1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 第第2讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 专 题 强 化 训 练 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1两角和与差两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin cos c
2、os sin ； (2)cos( )cos cos sin sin ； (3)tan( ) tan tan 1 tan tan . 利用三角恒等变换化简、求值利用三角恒等变换化简、求值 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 2 2tan 1tan2. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 5 返回导返回导 航航 下一页下一
3、页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)已知已知 cos 6 sin 4 3 5 ，则则 sin 7 6 的值是的值是( ) A4 5 B4 3 5 C4 5 D4 3 5 (2)若若 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，且且 4， ， ， ，3 2 ，则则 的值是的值是( ) A.7 4 B.9 4 C.5 4 或或7 4 D.5 4 或或9 4 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)因为因为 cos 6 sin 4 3 5 ， 所以所以 3 2 cos 3 2sin 4 3
4、5 ， 即即 3 1 2cos 3 2 sin 4 3 5 ， 即即 3sin 6 4 3 5 ， 所以所以 sin 6 4 5， ， 所以所以 sin 7 6 sin 6 4 5.故选 故选 C. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)因为因为 4， ， ，所以所以 2 2， ，2 ，又又 sin 2 5 5 ，故故 2 2， ， ， 4， ， 2 ，所以所以 cos 22 5 5 .又又 ，3 2 ，故故 2， ，5 4 ，于是于是 cos()3 10 10 ，所以所以 cos( )cos2()cos 2c
5、os()sin 2sin()2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 ，且且 5 4 ，2 ，故故 7 4 . 【答案】【答案】 (1)C (2)A 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 三角函数恒等变换三角函数恒等变换“四大策略四大策略” (1)常值代换：特别是常值代换：特别是“1”的代换的代换，1sin2cos2tan 45等；等； (2)项的分拆与角的配凑：如项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等；等； (3)降次与升次：正用二倍角公降次与升次：正用二倍角
6、公式升次式升次，逆用二倍角公式降次；，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦弦、切互化：一般是切化弦 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 杭州市高三模拟杭州市高三模拟)函数函数 f(x)3sin x 2cos x 2 4cos2x 2 (x R)的最大值等于的最大值等于( ) A5 B9 2 C5 2 D2 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选 B.因为因为 f(x)3si
7、n x 2cos x 2 4cos2x 2 3 2sin x 2cos x25 2 3 5sin x 4 5cos x 2 5 2sin(x )2， 其中其中 sin 4 5， ，cos 3 5， ， 所以函数所以函数 f(x)的最大值为的最大值为9 2. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2 (2019 浙江五校联考浙江五校联考)已知已知 3tan 2 tan2 2 1， sin 3sin(2)， 则则 tan()( ) A4 3 B4 3 C2 3 D3 解析：解析：选选 B.因为因为 sin 3sin(2
8、)， 所以所以 sin()3sin()， 所以所以 sin()cos cos()sin 3sin() cos 3cos()sin ，所以所以 2sin( )cos 4cos()sin ， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以所以 tan()sin（ （） cos（） 4sin 2cos 2tan ， 又因为又因为 3tan 2 tan2 2 1，所以所以 3tan 2 1tan2 2， ， 所以所以 tan 2tan 2 1tan2 2 2 3， ，所以所以 tan()2tan 4 3. 专题二专题二 三角函
9、数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 3(2019 宁波诺丁汉大学附中高三期中检测宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若若 sin(x)cos(x)1 2， ，则则 sin 2x _， 1tan x sin xcos x 4 _ 解析：解析：sin(x)cos(x)sin xcos x1 2， ， 即即 sin xcos x1 2， ， 两边平方得：两边平方得：sin2x2sin xcos xcos2x1 4， ， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 即即
10、1sin 2x1 4，则 ，则 sin 2x3 4， ， 由由 1tan x sin xcos x 4 1sin x cos x 2 2 sin x（cos xsin x） 2 sin xcos x 2 2 sin 2x 2 2 3 4 8 2 3 . 答案：答案：3 4 8 2 3 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 15 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1正弦定理及其变形正弦定理及其变形 在在ABC 中中， a sin A b sin B c sin C 2R(R 为为ABC 的外接圆半径的外接圆半径)变形：变形：a2Rsin
11、A， sin A a 2R， ，abcsin Asin Bsin C 等等 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 16 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2余弦定理及其变形余弦定理及其变形 在在ABC 中中，a2b2c22bccos A； 变形：变形：b2c2a22bccos A，cos Ab 2 c2a2 2bc . 3三角形面积公式三角形面积公式 S ABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 17 返回导返
12、回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2018 高考浙江卷高考浙江卷)在在ABC 中中，角角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c.若若 a 7， b2，A60，则则 sin B_，c_ (2)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c.已知已知 bc2acos B. 证明：证明：A2B； 若若 cos B2 3， ，求求 cos C 的值的值 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 18 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解】【解】 (1)因为因为 a 7， b2， A6
