1、第二章第二章 线性连续系统的运动分析线性连续系统的运动分析 给定问题给定问题:,)()()()(000 ttttuxtxutBxtAx 时时变变：0)()0(0t tuxxBuAxx 定常：定常：线性系统响应：线性系统响应：自由运动（零输入响应）；自由运动（零输入响应）；强迫运动（零状态响应）。强迫运动（零状态响应）。tttxtxxtAx ,)()(000 自自由由运运动动：tttxtxutBxtAx ,)()()(000 强强迫迫运运动动：2-1 2-1 线性系统的运动分析线性系统的运动分析 0)()0(0ttuxxBuAxx 给给定定：000),()(tttuxtx 或或响应为响应为：)(
2、0)(0txexttA 通常通常t0=0,即给定：即给定：0)0(0txxAxx 响应为：响应为：AtAteAtxex )exp(*)0(eAt 称为矩阵指数函数。称为矩阵指数函数。自由运动自由运动 考虑考虑 u u(t t)=0.)=0.000)(ttxtxAxx 给给定定：证明证明()式式:设设 0,)(02210 ttbtbtbbtxkkk代入方程代入方程 Axx )(32221012321 kkkktbtbtbbAtkbtbtbb 01030323021201!11!313!2131!2121bAkAbkbbAbAAbbbAAbbAbbkkk 022!1!21kkkAttAktAAtI
3、eeAt 对任何对任何t 都收敛都收敛。收收敛敛较较快快。时时当当 ,1At 矩阵指数矩阵指数eAt的性质的性质)0()(,00 xtxtt 时时又又)0(:0 xb 可可得得 btAktAAtItxkk022)!1!21()(nnAtnnRe RA ,Iee tAt 00)1(AtAtAtee e 1)(,)2(则则其其逆逆阵阵为为非非奇奇异异)()3()(时时当当且且仅仅当当BAABeeeee AtBtBtAttBA 122121)()4(AtAtAtAtttAeeeee AeeAedtdAtAtAt )5()0()(:xetxAt 即即0be At .,)6(011为为非非奇奇异异若若A
4、AIeIeAdetAtAtA 为为非非奇奇异异M MeMtAMM At,)exp()7(11 .,;,11 e eMeMe AAAMMAAttAAtAt的的相相似似交交换换对对的的相相似似交交换换对对 证明：证明：(1)按定义，按定义，IetAt 0 先证明先证明(3)、(4)，可套出可套出(2)。)!21)(!31!21()3(223322 tBBtItAtAAtIee BtAt kktCtBABBAAtBABAtBAI33223222)!3!2!2!3()!2!2()(!)!1()!2(!2!2)!2()!1(!12222kBkBAkBAkBAkBAkACkkkkkkk 33221!3)2
5、)(1(!2)1(!1BAkkkBAkkBAkAkkkkk !2)1(122kkkBkABBAkk !3)(!2)()(3322)(tBAtBAtBAIetBA !2)()(222tBBAABAtBAI !3)(3322223tBABBABBAABABABAA BtAtBAABee )!3!2)(!31!21()4(3232222313212121 tAtAAtItAtAAtIeeAtAt )!2!2()(222121221ttttAttAI )!1(!()!3!2!2!3(211132221221313kttktAttttttAkkk )!)!1()!2(!2)!2(222122212221
6、ktkttkttkttkkkk)(21ttAe (2)在性质在性质(4)(4)中中，令，令 t1=t,t2=-t IeeeeAottAAtAt )(AtAtee 1)()!2()5(22 tAAtIdtdedtd At !20232tAtAAAteAtAAtIA )!2(22AeAtAAtI At !222或或 ttAdAAIde 0220)!21()6(322!3!2tAtAIt,0AttAeIdeA ,1存存在在 A110 AIeIeAde AtAttA (7)对于非奇异阵对于非奇异阵M,有有 MAMAMMAMMAMM211121)()(M-1AM)k=M-1AkM 因此，因此，!)(01
7、ktAMMAM)texp(Mkkk-1 !01ktMAMkkk MktAMkkk)!(01 MAtM)exp(1 3.强迫运动强迫运动 0,)()0(0t tuxxBuAxx 给给定定：dBuexetx ttAAt)()0()(:0)(解为解为一般情况一般情况：000,)()(tt tuxtxBuAxx dBuetxetx tttAttA 00)()()()(0)(解解为为：BuAxx 证证：BueAxxeAtAt BuexedtdAtAt ttAAtAtAtAtAtdBueetxeetxee00)()()(0 tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)(ttAAtdBuexet
