1、 微专题 50 等比数列性质 一、基础知识 1、 定义： 数列 n a从第二项开始， 后项与前一项的比值为同一个常数0q q ， 则称 n a为 等比数列，这个常数q称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q 的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差 数列 2、等比数列通项公式： 1 1 n n aaq ，也可以为： n m nm aaq 3、等比中项：若, ,a b c成等比数列，则b称为, a c的等比中项 （1）若b为, a c的等比中项，则有 2 ab bac bc （2）若 n a为等比数列，则nN ， 1n a 均为 2 , nn a a 的等比中项 （3）若 n
2、 a为等比数列，则有 mnpq mnpqa aa a 4、等比数列前n项和公式：设数列 n a的前n项和为 n S 当1q 时，则 n a为常数列，所以 1n Sna 当1q 时，则 1 1 1 n n aq S q 可变形为： 1 11 1 111 n n n aq aa Sq qqq ，设 1 1 a k q ，可得： n n Sk qk 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列 n a中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列 , nn ab，则有 数列 n ka（k为常数）为等比数列 数列 n a（为常数）为等比数列，特别的，当1 时，即 1 n a 为
3、等比数列 数列 n n a b为等比数列 数列 n a为等比数列 6、相邻k项和的比值与公比q相关： 设 1212 , mmm knnn k SaaaTaaa ，则有： 2 12 2 12 k m n m mmm km k nnn knn aqqq Saaaa q Taaaaaqqq 特别的：若 121222 , kkkkkkk aaaS aaaSS 2122332 , kkkkk aaaSS ，则 232 , kkkkk S SS SS成等比数列 7、等比数列的判定： （假设 n a不是常数列） （1）定义法（递推公式） ： 1n n a q nN a （2）通项公式： n n ak q（指
4、数类函数） （3）前n项和公式： n n Skqk 注：若 n n Skqm mk，则 n a是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于nN ，均有 2 12nnn aa a 8、非常数等比数列 n a的前n项和 n S 与 1 n a 前n项和 n T的关系 1 1 1 n n aq S q ， 因 为 1 n a 是 首 项 为 1 1 a ， 公 比 为 1 q 的 等 比 数 列 ， 所 以 有 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 n n nn n n q aq qq T q a qq a qq 1 1 121 1 1 1 11 n n n n n n aq a qqS
5、 a q Tqq 例 1：已知等比数列 n a的公比为正数，且 2 2395 1,2aa aa，则 10 a_ 思路：因为 2 396 a aa，代入条件可得： 22 65 2aa，因为0q ，所以 65 2aa，2q 所以 8 102 16aa q 答案：16 例 2：已知 n a为等比数列，且 37 4,16aa ，则 5 a （ ） A. 64 B. 64 C. 8 D. 8 思路一：由 37 ,a a可求出公比： 4 7 3 4 a q a ，可得 2 2q ，所以 2 53 4 28aa q 思路二：可联想到等比中项性质，可得 2 537 64aa a，则 5 8a ，由等比数列特征
6、可得奇 数项的符号相同，所以 5 8a 答案：D 小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。 例 3：已知等比数列 n a的前n项和为 1 21 n n St ，则实数t的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 0.5 思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n项和为 n n Skqk的形式，所 以 1 2121 2 nn n t St ，即12 2 t t 答案：A 例 4：设等比数列 n a的前n项和记为 n S，若 105 :1:2SS ，则 155 :SS （ ） A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 思路：由
7、 1 1 1 n n aq S q 可得： 105 11 105 11 , 11 aqaq SS qq ，可发现只有分子中q的 指数幂不同，所以作商消去 1 a后即可解出q，进而可计算出 155 :SS的值 解： 105 11 105 11 , 11 aqaq SS qq 10 5 10 5 5 11 1 12 Sq q Sq ，解得： 5 1 2 q 所以 3 15 15 1 15 55 51 1 9 1 1 1132 8 31 1141 1 22 aq Sqq Sqqaq 答案：A 例 5：已知数列 n a为等比数列，若 46 10aa，则 71339 2aaaa a的值为（ ） A. 1