13、0， 所以由正弦定理得所以由正弦定理得 sin Bbsin A a 2 3 2 7 21 7 . 由余弦定理由余弦定理 a2b2c22bccos A 可得可得 c22c30，所以所以 c3.故填：故填： 21 7 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 19 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)证明：由正弦定理得证明：由正弦定理得 sin Bsin C 2sin Acos B， 故故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin B sin Acos Bcos Asin B，于是于是 sin Bsin(AB) 又又 A，B(0，)，故故
14、0AB， 所以所以 B(AB)或或 BAB， 因此因此 A(舍去舍去)或或 A2B， 所以所以 A2B. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 20 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 由由 cos B2 3得 得 sin B 5 3 ， cos 2B2cos2B11 9， ， 故故 cos A1 9， ，sin A4 5 9 ， cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B22 27. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 21 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 正、余弦定理的适用条件正、余弦定
15、理的适用条件 (1)“已知两角和一边已知两角和一边”或或“已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理应利用正弦定理 (2)“已知两边和这两边的夹角已知两边和这两边的夹角”或或“已知三角形的三边已知三角形的三边”应利用余弦定理应利用余弦定理 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 22 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1 (2019 高考浙江卷高考浙江卷)在在ABC 中中， ABC90， AB4， BC3， 点点 D 在线段在线段 AC 上 若上 若 BDC45，则则 BD_，cosABD_ 专题二专题二 三角函数、
16、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 23 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：在在 Rt ABC 中中，易得易得 AC5，sin CAB AC 4 5.在 在 BCD 中中，由正弦定理得由正弦定理得 BD BC sinBDC sin BCD 3 2 2 4 5 12 2 5 ， sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCD BDC)sin BCDcosBDCcosBCDsinBDC4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 .又又ABD DBC 2， ，所以所以 cosABDsinDBC7 2 10 . 答案：答案：12 2 5 7 2 10 专题二专题二 三
17、角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 24 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 义乌高三月考义乌高三月考)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 对应的三边长分别为对应的三边长分别为 a，b，c，且且 满足满足 c bcos Aa 2 b2a2. (1)求角求角 B 的大小；的大小； (2)若若 BD 为为 AC 边上的中线边上的中线，cos A1 7， ，BD 129 2 ， 求求ABC 的面积的面积 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 25 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)因为因为 c bcos
18、A a 2 b2a2， 即即 2bccos Aac2(b2a2)， 所以所以 b2c2a2ac2(b2a2)， 所以所以 a2c2b2ac，cos B1 2， ，B 3. (2)法一：在三角形法一：在三角形 ABD 中，中， 由余弦定理得由余弦定理得 129 2 2 c2 b 2 2 2c b 2cos A， ， 所以所以129 4 c2b 2 4 1 7bc， ， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 26 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 在三角形在三角形 ABC 中中，由已知得由已知得 sin A4 3 7 ， 所以所以 sin Csin(AB)s
19、in Acos Bcos Asin B5 3 14 ， 由正弦定理得由正弦定理得 c5 7b. 由由，解得解得 b 7， c5. 所以所以 S ABC1 2bcsin A 10 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 27 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 法二：延长法二：延长 BD 到到 E，DEBD， 连接连接 AE，在，在 ABE 中，中， BAE2 3 ， BE2AB2AE22 AB AE cos BAE， 因为因为 AEBC， 129c2a2a c， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 28 返回导返回导 航航
20、下一页下一页 上一页上一页 由已知得，由已知得，sin BAC4 3 7 ， 所以所以 sin Csin(AB)5 3 14 ， c a sin ACB sin BAC 5 8. 由由解得解得 c5，a8， S ABC 1 2c a sin ABC10 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 29 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)在在ABC 中中，角角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c.已知已知 2ccos B2ab. 求角求角 C 的大小；的大小； 若若 CA 1 2CB 2，求求ABC 面积的最大值面
21、积的最大值 (2)(2019 杭州市高考数学二模杭州市高考数学二模)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，若若 msin Asin Bsin C(mR) 当当 m3 时时，求求 cos A 的最小值；的最小值； 当当 A 3时 时，求求 m 的取值范围的取值范围 解三角形中的最值解三角形中的最值(范围范围)问题问题 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 30 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解】【解】 (1)因为因为 2ccos B2ab， 所以所以 2sin Ccos B2sin Asin B2sin(B
