1、-1- 第一章第一章 立体几何初步立体几何初步 -2- 1.1 空间几何体 -3- 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解平面的抽象特征,并会表示平 面. 2.理解构成几何体的基本元素,并能从 运动的角度理解点、线、面、体之间 的关系. 3.了解简单几何体中点、线、面的位 置关系. 4.逐步掌握立体几何中的三种语言 文字语言、符号语言、图形语言 以及这三种语言之间的相互转化. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 Z
2、HONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.几何体的定义 如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他 因素,则这个空间部分叫做一个几何体. 思考 1空的纸箱是空间几何体吗? 提示:是,虽然纸箱的内部是空的,但纸箱的壁仍然占有一定的空间,因 此它仍然是一个空间几何体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.构成空间几何体的基本元素 (1) (2)点、线、面是构成几何体的基本元素. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIA
3、N NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.空间点、线、面的特征 (1)线有直线(段)和曲线(段)之分,面有平面(部分)和曲面(部分)之分.平 面是处处平直的面,而曲面就不是处处平直的. (2)在立体几何中,平面是无限延展的,通常画一个平行四边形表示一个 平面,并把它想象成无限延展的. 平面一般用希腊字母 ,来命名,还可以用表示它的平行四边形的 对角顶点的字母来命名,如图中的平面 、平面 、平面 ABCD 或平面 AC 等. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (3)在几
4、何中,可以把线看成点运动的轨迹,如果点运动的方向始终不 变,那么它的轨迹就是一条直线或线段;如果点运动的方向时刻在变化,则运 动的轨迹是一条曲线或曲线的一段. (4)一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的轨迹(经过的空间部分) 可以形成一个几何体. (5)直线平行移动,可以形成平面或曲面.固定射线的端点,让其绕着一 个圆弧转动,可以形成锥面. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考2直线平移一定形成平面吗?若直线绕定点转动,一定能 形成锥面吗? 提示:直线平移不一定形成平面.如果直线运动的方向始终不
5、变,那么它 的轨迹就是一个平面;如果直线运动的方向时刻在变化,那么它的轨迹就是 一个曲面. 直线绕定点转动不一定能形成锥面,如果直线和转动方向总在同一个 平面内,那么它的轨迹就是一个平面. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 4.空间中线与面、面与面的位置关系及距离 位置 关系 定义 图形 符号表 示 平 行 线 面 如果直线和平面没有公共点,则说直线和 平面平行 AB 面 面 如果两个平面没有公共点,则说这两个平 面平行 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN
6、 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 位置 关系 定义 图形 符号 表示 垂 直 线 面 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直,则说直线与平面垂直 l 面 面 如果两个平面相交,并且其中一个平面通 过另一个平面的一条垂线,则说这两个平 面互相垂直 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 位置 关系 定义 图形 符号表 示 距 离 点 面 点到平面的垂线段的长度,称作点到平 面的距离 两 平 面 夹在两平行平面间垂线段的长度称作 两平面间的距离 ZHONGDIAN NAN
7、DIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 平面的概念及表示 1.在立体几何中,平面是无限延展的,是理想的、绝对平直的. 2.平面是抽象出来的,没有厚度、没有大小,因此无法度量.平面几何中 的平面图形,如三角形、四边形等都是有大小的,可以度量的,它们本身不是 平面. 3.任何一个平面都可以将空间分为两部分,如果想从平面的一侧到另 一侧,必须穿过这个平面. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究
8、二 探究三 探究四 【典型例题 1】 判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)平面的形状是平行四边形; (2)任何一个平面图形都是一个平面; (3)圆和平面多边形都可以表示平面; (4)若 S ABCDSA'B'C'D',则平面 ABCD 大于平面 A'B'C'D'. 解:(1)不正确.我们常用平行四边形表示平面,但不能说平面的形状是 平行四边形,平面是无形状可言的. (2)不正确.平面和平面图形是两个完全不同的概念,平面图形是有大小 的,它是不可能无限延展的. (3)正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面,但有时根据需要
9、 也可以用圆或其他平面多边形来表示平面. (4)不正确.因为平面无大小、面积可言. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 构成几何体的基本元素 空间中的几何体,一方面可以看作是由若干个面(平面的一部分或曲面 的一部分)围成的,另一方面也可以用运动的观点来看待,即我们常说的“点 动成线、线动成面、面动成体”. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究
10、四 【典型例题 2】 (1)下列结论中正确的是( ) A.直线平行运动的轨迹一定是平面 B.曲线运动的轨迹一定是曲面 C.平面图形运动的轨迹一定是几何体 D.点运动的轨迹一定是线 (2)如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列说法 正确的有 .(填序号) 长方体的顶点一共有 8 个; 线段 AA1所在的直线是长方体的一条棱; 矩形 ABCD 所在的平面是长方体的一个面; 长方体由六个平面围成. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解