8、x t0)(0)()0()(;0 ，则则系统（完全）响应系统（完全）响应：)0()(xetxAt 零零输输入入响响应应)0(xeAt零零状状态态响响应应 ttAdBue0)()(ttAttAtodBuetxe )()(0 dBuetxetxettAAtAt 00)()()(02-2 2-2 的计算方法的计算方法 AtennAtnnRe RA ,)()()()()(1111tttttennnnAt 0!kkkAtktA e方法方法1:Laplace 变换法变换法 考虑考虑 Axx 取取Laplace变换变换：)()0()(sxAxsxs )0()()(1xAsIsx )0()()()(111xA
9、sILsxLtx 定义定义 )()(11 AsIL t 比比较较与与 xetx xttxAt)0()()0()()(知知 (t)=eAt (t)=eAt 线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵。因此有因此有:)(11 AsILeAt例例:已知系统矩阵已知系统矩阵 5230A试用拉氏变换法求试用拉氏变换法求eAt.ssss235)3)(2(1 3322322233233223ssssssss)()det(1523)(11AsIadjAsIssAsI 对上式取拉氏反变换即得对上式取拉氏反变换即得:ttttttttAteeeeeeeeAsILe323232321132223323)(方
10、法方法2:无穷级数法无穷级数法 在一些特殊情况下，可利用在一些特殊情况下，可利用eAt的定义来求得解析解的定义来求得解析解。nndiagA ,00)1(2121 若若 tttAtneeediage ,21 则则,A 001010)2(若若 0010100010102A 00010100,tAktAAtIekkAt !1!2122,0000100,1 nA,0 nA,A 00)3(若若 tcostsintsintcos Ate则则,A 0110 因因 100101100110222 A,AA3330110 IA44 !6!4!211001664422 ttteAt 故故)!5!3(0110553
11、3 ttt ,tnttn 10)!1(11则则tt sin0110cos1001 tttt cossinsincos,)4(A tAtetttte cossinsincos则则210000AAA 122100AAAA ttAtAtAAAtetttteeee cossinsincos2121)(根据根据eAt的性质的性质(3)(3)，有，有 例例:已知系统矩阵已知系统矩阵 5230A试用无穷级数法求试用无穷级数法求eAt.3265385730!311910156!2152301001ttteAt 3232323266521951319526572153531ttttttttttt方法方法3:特征
12、值与特征向量法特征值与特征向量法（特征值相异）（特征值相异）AMMAA1 相相似似变变换换,21ndiagA 关键：求非奇异变换阵关键：求非奇异变换阵M11 MMeeMAMAtAAt,xMx BuxAMxMBuAxx BuMxAMMx11 uBxA 解解耦耦后后的的状状态态。x :uxx 10051166116110变换为对角线规范型。变换为对角线规范型。例例:试将状态方程试将状态方程 03216116511661161123 AI解：解：.求特征值：求特征值：.求特征向量和变换矩阵求特征向量和变换矩阵M,111eAe 13121113121151166116110eeeeee 1011e=-
13、1对应的对应的e1 961,42132ee同理可得同理可得 941620111321eeeM 123334322531M 132,30002000111bMbAMMAuxx 327120010112112321 ，其特征为：其特征为：:相相应应的的一一组组特特征征向向量量为为 110101001321eee，:1 MM和和其其逆逆于于是是，可可得得到到变变换换阵阵态方程为态方程为给定线性定常系统的状给定线性定常系统的状 例例:252,10001000211BMBAMMA角角线线规规范范形形为为也也即即给给定定状状态态方方程程的的对对uxxxxxx 252100010002321321 0101
14、10111,1101000111MM从从而而，可可定定出出v特征向量特征向量 nnijaA )(特征多项式特征多项式：0111)det(asasasAsInnn 特征方程特征方程：0111)det(asasasAsInnn 0)()(21 nsss i(i=1,2,n)是是A的的特征值特征值。当当A为某系统为某系统BuAxx 则则 i 就是该系统的自然频率（振型，模态），满足方程就是该系统的自然频率（振型，模态），满足方程 的系统矩阵时的系统矩阵时，kkkkkeAe eAI 或或0列向量列向量ek称为对应于特征值称为对应于特征值 k的一个特征向量的一个特征向量；kI-A称为称为A的的特征矩阵特
