+y-1的大小的大小【解题回顾解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是：用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是：作差作差变形变形判断符号判断符号常见的变形手段是常见的变形手段是:通分、因式分解或配方等；变形的结果是常通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等数、若干个因式的积或完全平方式等.例例2 比较以下两个实数的大小：比较以下两个实数的大小：作商比较法：作商比较法：作商作商变形变形与与1比较大小比较大小大多用于比较幂指式的大小大多用于比较幂指式的大小练习练习:2
7、02mmmm 若若，比比 较较与与的的 大大 小小.【知识回顾知识回顾】1.不等式的概念不等式的概念:同向不等式；同向不等式；异向不等式；异向不等式；同解不等式同解不等式2.比较两个实数大小的主要方法比较两个实数大小的主要方法:(1)作差比较法：作差作差比较法：作差变形变形定号定号下结论；下结论；(2)作商比较法：作商作商比较法：作商变形变形与与1比较大小比较大小下下结论结论 大多用于比较幂指式的大小大多用于比较幂指式的大小探究：探究：类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？不等式的基本性质：不等式的基本性质：单向性单向性双向性双向性注意：注意：
8、1.注意公式成立的条件，要特别注意注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题符号问题”；2.要会用自然语言描述上述基本性质；要会用自然语言描述上述基本性质；3.上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础.上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？给出它们的证明吗？读教材读教材填要点填要点abab正数正数不小于不小于(即大于或等于即大于或等于)xyxy大大小小小问题小问题大思维大思维提示：提示：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，即：，即：(1)各项或各因式为正；
9、各项或各因式为正；(2)和或积为定值；和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值各项或各因式能取得相等的值 精讲详析精讲详析本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对析不等式的特点，先对ab，bc，ca分别使用基本不等式，再把它们相乘或分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可相加即可 精讲详析精讲详析本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等
10、式求得和的最小值 例例3某单位决定投资某单位决定投资3 200元建一仓库元建一仓库(长方体长方体)，高度恒定，它的后墙利用，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶元，顶部每平方米造价部每平方米造价20元仓库底面积元仓库底面积S的最大允许值是多少？为使的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？精讲详析精讲详析本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的本题考查基本不等
11、式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决3.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式1.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时，等号成立。时，等号成立。三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：如何证明上述定理？思考：如何证明上述定理？2.基本不等式的一般形式基本不等式的一般形式时时等等号号成成立立当当且且仅仅当当naaa.21利用不等式求最值利用不等式求最值题型三：利用不等式解应用题题型三：利用不等式解应用题练习：请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为练习：请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正的正六棱柱，上部的形状是测棱为六棱柱，上部的形状是测棱为3m的正六棱锥。试问当帐的正六棱锥。试问当帐篷的顶点篷的顶点O到底面中心到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？大为多少？例例4：已知圆锥的地面半径为：已知圆锥的地面半径为R，高为，高为H，求圆锥的内接圆，求圆锥的内接圆柱体的高柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大，并求出这个最大为何值时，圆柱的体积最大，并求出这个最大体积。体积。