11、析:(1)直线平行移动可形成曲面,如图,故 A 错;曲线运动可以形成 平面,如图,故 B 错;平面图形运动后的轨迹可能是一个面,不一定是几何 体,故 C 错;点运动的轨迹一定是线,故 D 对. (2)长方体一共有 8 个顶点; 长方体的一条棱为线段 AA1; 矩形 ABCD 为长方体的一个面; 长方体由六个矩形(包括它的)内部围成. 答案:(1)D (2) ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 几何体中基本元素的位置关系 以长方体为例, 1.平行关系. (1)直线
12、与直线的平行关系: 如图,在长方体的 12 条棱中,分成“长”“宽”“高”三组,其中 “高”AA1,BB1,CC1,DD1相互平行;“长”AB,DC,A1B1,D1C1相互平 行;“宽”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)直线与平面的平行关系: 在长方体的 12 条棱及表面中,若棱所在的直线与某一平面(棱不在该 平面内)不相交,就平行. (3)平面与平面的平行关系:长方体的对面相互平行. 2.垂直关系. (1)直线与平面的
13、垂直关系: 在长方体的棱所在直线与各表面中,若直线与平面有且只有一个公共 点,则二者垂直. (2)平面与平面的垂直关系: 在长方体的各表面中,若两平面有公共点,则二者垂直. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,与棱 A1A 既不平行也 不相交的棱有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 (2)如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1,在长方体的面与棱中, 与棱 BC 平行的棱是哪几条?
14、与棱 BC 平行的平面是哪几个? 与棱 BC 垂直的平面是哪几个? 与平面 BC1垂直的平面是哪几个? ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (1)解析:与棱 A1A 平行的棱有 3 条,相交的有 4 条,故既不平行也不相 交的有 4 条. 答案:D (2)解:在长方体的面与棱中, 与棱 BC 平行的棱有:棱 B1C1,A1D1,AD. 与棱 BC 平行的平面有:平面 A1C1,平面 AD1. 与棱 BC 垂直的平面有:平面 AB1,平面 DC1. 与平面 BC1垂直的平
15、面有:平面 AB1,平面 A1C1,平面 DC1,平面 AC. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 1:不理解直线与平面的关系而致误 【典型例题 4】 能正确表示点 A 在直线 l 上且直线 l 在平面 内的是 ( ) 错解:B 错因分析:在平面内的直线一定要将表示它的线段画在表示平面的平 行四边形的内部. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一
16、探究二 探究三 探究四 正解:选项 A 只表示点 A 在直线 l 上;选项 D 表示直线 l 与平面 相交 于点 A;选项 B 中的直线 l 有部分在平行四边形的外面,所以不能表示直线 在平面 内,故选 C. 答案:C 点评点、线、面这三个原始概念各自具有三大特征: (1)点:最基本元素;只有位置;没有大小. (2)直线:没有粗细;绝对的直;向两方无限延伸. (3)平面:没有厚度;绝对的平;向周围无限延展. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 易错点 2 对“运动方向”
17、认识不清而致误 【典型例题 5】 下列说法错误的是 .(填序号) (1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面; (2)直线绕着一个点转动,只能形成曲面; (3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离,其轨迹就是长方体. 错解:填(1)(2)或填(1)(3)或填(2)(3). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:忽视了运动方向,或者说运动方向考虑不全面而致误. (1)没考虑射线绕顶点;(2)没考虑直线绕一点左右转动;(3)没考虑必须 沿铅垂线方向
18、. 正解:(1)错误.水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周,可形成平 面. (2)错误.直线绕一个点左右转动也能形成平面. (3)错误.矩形上各点沿铅垂线方向移动相同的距离,其轨迹才形成长方 体. 答案:(1)(2)(3) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 1.有下列说法: 长方体是由六个平面围成的几何体;长方体可以看作一个矩形 ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形 A'
19、B'C'D'所形成的几何体;长方体一个面上任一点到对面的距离相等. 其中正确说法的序号是 . 解析:是错误的,面与矩形是有区别的. 答案: SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 2.如图所示是小明设计的某种产品的包装盒,但是少设计了其中一部分,请 你把它补上,使其能构成两边均有盖的正方体盒子. (1)共有 种方法. (2)任意画出一种正
20、确的设计图. 解:(1)4 (2)设计图如图所示.(答案不唯一) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 3.若线段AB与直线l 有如图所示的关系,请画出线段AB 旋转一周所形成的 几何图形. 解: SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 &nbs
21、p;4 4.能用 12 根火柴组成 5 个正方形吗?能组成 6 个正方形吗? 分析:将12根火柴组成5个正方形,放在同一平面内可以做到,但在同一平面 内组成 6 个正方形是不可能的,故可以结合一些几何体找原型. 解:能用 12 根火柴组成 5 个正方形,如图(1)所示,包括中间 4 个小正方形和 外面一个大正方形;联想正方体有 12 条棱,6 个面都是正方形,故用 12 根火 柴组成 6 个正方形的情况如图(2)所示. -30- 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练
