1、第十七章 特殊三角形17.5 反证法 从前有个聪明的孩子叫王戎。他7 7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有有人问王戎为什么，王戎回答说人问王戎为什么，王戎回答说:“:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法他运用了怎样的推理方法?情景导入王戎推理方法是:假设“李子甜”树在道边则李子少与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾假设“李子甜”不成立所以“树在道边而多子,此必为苦李”
2、是正确的反证法 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法.在下面我们以第九章中“一个三角形中最多有一个直角”为例，用反证法进行证明.ABC 获取新知一起探究已知：如图，ABC.求证：在ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.ABC 证明：假设ABC中有两个（或三个）直角，不妨设A=B=90.A+B=180，A+B+C180.这与“三角形的内角和等于180”相矛盾.因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.第一步，假设原来命题结论不正确；从这个假设和其他已知条件出发，
3、经过推论论证，得出矛盾的结果.由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.1.提出假设2.推理论证3.得出矛盾4.结论成立以假设为条件，结合已知条件推理.这与“.”相矛盾所以假设不成立，所求证的命题成立.假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.反证法的步骤：得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论.例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知：如图，直线ABCD，直线EF分别于直线AB，CD交于点G，H，1和2是同位角.求证：1=2.ABCDEFGH12例题讲解ABCDEFGH12MN证明：假设12.过点G作直线MN，使得EGN=1.EGN=1
4、.MNCD（基本事实），又ABCD（已知），过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知”相矛盾.12的假设是不成立的.因此，1=2.假设推理矛盾命题成立ABCabcABCabc例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.已知：如图，ABC和ABC中，C=C=90，AB=AB，AC=AC.求证：ABCABC.ABCabcABCabcD证明：假设ABC与ABC不全等，即BCBC.不妨设BCBC.如图，在上截取CD=CB，连接AD.在ABC和ADC中，AC=AC，C=C，CD=CB，ABCADC.AB=AD（全等三角形的对应边相等
5、）.AB=AB（已知），AB=AD.B=ADB，ADB90，在即CADB90（三角形外角和大于和它不相邻的内角）.这与C=90相矛盾.因此，BCBC不成立.即ABC与ABC不全等的假设不成立.ABCABC.写出下列各结论的反面：（1）a/b；（2）a0；（3）b是正数；（4）aba0b是0或负数a不垂直于bab练一练【跟踪训练跟踪训练】利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45”，应先假设()A.直角三角形的两个锐角都小于45B.直角三角形有一个锐角大于45C.直角三角形的两个锐角都大于45D.直角三角形有一个锐角小于45C1.试说出下列命题的反面：（1）a是实数;（2）a大于2;（
6、3）a小于2;（4）至少有2个;（5）最多有一个;（6）两条直线平行;a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交随堂演练2.用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是_ .3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 _ .假设a=b假设这个三角形是等腰三角形4.用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角不小于60已知：如图，A，B，C是ABC的内角求证：A，B，C中至少有一个角不小于600.证明：假设所求证的结论不成立，即60，60，60则1800这于矛盾所以假设，所以，所求证的结论成立三角形三个内角的和等于
7、180不成立5.已知：a是整数，2能整除a2.求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数.不妨设a=2n+1(n是整数),a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,a2是奇数，则2不能整除a2，这与已知矛盾.假设不成立，故2能整除a.6.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3 l1，求证：l l3 3l l2 2l1l2l3P证明：假设l3l2，即l3与l2相交，记交点为P而l1l2,l3 l1这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立即l3l2反 证 法反证法的步骤假设结论的反面成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确课堂小结