15、征矩阵。定理定理 若若A=(ij)n n有几个相异的特征值有几个相异的特征值 1,1,n,则则 ndiagAMMA ,211 其中其中 M=e1，e2，,en模式矩阵模式矩阵。ek为为 k(1kn)的的特征向量特征向量。证证：),2,1(,21n ke,eeeM kkn 的的特特征征向向量量为为令令 nnneeeAeAeAeAM ,221121 nnnnnnMeee 2121121,AAMMn 211v求求ek的一种方法的一种方法 n ,.,1k eAI kk.2,0 ，由由 nnnnnkppppppAI 2111211 记记）（有有 ppppppppp jnjjnnnnnn021212222
16、111211其中，其中，),2,1(nmjm 的第的第j行第行第m列的代数列的代数余余子式子式)det(AIk jnjjke 21则则上述结论的上述结论的原理原理:i)Tjnjjke ,21和和都是齐次方程都是齐次方程 0 ZAIk 的解的解 因此，因此，jnjjke21与与只差一个系数，即只差一个系数，即 jnjjke21 ii)按按Laplace行列式展开公式行列式展开公式 nlnllkliklilki ki pp11,0,nilkliniklil ki p ki p11,时，为按列展开时，为按列展开时，为按行展开时，为按行展开又，齐次方程又，齐次方程 0 ZAIk 有非零解有非零解0)d
17、et(AIk 因此，总有因此，总有 nlnllkliklilpp110即：（即：（*）式总成立）式总成立 任选。任选。中，中，故在故在 j e jnjjk 21 jm(m=1,n)，按第按第j行展开的行展开的n个代数余子式个代数余子式。例例 131111322A0)3)(2)(1(652131111322)det(23 AI特征值：特征值：3,2,1321 特征向量求取：特征向量求取：11 0231101321111 eeAI 任选任选j=1，得：，得：3,3,3131211 1111e 取取 3331e：22 0131131324222 eeAI 得得：任任选选 j ,3 14,1,1133
18、3231 141112e 取取：33 0431121321333 eeAI 选选j=2，得，得:1,1,1232221 1113e 取取 11411111111,321e e eM 123152201025153011M 11411111111131111322123152201025153011AMMA 300020001 1231522010251530111411111111321ttttAAteeeMMeettteee32415415415101141401101111015125325325361 1 MAMA方法方法4:待定系数法待定系数法当用待定系数法求距阵指数当用待定系数法求距
19、阵指数eAt时时，会涉及到以下三个问题会涉及到以下三个问题：(1)凯利凯利哈密哈密(Cayley-hamilton)定理定理 0fnn011n1nn )(方阵，其特征方程为方阵，其特征方程为阵为阵为设设0(f011n1nn)征方程，即征方程，即阵也必满足其自身的特阵也必满足其自身的特那么那么012n2n1n1nn 哈哈密密顿顿定定理理，可可得得根根据据剀剀利利).(.0122111IaAaAaAaAAAAnnNnnn 同理可得同理可得AaAaAaAaAannnnnn02123121 AaAaAaAaIaAaAaAaannnnnnnnn02123120122111)(IaaAaaaAaaaAaa
20、nnnnnnnnn0101123211221)()()(依次类推依次类推 An,An+1,A n+2 都可以用都可以用An-1,An-2，A，I的线的线性组合来表示。性组合来表示。如此可得出如下如此可得出如下结论结论：A的所有等于和大于的所有等于和大于n的高次幂都可以的高次幂都可以用用A的的（n-1）次多项式来表示次多项式来表示。kKkkKAttAktAktAAtIe 022!1!1!21表表达达式式然然可可以以将将矩矩阵阵无无穷穷级级数数根根据据上上述述结结论论，我我们们当当改写成有限项表达式，这是因为当改写成有限项表达式，这是因为当k n时的所有高次幂项都是不时的所有高次幂项都是不独立的，
21、即都可以用独立的，即都可以用An-1,An-2 A，I的线性组合来表示。的线性组合来表示。只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。(2)矩阵指数函数矩阵指数函数eAt 的有限项表达式的有限项表达式 根据以上分析，有根据以上分析，有 iniinnAtAtAtAtAtIte)()()()()(10112210 。有有限限项项表表达达式式的的上上式式称称为为的的函函数数。它它们们都都是是时时间间称称为为待待定定系系数数式式中中tnettttt ,)(,),(),(),(1210 (3)待定系数待定系数 i(t)(i=0,1,n-1)的计算公式的计算公式 个