22、习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.要结合模型、动态或静态的直观图,了解、认 识和研究多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特 征,并结合这些结构特征认识日常生活中见到 的几何体. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的分类,学会表示它们 的方法,初步了解它们的一些性质. 3.认识直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台这些 特殊多面体的结构特征和性质,认识和研究正 棱锥或正棱台中可以称之为核心图形的那些直 角三角形或直角梯形. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.多面体及其相关概念 (1)定义. 由若干个平面多边形所
23、围成的几何体叫多面体. (2)相关概念. (3)凸多面体. 把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平 面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1一个多面体至少有几个面?几个顶点?几条棱? 提示:最简单的多面体是四面体,有 4 个面,4 个顶点,6 条棱. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.棱柱 (1)棱柱的概念. 有两个互相平行的面,其余
24、各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,这些面围成的几何体称为棱柱.棱柱中,两个互相平行的 面称为棱柱的底面;其余各面叫做棱柱的侧面;两侧面的公共边称为棱柱的 侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱两底面之间的距 离叫做棱柱的高. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (2)棱柱的表示法. 用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母 来表示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIAN
25、XI 随堂练习 (3)棱柱的分类. 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱. 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直 棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的棱柱叫做 平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形 的直平行六面体是长方体,棱长都相等的长方体是正方体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2有人说:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形 的几何体是棱柱.你认为这种说法对吗? 提示:这种说
26、法不对.棱柱有两个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其 余各面每相邻两面的公共边相互平行.正是由于这两个特征,使棱柱的各侧 面都是平行四边形,但是有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几 何体未必是棱柱.反例:如图所示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.棱锥 (1)棱锥的概念. 有一面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的 几何体叫做棱锥.棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的侧面;各侧面的 公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;多边形叫 做棱锥
27、的底面.顶点到底面的距离,叫做棱锥的高. (2)棱锥的表示法. 用表示顶点和底面各顶点的字母来表示或用表示顶点和底面的一条 对角线端点的字母来表示. (3)棱锥的分类. 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (4)正棱锥的概念. 如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这 些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHON
28、GDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是 棱锥吗?为什么? 提示:不一定,判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的 3 个本质特 征:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是三角形;(3)这些三角形有一个公 共顶点.这 3 个特征缺一不可,显然,这种说法不满足(3).反例如图所示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 4.棱台 (1)棱台的概念. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱
29、锥 的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面;其他各面称为棱台的侧面; 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做 棱台的顶点;两底面间的距离叫做棱台的高. (2)棱台的表示法. 用表示上、下底面各顶点的字母表示棱台. (3)棱台的分类. 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台 (4)正棱台的概念. 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形, 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 4如何判断一个多面体是棱台? 提示:
30、要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把 侧棱延长看是否相交于一点,这两条都满足的几何体才是棱台. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 5.特殊的四棱柱 思考 5正四棱柱与长方体有何内在联系? 提示:正四棱柱一定是长方体,但长方体不一定是正四棱柱,用集合语言 可描述为正四棱柱长方体. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 棱柱的结构特征 判断一个
