1、2022-12-15a，b，c，t 称为拉格朗日变数(,)xx a b c t(,)yy a b c t(,)zz a b c t(,)xx a b c tut(,)yy a b c tut(,)zz a b c tut22(,)xxux a b c tatt22(,)yyuy a b c tatt22(,)zzuz a b c tatt欧拉法：这样通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法，基本特点是以固定空间点为对象。(,)xxuux y z t x，y，z，t 称为欧拉变量(,)pp x y z t(,)yyuux y z t(,)zzuux y z tyyyyyxyzuu
2、uuauuutxyzzzzzzxyzuuuuauuutxyzxxxxxxduuuuudxdydzadttx dty dtz dtxxxxxyzuuuuuuutxyz(,)xxuux y z t(,)yyuux y z t(,)zzuux y z t(,)xxuux y z(,)yyuux y z(,)zzuux y z ababcc流量、断面平均流速流量、断面平均流速 这样，流动问题就简化为断面平均流速如何沿流向变化问题。如果仍以总流某起始断面沿流动方向取坐标s,则断面平均流速是s的函数，即vf(s)。流速问题简化为一元问题。3.5 3.5 连续性方程连续性方程 不同断面上密度不相同时反映两断
3、面间流动空间的质量平衡的连续件方程，即可压缩流体的连续性方程：当流体不可压缩时密度为常数，不可压缩流体的连续性方程为：不难证明，沿任一元流，上述各方程也成立。即 由于断面1、2是任意选取的，上述关系可以推广至全部流动的各个断面。即而流速之比和断面之比有下列关系：22211122Wmumu 动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外力对物体所作的功之和力对物体所作的功之和重力作功为重力作功为12()VdQ dt ZZ根据动能定理，有根据动能定理，有22211212()()()22uupp dQdtdQdt ZZdQdtgg 实际流体的流动中，
4、元流的粘性阻力作负功，使机械实际流体的流动中，元流的粘性阻力作负功，使机械能量沿流向不断衰减。以符号能量沿流向不断衰减。以符号 表示元流表示元流1、2两断面间两断面间单位能量的衰减。单位能量的衰减。称为水头损失。则单位能量方程式称为水头损失。则单位能量方程式(3-6-2)将改变为将改变为1 2lh1 2lh 能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。总水头相等，单位重量的总能量保持不变。元流能量方程式，确立了一元流动中，动能和势能，流速元流能量方程式，确立了一元流动中，动能和势能，流速和压强相互转换
5、的普遍规律。提出了理论流速和压强的计算公和压强相互转换的普遍规律。提出了理论流速和压强的计算公式。在水力学和流体力学中，有极其重要的理论分析意义和极式。在水力学和流体力学中，有极其重要的理论分析意义和极其广泛的实际运算作用。其广泛的实际运算作用。沿沿ab流线写元流能量方程流线写元流能量方程由管的开口端液柱差由管的开口端液柱差hv，测定，测定 ，用下式计算速度，用下式计算速度3.7 过流断面的压强分布过流断面的压强分布 我们根据流速是否随流向变化，分为均匀流动和不均匀流动。不均匀流动又按流速随流向变化的缓急，分为渐变流动和急变流动。质点流速的大小和方向均不变的流动叫均匀流动。均匀流的流线是相互平
6、行的直线，因而它的过流断面是平面。均匀流、恒定流、渐变流的区分均匀流、恒定流、渐变流的区分 表征液体运动状态的主要物理量有流速、加速度、动水压强等。这些物理量表征液体运动状态的主要物理量有流速、加速度、动水压强等。这些物理量统称为液体的运动要素。统称为液体的运动要素。按运动要素是否随时间变化，可把液流分为运动要素不随时间变化的恒定流按运动要素是否随时间变化，可把液流分为运动要素不随时间变化的恒定流和随时间变化的非恒定流。虽然严格的恒定流问题在工程中并不多见，但大多数和随时间变化的非恒定流。虽然严格的恒定流问题在工程中并不多见，但大多数液体运功可以近似当作恒定流来处理。液体运功可以近似当作恒定流