22、互异特征值的情况阵具有1)n论论。下下面面分分三三种种情情况况加加以以讨讨，的公式为：，的公式为：，）（）（则计算待定系数则计算待定系数，时，时，个互异特征值个互异特征值阵具有阵具有当当)110,21 nitnin tttnnnnnnnneeettt 211121222211211110111)()()(证证明明 根据剀利根据剀利哈密顿定理可知哈密顿定理可知，A和和 都是满足自身的都是满足自身的特征方程，这就是说，特征方程，这就是说，A和和 是可以互换的是可以互换的。因此，因此，A的所有特征值的所有特征值 1,2,n,都应满足都应满足eAt的有限项表达的有限项表达式，即有式，即有 tnnnnn
23、tnntnnnetatatataetatatataetatatata 112210121222210111212110)()()()()()()()()()()()(21解此方程组即得证。解此方程组即得证。例例 已知系统矩阵等于已知系统矩阵等于 5230A试用待定系数法求试用待定系数法求eAt。解解 (1)求求A A阵的特征值阵的特征值 0)3)(2(532 AI为两个互异特征值。为两个互异特征值。3,221 :)()()2(10tata和和求求待待定定系系数数 tttteeeetata32112110312111)()(21 tttttteeeeee323232231123(3)求求eAt
24、AtaItaeAt)()(10 5230)(1001)23(3232tttteeee2)A阵具有阵具有n重特征值的情况重特征值的情况 tttttttteeeeeeee3232323232223323此结果与用拉氏变换法计算结果此结果与用拉氏变换法计算结果(幻灯片幻灯片1212、13)13)相同。相同。当当A阵具有阵具有n重特征值重特征值 1时，则计算待定系数时，则计算待定系数)1,1,0()(nitai的公式为的公式为 tntntttnnnnnententetetennnntatatatata11111)!1()!2(!2!11000)1(000!2)2)(1(100!112101)()()(
25、)()(12211312111121112210 证明证明:同上述理由，有同上述理由，有 111212110)()()()(1 nnttatatatae 将上式对将上式对 1求导一次得求导一次得 tnntetantatata1211213121)()1()(3)(2)(将上式再经将上式再经 1求导一次得求导一次得 tnnettanntata12311132)()2)(1()(6)(2 依次类推，可得依次类推，可得 tnnettann111)(1)2)(1(即即 tnnettan111)()!1(这样可列出关于这样可列出关于)1,1,0)(nitai的的n个方程个方程：tnntnntnntnne
26、nttaettanntataettantatataetatatata1111)!1()(!2)(!2)2)(1()(3)(!1)(!1)1()(3)(2)()()()()(112311132211213121111212110 解此方程组，即可得证。解此方程组，即可得证。例例 已知系统矩阵已知系统矩阵 999300010A试用待定系数法求试用待定系数法求eAt。解解(1)求求A的特征值的特征值 0)3(93099013 AI为为三三重重特特征征值值。31 (2)求待定系数求待定系数 tttttttetteeetteetatata32331211211210210061093121002101)
27、()()(111 tttttttttetetteetteetettee32323323332332132932100610931(3)求求eAt 2210)()()(AtaAtaItaeAt 547281272727300)21(999300010)3(100010001)293(323233233ttttttetetteettee tttttttttttttttttttetteeetteetteetteeteteetetetteettee32333233233233232332323233233296992279293932272332933)A阵同时具有重特征值和互异特征值的情况阵同时具有
28、重特征值和互异特征值的情况 当当A阵同时具有重特征值和互异特征值时，阵同时具有重特征值和互异特征值时，则可根据上述则可根据上述1）、）、2）两种情况分别求出待定系数，）两种情况分别求出待定系数，然后将它们代入有限项表达式，即可求出然后将它们代入有限项表达式，即可求出eAt。例例 已知系统矩阵已知系统矩阵 71612100010A试用待定系数法求试用待定系数法求eAt。解解(1)求求A的特征值的特征值 0)3()2(7161210012 AI为单特征值。为单特征值。为二重特征值，为二重特征值，3231 (2)求待定系数求待定系数对于二重特征值对于二重特征值 1=2，可得可得tttetataeta
29、tata11121212110)(2)()()()(对于单特征值对于单特征值 3=3，可得可得 tetatata3232310)()()(解以上三个方程或直接利用公式可得解以上三个方程或直接利用公式可得 tttttteteeeteetatata32211233121121031141042112101)()()(311 tttttttttttteteeeteeeteeetee322222322322454463111454463(3)求求eAt将上述所求得的将上述所求得的a0(t),a1(t),a2(t),代入有限项表达式，得代入有限项表达式，得2210)()()(AtaAtaItaeAt 7