31、几何体是棱柱的依据及关键点 (1)依据:判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义. (2)抓住三个关键点. 底面:两个多边形全等且所在平面互相平行. 侧面:都是平行四边形. 侧棱:互相平行且相等. 以上三点缺一不可. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 (1)下列几何体是棱柱的有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随
32、堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相平行;其余各面是平行 四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行,当一个几 何体同时满足这三方面的特征时,这个几何体才是棱柱. 上述三方面的特征都符合,是棱柱;没有两个平行平面,所以不 是;符合条件,是棱柱;虽然有两个平面平行,但其余各面不是平行四边 形,因此不是;只有三角形的面,没有符合的一个条件,所以不是;有两个 平行平面,但其余各面中有的不是平行四边形,所以不是.因此符合条件的 只有. 答案:D ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识
33、 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)给出下列几个结论: 长方体一定是正四棱柱. 正方体一定是正四棱柱. 长方体一定是直棱柱. 有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. 其中错误的是 .(填序号) 解析:侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱,而底面为正多边形的直棱柱为 正棱柱.对照各结论知错误. 答案: ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 棱锥、棱台的结
34、构特征 判断棱锥、棱台的常用方法有: (1)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某 些说法不正确. (2)直接法: 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 判断以下说法,正确的是( ) A.所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 B.三棱锥的每一个面都可作为底面 C.底面是正多边形,各侧面都是等腰三
35、角形的棱锥是正棱锥 D.正棱锥的所有棱长都相等 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:如图(1)的几何体所有的面为三角形,但不是三棱锥,故 A 错.如图 (2)中,棱 AD=1,其余棱长为 2, 满足题意,但不是正三棱锥,故 C 错.正棱锥中,所有侧棱长都相等,故 D 错.而三棱锥又称四面体,每个面都是三角形,故每个面都可作为底面,故 B 正确. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITAN
36、G LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 下列关于棱锥、棱台的说法: (1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台. (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形. (3)棱锥的侧面只能是三角形. (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥. (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是 . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:(1)错误,若平面不与棱锥底
37、面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底 面和截面之间的部分不是棱台; (2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形; (3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; (4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; (5)错误,如图所示四棱锥被平面 PBD 截成的两部分都是棱锥. 答案:(2)(3)(4) ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 有关正棱锥、正棱台中的计算问题 1.正棱锥、 正棱台中的直角三角形,正棱锥中的几个重要的直角三角形. 如图所
38、示,正棱锥中,点 O 为底面中心,M 是 CD 的中点,则SOM,SOC 均 是直角三角形,很明显,SMC,OMC 也是直角三角形. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 2.正棱台中的几个重要的直角梯形:如图所示,由斜高、 侧棱构成的直角 梯形 E1ECC1,由斜高、高构成的直角梯形 O1E1EO,由高、侧棱构成的直角 梯形 O1OCC1. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随
39、堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 (1)若正四棱锥的底面积为 4,侧棱长为 2,则其斜高 为 . 解析:正四棱锥的侧面为等腰三角形, 如图,作 PECD 于点 E, 则 PE 为斜高,E 为 CD 的中点. 由底面积为 4,知底面边长为 2, 在 RtPCE 中,PC=2,CE=1, 所以 PE= 22-12= 3. 答案: 3 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)一个正四棱台的上、下底面面积分别为
40、 4,16,一侧面面积为 12,求 该棱台的斜高、高、侧棱长. 解:如图,设 O',O 分别为上、下底面的中心,即 OO'为正四棱台的高,E,F 分别为 B'C',BC 的中点, 则 EFBC,EF 为斜高. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 由上底面面积为 4,上底面为正方形,可得 B'C'=2;同理,BC=4. 因为四边形 BCC'B'的面积为 12, 所以1 2(2+4)EF=12, 所以