8、0 B. 20 C. 100 D. 200 思 路 ： 与 条 件 46 10aa联 系 ， 可 将 所 求 表 达 式 向 46 ,a a靠 拢 ， 从 而 2 22 71339717339446646 222aaaa aa aa aa aaa aaaa，即所求表达式的 值为100 答案：C 例 6：已知等比数列 n a中 3 1a ，则其前 5 项的和 5 S的取值范围是（ ） A. 1, B. 5 , 4 C. 5, D. ,05, 思 路 ： 条 件 中 仅 有 3 a， 所 以 考 虑 其 他 项 向 3 a靠 拢 ， 所 以 有 2 22 33 5333 22 1111 11 aa
9、 Saa qa qqqqq qqqqqq ，再求出其 值域即可 解： 22 33 5123455333 22 11 1 aa SaaaaaSaa qa qqq qqqq 2 11 1qq qq ，设 1 tq q ，所以 , 22,t 2 2 5 15 1 24 Sttt 5 1,S 答案：A 例 7：已知数列 n a是首项不为零的等比数列，且公比大于 0，那么“1q ”是“数列 n a 是递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：在等比数列中，数列的增减受到 1 a的符号，与q的影响。所以在考虑反例时可从这两 点入手。将
10、条件转为命题： “若1q ，则数列 n a是递增数列” ，如果 1 0a ，则 n a是递 减数列，所以命题不成立；再看“若数列 n a是递增数列，则1q ” ，同理，如果 1 0a ， 则要求0,1q，所以命题也不成立。综上， “1q ”是“数列 n a是递增数列”的既不充 分也不必要条件 答案：D 例 8： 在等比数列 n a中， 若 123423 159 , 88 aaaaa a ， 则 1234 1111 aaaa （ ） A. 5 3 B. 5 3 C. 3 5 D. 3 5 解 ： 条 件 与 结 论 分 别 是 n a的 前4项 和 与 倒 数 和 ， 所 以 考 虑 设 412
11、344 1234 1111 ,Saaaa T aaaa ，则 232 4 11123 4 9 8 S a qa qa qa a T 所以 4 4 5 9 3 8 S T 答案：B 例 9： 已知等比数列 n a中， 各项都是正数， 且 312 2aaa， 则 91 01 11 2 7891 0 aaaa aaaa （ ） A. 12 B. 12 C. 32 2 D. 32 2 思路：所求分式中的分子和分母为相邻 4 项和，则两式的比值与q相关，所以需要求出q。由 条件 312 2aaa，将等式中的项均用 1, a q即可求出q。从而解得表达式的值 解： 132 1 ,2 2 aaa成等差数列
12、312 1 22 2 aaa 将 2 3121 ,aa q aa q代入等式可得： 22 111 2210a qaa qqq 22 2 12 2 q ，而 n a为正项数列，所以12q 不符题意，舍去 12q 23 2 9 2 9101112 23 789107 1 1232 2 1 aqqq aaaa q aaaaaqqq 答案：C 例 10： 在正项等比数列 n a中， 567 1 ,3 2 aaa， 则满足 1212nn aaaaaa 的最大正整数n的值为_ 思路：从已知条件入手可求得 n a通项公式： 6 2n n a ，从而所满足的不等式可变形为关于n 的不等式： 2 11 5 2
13、212 nn n ，由2 的指数幂特点可得： 22212, nmnm m nNnm ，所以只需 2 1110 2 22 nn n ，从而解出n的最大值 解：设 n a的公比为q，则有 2 6755 33aaa qa q 2 11 3 22 qq解得：3q （舍）或2q 56 5 2 nn n aa q 1 12 21 1 21 2132 n n n a aaa 11 546 2 12 22 n n n n aaa 所以所解不等式为： 2 11 11 5 22 1 212212 32 n n nn nn 2 11102 2 2 1110 2213100 2 nn n nn nnn 可解得： 13
14、129 0 2 n nN n的最大值为12 答案：12 三、历年好题精选（等差等比数列综合） 1、已知正项等比数列 n a满足 5432 5aaaa，则 67 aa的最小值为（ ） A. 32 B. 10 10 2 C. 20 D. 28 2、已知等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，其前n项和为 n S，若直线 1 ya x与圆 2 2 24xy的两个交点关于直线0xyd对称，则 5 S （ ） A. 25 B. 25 C. 15 D. 15 3、 （2016，内江四模）若dcba,成等比数列，则下列三个数：dccbba, cdbcab, dccbba,，必成等比数列的个数为（ ） A
15、.0 B.1 C.2 D.3 4、设等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 15 0S， 16 0S，则 1 1 S a ， 2 2 S a ， 15 15 S a 中最 大的项为（ ） A. 6 6 S a B. 7 7 S a C. 9 9 S a D. 8 8 S a 5、（2016， 新余一中模拟） 已知等差数列 n a的公差0d ， 且 131 3 ,a a a成等比数列， 若 1 1a ， n S为数列 n a前n项和，则 216 3 n n S a 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 32 D. 9 2 6、 （2015，北京）设 n a是等差数列，下列结论中正