30、1612100010454(100010001)463(322322tttttteteeetee 331008471612100)(322tttetee ttttttttttttttttttttttttttteteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeetee322322322322322322322322322948362036362436323121013121212454463 化为规范形两例化为规范形两例 例例 已知系统矩阵已知系统矩阵 6128100010A试用约当标准形法求试用约当标准形法求eAt。解解(1)求求A的特征值的特征值 0)2(612810013 A
31、I为三重特征值。为三重特征值。21 (2)选定非奇异变换阵选定非奇异变换阵 本例本例A为友矩阵（标准形）故可选定非奇异变换阵为友矩阵（标准形）故可选定非奇异变换阵,14401200112010011211 T 1440120011T(3)求求eAt12222222100021 TeteeetteeTTTeetttttttAAt 144012001000211440120012223222ttttteteeettee tttttttttttttttttttetteeetteetteetteetteeetetetteettee222222222222222222222222222224812882
32、42421222 200120012J例例 已知系统矩阵已知系统矩阵 71612100010A试用约当标准形法求试用约当标准形法求eAt。解解(1)求求A的特征值的特征值 0)3()2(7161210012 AI为单特征值。为单特征值。为二重特征值，为二重特征值，3231 (2)选定非奇异变换阵选定非奇异变换阵 944312101211012312131 T 1441561431T 944312101716121000101441561431ATTJ 2100300020012AA为分块对角线阵。为分块对角线阵。式中式中 .3,201221 AA(2)求求eAt 10011)(211 TTeT
33、TeTTeetAAJttATTAt而根据矩阵指数函数性质，可得而根据矩阵指数函数性质，可得 tAtAtAAeee21210000故可将上式改写成故可将上式改写成 12100 TeeTetAtAAt再根据约当标准型再根据约当标准型(下节介绍下节介绍)和对角线标准型，可得和对角线标准型，可得 1311100000 TeeteeTettttAt 144156143000009443121013222tttteetee ttttttttttttttttttttttttttteteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeetee32232232232232232232232232294
34、8362036362436323121013121212454463与用待定系数法所求的结果完全相同。与用待定系数法所求的结果完全相同。v 由状态转移矩阵求系统矩阵由状态转移矩阵求系统矩阵 在已知状态转矩阵在已知状态转矩阵(t)情况下确定系统矩阵情况下确定系统矩阵A，通常有如下几种方法通常有如下几种方法：1)()(ttA 证明证明)()(tAt 因因为为)()(1ttA 所所以以)()(1tt 而而)()(ttA 故故有有2)0(A证明证明 因为因为 Atet )(所以所以 ItAettAt 0)()(当当t=0时，时，)0()(0 ttA有有,证毕证毕。3)拉氏变换法拉氏变换法 )()()(
35、)(111tLAsIAsILt 所所以以因因为为11)(AsIAsI这样即可求出矩阵这样即可求出矩阵A。例例 已知系统的状态转移矩阵为已知系统的状态转移矩阵为 tttttetteteetet2222)21(04)21(000)(试求系统矩阵试求系统矩阵A。解解解法解法1)()(1ttA ttttttttttetteteeteteetetete23222222)21(04)21(0004)21(0)84()44(000 010440001解法解法2 2 0222204)21(0)84()44(000|)(tttttttteetetetetA 010440001解法解法3 3 tttttettet
36、eeteLtLAsI22221)21(04)21(000)()(2222)2(221)2(10)2(4)2(22100011sssssss12222)2(4)2(10)2(4)2(00011 sssssssAsI sss10440001 010440001000000sss 010440001A所所以以2-3 Jordan规范形规范形 A有重特征值时有重特征值时，不能对角化不能对角化；,A A 可以可以AJ，广义对角化广义对角化；Jordan阵，是一种广义的对角阵阵，是一种广义的对角阵。:llAI )()()()det(2121 设设)(1的的代代数数重重数数为为iiliin 有有引引入入变变