7、来处理。根据位于统一流线上各质点的流速矢量是否沿流程变化，可将液体流动分为根据位于统一流线上各质点的流速矢量是否沿流程变化，可将液体流动分为均匀流和非均匀流两种。若液流中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这种均匀流和非均匀流两种。若液流中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这种流动称为均匀流，否则称为非均匀流。均匀流中各流线是彼此平行的直线，各过流动称为均匀流，否则称为非均匀流。均匀流中各流线是彼此平行的直线，各过水断面上的流速分布沿流程不变，过水断面是平面。水断面上的流速分布沿流程不变，过水断面是平面。均匀流与恒定流、非均匀流与非恒定流是两种不同的概念。在恒定流时，当均匀流与恒定流、非均匀
8、流与非恒定流是两种不同的概念。在恒定流时，当地加速度等于零，而在均匀流时，则是迁移加速度等于零。这里当地加速度和迁地加速度等于零，而在均匀流时，则是迁移加速度等于零。这里当地加速度和迁移加速度是在用欧拉法描述液体时将加速度根据复合函数求导法则分为速度与时移加速度是在用欧拉法描述液体时将加速度根据复合函数求导法则分为速度与时间的偏导数和速度在间的偏导数和速度在x、y、z三个坐标上的偏导数。我们将其中的速度与时间的三个坐标上的偏导数。我们将其中的速度与时间的偏导数称为当地加速度，将同一时刻因地点边变更形成的加速度称为迁移加速度，偏导数称为当地加速度，将同一时刻因地点边变更形成的加速度称为迁移加速度
9、，即速度在坐标上的偏导数之和。即速度在坐标上的偏导数之和。在非均匀流中，流线多为彼此不平行的曲线。按流线图形沿流程变化的缓急在非均匀流中，流线多为彼此不平行的曲线。按流线图形沿流程变化的缓急程度，又可将非均匀流分为渐变流和急变流两类。渐变流（又称缓变流）是指各程度，又可将非均匀流分为渐变流和急变流两类。渐变流（又称缓变流）是指各流线接近于平行直线的流动。也就是说，渐变流各流线之间的夹角很小，而且流流线接近于平行直线的流动。也就是说，渐变流各流线之间的夹角很小，而且流线的曲率半径又很大，否则称为急变流。线的曲率半径又很大，否则称为急变流。为了进一步说明，我们任取为了进一步说明，我们任取轴线轴线n
10、-n位于均匀流断面的微小位于均匀流断面的微小住体为隔离体住体为隔离体(图图313)，分析，分析作用于隔离体上的力在作用于隔离体上的力在n-n方向方向的分力。柱体长为的分力。柱体长为l，核断面为，核断面为dA，铅直方向的倾角为，铅直方向的倾角为，两，两断面的高程为断面的高程为Z1和和Z2，压强为，压强为p1和和p2。流速沿流向变化显著的流动，流速沿流向变化显著的流动，是急变流动。急变流动是渐变流动是急变流动。急变流动是渐变流动的对立概念，这两者之间没有明显的对立概念，这两者之间没有明显的分界，而是要根据具体情况，看的分界，而是要根据具体情况，看在具体问题中，惯性力是否可以略在具体问题中，惯性力是
11、否可以略而不计。而不计。流体在弯管中的流动，流线呈流体在弯管中的流动，流线呈显著的弯曲，是典型的流速方向变显著的弯曲，是典型的流速方向变化的急变流问题。在这种流动的断化的急变流问题。在这种流动的断面上，离心力沿断面作用。和流体面上，离心力沿断面作用。和流体静压强的分布相比，沿离心力方向静压强的分布相比，沿离心力方向压强增加，例如在图压强增加，例如在图317的断面的断面上，沿弯曲半径的方向，测压管水上，沿弯曲半径的方向，测压管水头增加，流速则沿离心力方向减小头增加，流速则沿离心力方向减小了。了。作业：作业：3-8，3-9，3-12221122121 222lpUpUzzhgggg 我们已经提出了
12、元流能量方程式。我们已经提出了元流能量方程式。现在进一步把它推广到总流，以得出在现在进一步把它推广到总流，以得出在工程实际中对平均流速和压强计算极为工程实际中对平均流速和压强计算极为重要的总流能量方程式。重要的总流能量方程式。在右图的总流中，选取两个渐变流在右图的总流中，选取两个渐变流断面断面1-l和和2-2。总流既然可以看作无数。总流既然可以看作无数元流之和，总流的能量方程就应当是元元流之和，总流的能量方程就应当是元流能量方程在两断面范围内的积分：流能量方程在两断面范围内的积分：1222112212()()22wAAQpupuzdQzdQhdQgg()()()AApppZ dQZdQZQ23