22、C)sin B， 化简得化简得 sin B2sin Bcos C， 因为因为 sin B0，所以所以 cos C1 2. 因为因为 0C，所以所以 C 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 31 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 取取 BC 的中点的中点 D，则则 CA 1 2CB |DA |2. 在在ADC 中中，AD2AC2CD22AC CDcos C， 即有即有 4b2 a 2 2 ab 2 2 a2b2 4 ab 2 ab 2 ， 所以所以 ab8，当且仅当当且仅当 a4，b2 时取等号时取等号 所以所以 S ABC1 2absin C 3
23、 4 ab2 3， 所以所以ABC 面积的最大值为面积的最大值为 2 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 32 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)因为在因为在ABC 中中 msin Asin Bsin C， 当当 m3 时时， 3sin Asin Bsin C， 由正弦定理可得由正弦定理可得 3abc， 再由余弦定理可得再由余弦定理可得 cos Ab 2 c2a2 2bc b2c21 9（ （bc）2 2bc 8 9（ （b2c2）2 9bc 2bc 8 9 2bc2 9bc 2bc 7 9， ， 当且仅当当且仅当 bc 时取等号时取等号，
24、 故故 cos A 的最小值的最小值为为7 9. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 33 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 当当 A 3时 时，可得可得 3 2 msin Bsin C， 故故 m2 3 3 sin B2 3 3 sin C 2 3 3 sin B2 3 3 sin 2 3 B 2 3 3 sin B2 3 3 3 2 cos B1 2sin B 2 3 3 sin Bcos B 3 3 sin B 3sin Bcos B2sin B 6 ， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 34 返回导返回导 航航 下
25、一页下一页 上一页上一页 因为因为 B 0，2 3 ， 所以所以 B 6 6， ，5 6 ， ， 所以所以 sin B 6 1 2， ，1 ， 所以所以 2sin B 6 (1，2， 所以所以 m 的取值范围为的取值范围为(1，2 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 35 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (1)求最值的一般思路求最值的一般思路 由余弦定理中含两边和的平方由余弦定理中含两边和的平方(如如 a2b22abcos Cc2)且且 a2b22ab， 因此在因此在解三角形解三角形 中中， 若涉及已知条件中含边长之间的关系， 且与面积有关的最值问题
26、， 一般利用， 若涉及已知条件中含边长之间的关系， 且与面积有关的最值问题， 一般利用 S1 2absin C 型面积公式及基本不等式求解型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性有时也用到三角函数的有界性 (2)求三角形中范围问题的常见类型求三角形中范围问题的常见类型 求三角形某边的取值范围求三角形某边的取值范围 求三角形一个内角的取值范围求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围或者一个内角的正弦、余弦的取值范围 求与已知有关的参数的范围或最值求与已知有关的参数的范围或最值 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 36 返回导返回导
27、航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1在在ABC 中中，AC AB |AC AB |3，则则ABC 面积的最大值为面积的最大值为( ) A. 21 B.3 21 4 C. 21 2 D3 21 解析：解析：选选 B.设角设角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c， 因为因为AC AB |AC AB |3， 所以所以 bccos Aa3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 37 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 又又 cos Ab 2 c2a2 2bc 1 9 2bc 13cos A 2 ， 所以所以 cos A2 5，
28、 ， 所以所以 0sin A 21 5 ， 所以所以ABC 的面积的面积 S1 2bcsin A 3 2tan A 3 2 21 2 3 21 4 ， 故故ABC 面积的最大值为面积的最大值为3 21 4 . 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 38 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 浙江浙江“七彩阳光七彩阳光”联盟联考联盟联考)已知已知 a，b，c 分别为分别为ABC 的内角的内角 A，B，C 所对所对 的边的边，其面积满足其面积满足 S ABC1 4a 2， ，则则c b的最大值为 的最大值为( ) A. 21 B. 2 C. 21
29、D. 22 解析：解析：选选 C.根据题意根据题意，有有 S ABC1 4a 2 1 2bcsin A， ， 应用余弦定理应用余弦定理， 可得可得b2c22bccos A2bcsin A， 令令tc b， ， 于是于是t212tcos A2tsin A 于于 是是 2tsin A2tcos At21， 所以所以 2 2sin A 4 t1 t ，从而从而 t1 t 2 2，解得解得 t 的最大值为的最大值为 21. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 39 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 3(2019 浙江绍兴一中模拟浙江绍兴一中模拟)在在ABC 中
30、中，a，b，c 分别为角分别为角 A，B，C 的对边的对边，且满足且满足 b2c2a2bc. (1)求角求角 A 的值；的值； (2)若若 a 3，记记ABC 的周长为的周长为 y，试求试求 y 的取值范围的取值范围 解：解：(1)因为因为 b2c2a2bc， 所以由余弦定理得所以由余弦定理得 cos Ab 2 c2a2 2bc 1 2， ， 因为因为 A(0，)， 所以所以 A 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 40 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)由由 a 3，A 3及正弦定理 及正弦定理， 得得 b sin B c sin C a
31、 sin A 3 3 2 2， 得得 b2sin B，c2sin 2 3 B ，其中其中 B 0，2 3 ， 所以周长所以周长 y 32sin B2sin 2 3 B 3sin B 3cos B 32 3sin B 6 3， 由于由于 B 0，2 3 ，得得 B 6 6， ，5 6 ， 从而周长从而周长 y(2 3，3 3 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 41 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 42 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