37、换换 xTx,uBxJBuTxATTx11 nnlJJJ 1l i JJJiiii,2,11 的的约约当当块块。阵阵，对对应应于于为为iiiiJ 的的约约当当小小块块：称称为为对对应应于于特特征征值值iikJ,Jiiik 11iikikkrr,2,1 阵阵，);(即即约约当当小小块块的的个个数数的的几几何何重重数数为为ii ikikir 1记记AJ即即A与与J相似。相似。J：除去其中约当块的排列次序外，是由矩阵除去其中约当块的排列次序外，是由矩阵A唯一决定的。唯一决定的。ikikrriiikJ 11tikrtJiikikettrttte 1!2)!1(!21212则则ikiiiikPI J 0
38、110这因为这因为tPttPIttPItJikiikiikiikeeeeee )(,JJJiiii 1 tJtJtJiiiieee 1,JJJi 1 tJtJJtieee1.TTee ,TJTAJtAt11 问题：问题：找找J J和和T T。的的代代数数重重数数；称称为为 ii 的的几几何何重重数数。称称为为 ii .nAIRankii )()()(iiiJIRankAIRank 因为：因为：由由AJ：ee J iiiii，设设 11)1,2,110 ij j e （或或 011ieeoJIii )1,2,11|(|ijii j eJIRank 的的个个数数，。in iinAIRank )(，
39、如如 J iiiii 1 3141Rank（三三个个约约当当小小块块）JI ii 例例 可可能能有有四四种种情情况况：，对对于于J)()det(4eAI )(AIranknee 由由,e1 eeeeJ 111,e2 eeee J 11或或,Jeeee 11用初等因子法确定用初等因子法确定J,e3 ,e4 eeeeJ 1 eeeeJ 对于对于 e=1，3，4，可用求秩法确定可用求秩法确定J；但对但对 e=2，用求秩法无法确定用求秩法无法确定J，故用初等因子法故用初等因子法。例例 6128100010A 61281001 AI 行行，列列 2161281001 AI 12*13*126812100
40、1 3 ,211122612801001）（62321286010001）（）（）（122322261280010001 3211）（结果，有一个初等因子结果，有一个初等因子：(+2)3 一个初等因子，对应着一个约当块一个初等因子，对应着一个约当块：21212 JA例例:,A 211031013 AI 211031013 2110130312,1 22001)3(00312)3(1213 08602200012)1(1)3(123,2 860022000123,2 )4)(2(00020001)1(23 有有3个初等因子个初等因子：)4(),2(),2(422 JA 矩阵的矩阵的初等变换初等变
41、换(1)交换交换A()的两行的两行(列列)；(2)用不为零数乘用不为零数乘A()的某一行的某一行(列列)；(3)用用 的多项式的多项式()乘乘A()的某行的某行(列列)加加A()的另一行的另一行(列列)。特征值相异时用求初等因子的方法同样可确定对角线阵特征值相异时用求初等因子的方法同样可确定对角线阵：A例：例：131111322A 131111322 AI 131322111)1(2,1 220)2(3)2)(1(2011113)2(12 2)2(01)2(430001232 )2(20241000123,2 )34)(2(00241000122)2(23 )3)(1)(2(00010001
42、初等因子有初等因子有3个：个：)3(,)1(,)2(求变换阵求变换阵T 321 AA例：例：6128100010A J,200120012 2321 TJAT ATTJ ,1 ，令令 TTTT 321 列向量列向量)3,2,1(i Ti 21212321321TTTTTTA 11132111 TTT 011111 TAITAT 1212112TTAITTAT 2313123TTAITTAT ,T041281200121 ,TT124128120012 234128120012TT 可按求可按求M的方法求的方法求T1：16841131211 ,j 选选 4211T 取取 421412812001
43、22T 再再由由用用消消元元法法求求解解。，因因 AIi0)det(增广矩阵增广矩阵 4412821201012 113221201012行行变变换换 212021201012 000021201012 021000120012322212TTT 即即，令令 T 432 6120122212TT 有有 4323222122TTTT 可得：可得：4324120120012332313TTT 又又由由 1132312020124412031202012 000031202012302031202012 ，即即 TTT 032000120012332313，令令 T 733 4220122313TT