13、232222QAAuuudQdAu dAQgggg3333AAAu dAu dAav Av dA1 21 2llQhdQhQ代入整理后得到恒定总流能量方程2211 1222121 222lpupuzzhgggg 这就是实用上极其重要的恒定总流能量方程式，或恒定总流伯努利方程式。应用恒定总流能量方程注意事项：应用恒定总流能量方程注意事项：(一)方程的推导是在恒定流前提下进行的。(二)方程的推导又是以不可压缩流体为基础的。(三)方程的推导是将断面选在渐变流段。(五五)方程的推导是在两断面间没有能量输入或输出的方程的推导是在两断面间没有能量输入或输出的情况下提出的。情况下提出的。(四四)方程的推导是
14、根据两断面间没有分流或合流的情方程的推导是根据两断面间没有分流或合流的情况下推得的。况下推得的。(六)由于方程的推导用到了均匀流过流断面上的压强分布规律，因此，断面上的压强 p 和位置高度 Z 必须取同一点的值，但该点可以在断面上任取。2211 1222121 222wpvpvzzhgg2233 311 1131 322wpvpvzzhgg22233311 122211221 2331 3222wwpvpvpvgqzgqzhgqzhggg23gqgq，123qqqH2211 1222121 222wpvpvzHzhgg 22233311 1222111 3222 333222wwpvpvpvg
15、qzhgqzhgqzgggH3.9 3.9 能量方程的应用能量方程的应用 能量方程在解决流体力学问题上有决定性的作用，它和连续性方程联立，全面地解决一元流动的断面流速和压强的计算。一般来讲，实际工程问题，不外乎三种类型严是求流速，二是求压强，三是求流速和压强。这里，求流速是主要的，求压强必须在求流速的基础上，或在流速已知的基础广进行。其他问题，例如流量问题，水头问题，动量问题，都是和流速、压强相关联的。应用能量方程求流速、压强的一般步骤是：分析流动，划分断面，选择基面，写出方程。（1）分析流动要明确流动总体.（2）划分断面，是在分析流动的基础上进行。（3）选择基面，要选择一个基准水平面作为写方
16、程中Z的依据。（4）写出方程，就是选择适当的方程式，并将个已知数代入。（5）最后解出方程，求出流速和压强。222Vg文丘里流量计是一种量测管道中流量的设备。在管道中安装一段逐渐收缩后又逐渐扩散的管段，并在收缩段的前后断面各安装一根测压管。收缩段前后的管径为d1和d2。只需测出两测压管中的水面高差，即可求得通过管道的流量。试导出流量计的流量公式。取1、2两渐变流断面，写理想流体能量方程式 由于推导过程采用了理想流体的力学模型，求出的流量值较实际为大。为此，乘以值来修正。值根据实验确定，称为文丘里流量系数。它的值约在0.95-0.98之间。则出现两个流速，和连续性方程式联立作业：作业：3-13，3
17、-163.10 总水头线和测压管水头线总水头线和测压管水头线g2vgpzH2gpzHp测压管水头：测压管水头：总水头线：总水头线：总水头线和测压管水头线的具体绘制：总水头线和测压管水头线的具体绘制：1、选择基准面，即确定位压的计算起点；2、求出起始断面的总水头和测压管水头；3、分析确定沿程阻力损失和局部阻力损失；4、列出起始断面与沿线各断面的能量方程；5、连接各断面的总水头和测压管水头，即为要绘制的总水头线和测压管水头线。例题分析：3-10B点局部损失沿程损失入口阻力损失位置水头线基准线总水头线测压管水头有有 一一 等等 直直 径径 的的 虹虹 吸吸 管：管：（1）试试 定定 性性 会会 出出
18、 当当 通通 过过 实实 际际 水水 流流 时时 的的 总总 水水 头头 线线 和和 测测 管管 水水 头头 线；线；（2）在在 图图 上上 标标 出出 可可 能能 产产 生生 的的 负负 压压 区；区；（3）在在 图图 上上 标标 出出 真真 空空 值值 最最 大大 的的 断断 面。面。Hd虹 吸管恒定水位截门总水头线测管 水头线v /2g2Ad恒定水位Av /2g2（1）总 水 头 线 和 测 压 管 水 头 线（2）全 部 都 可 能 为 负 压 区（3）AA 断 面 真 空 值 最 大 1）试）试 定定 性性 绘绘 出出 当当 实实 际际 水水 流流 通通 过过 图图 示示 管管 道道
19、 时时 的的 总总 水水 头头 线线 和和 测测 压压 管管 水水 头头 线；线；2 在在 图图 上上 标标 注注 可可 能能 的的 负负 压压 区；区；3 在在 图图 上上 标标 注注 真真 空空 值值 最最 大大 的的 断断 面。面。大气出流截门测 压管截门2d恒定1ddd122负 压区总水头线测管 水头线大气出流截门测 压管截门2d恒定1d/2gv12v/2g22/2gv12作业：作业：3-193.11 3.11 恒定气流能量方程式恒定气流能量方程式 虽然它是在不可压缩这样的流动模型基础上提出的，但在流速不高(小于68ms)，压强变化不大的情况下，同样可以应用于气体。当能量方程用于气体流