41、EF=4. 过 B'作 B'HBC 交 BC 于点 H, 则 BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4. 在 RtB'BH 中, BB'= 2+ B'2= 12+ 42= 17. 同理,在直角梯形 O'OFE 中,计算出 O'O= 15.综上,该正四棱台的侧棱 长为 17,斜高为 4,高为 15. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 立体图形的展开问题 解决空间几何体表面上两
42、点间的最短线路问题,一般都是将空间几何 体表面按某一种方式展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了数学 中的转化思想. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 5】 如图所示,在四面体 P-ABC 中,PA=PB=PC=2.APB=BPC=APC=30 ,一只 蜜蜂从 A 点出发沿四面体的表面绕行一周,再回到 A 点,求蜜蜂经过的最短路程. 解:将四面体沿 PA 剪开,并展成如图所示的平面 图形,则 AA'就是所求的最短路程. 因为APA&#
43、39;=90 ,PA=PA'=2,所以最短路程 AA'为 2 2. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:对棱柱、棱锥、棱台的结构把握不清而致误 【典型例题 6】 如图所示,关于几何体的说法正确的序号有 . (1)这是一个六面体; (2)这是一个四棱台; (3)这是一个四棱柱; (4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到; (5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到. ZHONGDIAN NANDI
44、AN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错解:答案中含有(2). 错因分析:未对几何体侧棱延长后是否交于一点验证,而直接由侧面是 否为梯形做出误判. 正解:(1)正确,因为有六个面,属于六面体的范围; (2)错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确; (3)正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱; (4)(5)都正确,如图所示. 答案:(1)(3)(4)(5) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难
45、点 1 2 3 4 5 1.下图所示的几何体是棱台的是( ) 解析:选项 A 中的几何体的四条侧棱延长后不相交于一点;选项 B 和选项 C 中的几何体的截面不平行于底面;只有选项 D 中的几何体符合棱台的定义 与特征. 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.下列说法
46、中正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 解析:由棱柱的概念知选项 A 正确,D错误;棱柱中两个互相平行的面可能是 棱柱的侧面,故 B 错;斜棱柱的高不等于侧棱长,故 C 错. 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.各
47、棱长均为 a 的三棱锥的斜高为 . 解析:该几何体的斜高就是边长为 a 的正三角形的高,即为 3 2 a. 答案: 3 2 a SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,P为棱AA1的中点,Q 为棱BB1上任 意一点,则 PQ+QC 的最小值是 . 解析:将平面ABB1A1,BCC1
48、B1展开成平面图形(如图所示),则 PQ+QC 的最小 值即为线段 PC 的长度.由题意知 PC= 2+ A2= 2 4 + 42= 17 2 a. 答案: 17 2 a SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.如图所示,正四棱台AC'的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm, 求这个棱台的侧棱长和斜高. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 J
49、ICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:设棱台两底面的中心分别是 O'和 O,B'C',BC 的中点分别是 E',E. 连接 O'O,E'E,OB,O'B',O'E',OE, SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2
50、 3 4 5 则 OBB'O',OEE'O'都是直角梯形. 在正方形 ABCD 中,BC=16 cm, 则 OB=8 2 cm,OE=8 cm; 在正方形 A'B'C'D'中,B'C'=4 cm, 则 O'B'=2 2 cm,O'E'=2 cm. 在直角梯形 O'OBB'中, BB'= '2+ (OB-O'B')2 = 172+ (8 2-2 2)2 =19(cm). SU
51、ITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 在直角梯形 O'OEE'中, EE'= '2+ (OE-O'E')2 = 172+ (8-2)2=5 13(cm). 即这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm. -70- 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN
52、重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概 念,并能从运动的观点来认识这四种几 何体的形成过程. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面 的结构特征. 3.能运用圆柱、圆锥、圆台、球及简单 组合体的结构特征来描述现实生活中 简单物体的结构. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.圆柱、圆锥、圆台 圆柱 圆锥 圆台 定 义 以矩形的一边所在的 直线为旋转轴,其余各 边旋转而形成的曲面 所围成的几何体叫做 圆柱 以直角三角形的一条直 角边所在的直线为旋转 轴,其余各边旋转而形成 的曲面所围成的几何体 叫做圆锥 以直角梯形垂直于底边的 腰所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面