44、 有有,TT 202313 7203T 即即 ，TTTT 744232021321 144276414131T检验：检验：，ATTJ 212121tJtettte221121 144276414131121744232021221tJtAtetttTTeetettttttttttttttt2222221122)32(4)5(8)1(14442)1(2122 例例:,J eee 11对对于于对应对应 e只有一个约当块。只有一个约当块。11210nneeeTTAITTAITAI 1T 解解出出 ),3,2(1n i TT i其其余余还还有有只只能能解解出出一一个个独独立立向向量量 当对应当对应 e
45、有有2个以上约当块时，由个以上约当块时，由 e-A T1=0,可解出不止可解出不止一个独立的向量。一个独立的向量。502613803A 502613803 AI 5026132)1(21 50261321)1(1 50261221121 1)1(20)1(2)3)(1(0211 1)1(200)1(0001 2)1(00010001 ,JA 11111321 ,TTTT321,ATTJ1 TJAT 1111321321TTTTTTA)3()2()1()(0)(0)(,23213232211 TTAITAITAI TTATTATTAT 两两个个约约当当块块）,n ,AIranke211)(1 4
46、02603804)(AI，Z0402603804 0231 ZZ,010 取取,102 、满足方程满足方程。可取可取T1=，但不能取但不能取T2=，这因为这因为T2还要用于解方程还要用于解方程(3)：（I+A)T3=T2。如果如果T2选得不当，非奇次方程选得不当，非奇次方程(3)可能无解可能无解。因因 与与 线性组合仍是方程线性组合仍是方程(1)或或(2)的解的解，212212122102010kkkkkkkT 可得可得使得原系数阵使得原系数阵(eI-A)和其增广矩阵的秩相等和其增广矩阵的秩相等；否则，增广矩阵的秩大于系数阵的秩，方程否则，增广矩阵的秩大于系数阵的秩，方程(1)无解无解。增广矩
47、阵增广矩阵 2124026032804kkk1)402603804()4026032804(212 rankkkkrank 使使 23423221T k k ，可可选选 234402603804332313TTT 再再由由，可可取取 T 0013 ，TTTT 020031140321 201210023101T 1001100011ATTJ2-4 2-4 模式激励与抑制模式激励与抑制 “模式模式”(“振型振型”)本身的固有特性，本身的固有特性，由由A的特征值的特征值 i 决定决定。设设 i 是相异的是相异的：1左特征向量左特征向量fiT和右特征向量和右特征向量ei由前面讨论由前面讨论，0 ii
48、eAI ei与与 i相对应的右特征向量相对应的右特征向量，i=1,2,3,n。0 AIfiTi fiT与与 i相对应的左特征向量相对应的左特征向量，i=1,2,3,n。ei列向量列向量；fiT行向量行向量。jiji ,ef jTi 01有有AMMAMAMAxMx 11 因因为为 neeeM21 TnTTfffM 211令令111 MAAMMAMA 由由 TnTTnTnTTfffAfff212121 jijiefjTi,0,1可得：可得：TiiTifAf 0 AIfiTi 指出了左特征向量指出了左特征向量.,2,1,nifTi IMMeeefffnTnTT 12121,比较比较：AMAM nnn
49、eeeeeeA 212121,2模式激励与仰制模式激励与仰制 iiieAe 0 iieAI 得到得到ei，指出了右特征向量。指出了右特征向量。定理定理 设设 有相异特征值有相异特征值 nniaA )(),2,1(nii 则则 的解为的解为:)()(txAtx )0()(1xfeetxniTitii 证证：)0()0()(1xMMexetxtAAt )0(,212121xfffeeeeeeTnTTtttnn )0()0()0(,212121xfxfxfeeeeeeTnTTtnttn )0()0()0(221121xfeexfeexfeeTntnTtTtn niTitiixfeei1)0(其中每一
50、项，称为其中每一项，称为“模式模式”；)0(xf e eTitii 列向量列向量表示该振型的方向表示该振型的方向 标量标量代表一个代表一个“振型振型”标量标量该振型的激发强度该振型的激发强度 nininitiTitTitiiiieRxfeexfeetx111)0()0()(称为振型分解。称为振型分解。实现的振型共有实现的振型共有n个个。相应于每个特征值相应于每个特征值 i有一个振型有一个振型；任一个初始条件任一个初始条件x(0)一般可激发现有振型一般可激发现有振型，而任一振型的激励强度而任一振型的激励强度fiTx(0)与其他振型无关与其他振型无关；分解式分解式 是唯一的。是唯一的。niTiti