20、动时，由于水头概念没有像液体流动那样明确具体，我们将方样各项乘以容重，转变为压强的因次。对于气体流动，特别是在高差较大，气体容重和空气容重不等的情况下，必须考虑大气压强因高度不同的差异。此时l、2断面绝对压强和相对压强的关系将不同。如图3-31所示。设断面在高程为Z1处，大气压强为pa；在高程为Z2的断面，大气压强将减至pa-a(Z2Z1)。如果1断面绝对压强p1和相对压强p1之间的关系为：则2断面的绝对压强和相对压强的关系为：22121121221 2()22aaalvvppZpZZpZpap消去，经整理得出：专业上习惯称为动压、222221vv惯称为静压的相对压强，专业上习、断面、2121
21、pp头差相应位压，与水流的位置水)(12ZZa两断面间的压强损失、2121lp12pp将 和代入伯努利能量方程（压强表示）221212121 2()()22alvvpZZpp总压：静压，动压和位压之和：全压：静压和动压之和：势压：静压和位压之和：)(12ZZppas22vppq)(2122ZZvppaz应用恒定气流能量方程式方法和步骤应用恒定气流能量方程式方法和步骤一、选择基准面（零压面）一、选择基准面（零压面）二、分析气流流动，根据所求合理划分过流断面二、分析气流流动，根据所求合理划分过流断面三、根据划分的过流断面，列出恒定气流能量方程式三、根据划分的过流断面，列出恒定气流能量方程式四、求解
22、四、求解例题3-10例题3-11例题3-123.12 总压线和全压线总压线和全压线总压：静压，动压和位压之和：全压：静压和动压之和：22vppq)(2122ZZvppaz势压：静压和位压之和：)(12ZZppas总压线和势压线的具体绘制：总压线和势压线的具体绘制：4、连接各断面的总压即为总压线 1、选定零压线（与前基准面相同，确定压强计算起点）3、根据第二断面的总压等于第一断面的总压减去两断面间的压强损失，求第二断面的总压2、求出起始断面的总压，确定沿程阻力损失和局部阻力损失；注意局部阻力损失和沿程阻力损失在注意局部阻力损失和沿程阻力损失在个压强线上的画法个压强线上的画法例3-14：气体由压强
23、为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm、长为100m的管子流入大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pl=9v2/2，大气密度a=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强AB100m40mC解：（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程ClACCAACaApvpvZZp22)(2222.1922.18.91222CCvvsmvC/43.4smAvQCC/0348.03AB100m40mC2212 9.800922CCCvvp作压力线PavZZppAACaAzA6.11700
24、8.9122)(2PavpClA106292PavZcZcppCaCzC7.117.11002)(2117.6B总压线势压线pA11.7C注：此时全压线与总压线重合注：此时全压线与总压线重合（b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程 2922222CCCAACaAvvpvzzgp3.3422CvsmvC/28.828.0928.0000408.98.02.18.91222CCvv作压力线274.4B总压线势压线158位压线pAC27.44 PavzzgppAACaAzA4.2740408.9)8.02.1(8.91222 PavzzgppCCCaCzC44.273.348.008.9)8.02
25、.1(022 PazzgppACaAAs4.274408.9)8.02.1(8.912 PazzgppCCaCsC008.9)8.02.1(0例题3-12a ab b9.89.8d d294294c c位压线位压线总压线总压线势压线势压线aabbccaabbccbb cc dd205.8205.8264.6264.6气流经过烟囱的各种压强线气流经过烟囱的各种压强线作业：作业：3-20，3-233.13 3.13 恒定流动量方程恒定流动量方程2121()()dF dtd dm vdm vdm v对于元流：对于元流：22211121222221 1121222221 1121()()AAAAAAA
26、dFdtdQ vdQ vFdtv dA dtv dAdtFv dAv dA 为简化积分，引进动量修正系数，动量修正系数表达式（见动能修正）为：20Av dAQu222221 1121022220111 1AAFv dAv dAFQ uQu 采用平均流速后，则动量方程简化为：02201 1()xxxFQvv02201 1()yyyFQvv02201 1()zzzFQvv层流o=1.33，紊流o=1.05-1.021：22211 1FQ uQu注意：注意：1.1.如考虑水头损失，如考虑水头损失，只要只要在能量方程中考虑；在能量方程中考虑；2.2.动量方程是矢量式，分量式中要考虑符号的正负，动量方程
27、是矢量式，分量式中要考虑符号的正负，即要考虑力和速度的方向和坐标方向一致性；即要考虑力和速度的方向和坐标方向一致性；3.3.运用了牛顿第三定律：作用力与反作用力运用了牛顿第三定律：作用力与反作用力4.4.应用条件：恒定流动应用条件：恒定流动5.5.不论粘性流体，还是理想流体，可压、不可压均不论粘性流体，还是理想流体，可压、不可压均适用适用应用动量方程求解步骤：应用动量方程求解步骤：1、选择正确的控制体（研究对象）、选择正确的控制体（研究对象）2、选择合适的坐标系、选择合适的坐标系3、列出动量方程的矢量式，并联立能量方程，连续性方程、列出动量方程的矢量式，并联立能量方程，连续性方程4、求解、求解
28、例题3-16例题3-17水由水箱经一喷口无损失地水平射出，冲击在一块铅直平板上，平板封盖着另水由水箱经一喷口无损失地水平射出，冲击在一块铅直平板上，平板封盖着另一油箱的短管出口。两个出口的中心线重合，其液位高分别为一油箱的短管出口。两个出口的中心线重合，其液位高分别为h1和和h2且且h1=1.6m，两出口直径分别为两出口直径分别为d1=25mm,d2=50mm，当油液的相对密度为，当油液的相对密度为0.85 时，不使油液时，不使油液泄漏的泄漏的 度度 h2应是多大（平板重量不）？应是多大（平板重量不）？d1h1水P1P2h2d2油解：建解：建 立立 水水 箱箱 液液 面面 与与 喷喷 口口 的
29、的 能能 量量 方方 程，程，按按 照照 题题 意意 有，有，则则 水水 射射 流流 的的 速速 度度 为为 取取 图图 示示 射射 流流 边边 界界 为为 控控 制制 体，体，根根 据据 动动 量量 原原 理，理，平平 板板 对对 射射 流流 的的 作作 用用 力力 为为 此此 力力 即即 为为 射射 流流 对对 平平 板板 的的 作作 用用 力力P1，此此 外，外，平平 板板 另另 一一 侧侧 所所 受受 到到 的的 静静 止止 油油 液液 的的 总总 压压 力力 为为P2，为为 保保 持持 平平 板板 对对 油油 箱箱 短短 管管 的的 密密 封封 作作 用用，须须 使使 平平 板板 在
30、在 水水 平平 方方 向向 保保 持持 静静 止止 状状 态，态，根根 据据 水水 平平 方方 向向 力力 的的 作作 用用 情情 况，况，则则 有有 即即 gVh2211 112ghV 422211111211dhAghAVQVR 48.02222222dghAhgP 21PP 48.042222211dghdgh m16.1)5025(8.02)(8.02212212 hddh33l 下部水箱重下部水箱重224N，其中盛水重，其中盛水重897N，如果此箱放在秤台上，受如图的恒定，如果此箱放在秤台上，受如图的恒定流作用。问秤的读数是多少流作用。问秤的读数是多少?9.5)(2212gzzu4.
31、12)(2313gzzu9.5)(2434gzzu 分别以分别以1和和2断面，断面，1和和3断面，断面，3和和4断断面列能量方程，忽略阻力损失，我们可以面列能量方程，忽略阻力损失，我们可以求出求出u2，u3，u4RG224.0读数以下部水箱中水为研究对象，则有：以下部水箱中水为研究对象，则有：0240134334()R=()R=+()yyyyyFQuuGQ uuGQ uu水水根据作用力与反作用力，水对根据作用力与反作用力，水对水箱水箱的作用力为的作用力为R，则称的读数应为：，则称的读数应为：1234yxRG水作业：3-28，3-29人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