16、确的是（ ） A. 若 12 0aa，则 23 0aa B. 若 13 0aa，则 12 0aa C. 若 12 0aa，则 213 aa a D. 若 1 0a ，则 2123 0aaaa 7、 （2015，广东）在等差数列 n a中，若 34567 25aaaaa，则 28 aa_ 8、（2014， 北京） 若等差数列 n a满足 789710 0,0aaaaa， 则当n _时， n a 的前n项和最大 9、 （2015，福建）若, a b是函数 2 0,0f xxpxq pq的两不同零点，且, , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于（ ）
17、A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10、 已知 n a是等差数列， 公差0d ， 其前n项和为 n S， 若 348 ,a a a成等比数列， 则 （ ） A. 14 0,0a ddS B. 14 0,0a ddS C. 14 0,0a ddS D. 14 0,0a ddS 11、 （2014，广东）若等比数列 n a各项均为正数，且 5 1011912 2a aa ae，则 12、 （2014，安徽）数列 n a是等差数列，若 135 1,3,5aaa构成公比为q的等比数列， 则q _ 13、 （2014， 新课标全国卷 I） 已知数列 n a的前n项和为 1 ,1,0 nn S aa
18、， 1 1 nnn a aS ， 其中为常数 （1）证明： 2nn aa （2）是否存在，使得 n a为等差数列？并说明理由 14、 （2016，河南中原第一次联考）已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 37 37SS，则 311 19aa（ ） A. 47 B. 73 C. 37 D. 74 15、设等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1516 0,0SS，则 1215 1215 , SSS aaa 中最大的 项为（ ） A. 7 7 S a B. 6 6 S a C. 9 9 S a D. 8 8 S a 16、 （2014，湖北）已知等差数列 n a满足： 1 2a ，
19、且 125 ,a a a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式 （2）记数列 n a的前n项和为 n S，是否存在正整数n，使得60800? n Sn若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由 习题答案：习题答案： 1、答案：C 解 析 ： 设 等 比 数 列 的 公 比 为q， 由 已 知 可 得1q ， 则 有 2 543232 515aaaaqaa，所以 4 422 6732 222 511 51105 211020 111 q aaqaaqq qqq ， 等号成立当且仅当 2 2 1 12 1 qq q 2、答案：C 解析：由交点对称可知： 交点所在直线与0xyd垂直，所以 1 1
20、a ； 直线 0xyd为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：2,0，代入 可得：2d ，所以 1 132 n aandn， 5 15S 3、答案：B 解析：本题从“等比数列中不含 0 项”入手，不妨设dcba,的公比为q，可得中若公比 1q ，则无法构成等比数列，同理中若1q ，则无法构成等比数列；对于可知均能构 成公比为 2 q的等比数列 4、答案：D 解析： 1588 16899 01500 000 Saa Saaa ，可得在 n a中， 1 0,0ad且 8 S最大。所以可知 128128 0,0SSS aaa，从而 8 8 S a 最大 5、答案：A 解析：设公差为
21、d，因为 1313 ,a a a成等比数列 2 2 31 11111 212aa aada ad 2 1441 12ddd 解得：2d 1 121 n aandn 2 n Sn 22 216216216 321322 n n Snn ann ，令1tn 21699 2224 3 n n S tt att 6、答案：C 解 析 ： A 选 项 ： 反 例 为 公 差 小 于 0 ， 且 1212 0,0,aaaa的 数 列 ， 例 如 ： 123 3,1,5aaa ，所以 A 错误 B 选项：同 A 中的例子即可判定 B 错误 C 选项：由 12 0aa可知0d ，且0 n a ，则 2 213
22、213 aa aaa a，再将 13 ,a a统一 用 2, a d表示，即 222 132222 a aadadada，所以 C 正确 D 选项：由等差数列可得： 2 2123 0aaaad ，所以 D 错误 综上所述：C 选项正确 7、答案：10 解析： 345675 525aaaaaa，可得 5 5a ，所以 285 210aaa 8、答案：8 解析：由 789 0aaa可得： 88 300aa，由 710 0aa可得 89 0aa，从而 9 0a ，由此可知数列 n a前 8 项为正项，且数列单调递减，从第 9 项开始为负项，所以前 8 项和最大 9、答案：D 解析：由韦达定理可知,a
23、bp abq，且由,0p q 可知,0a b ，因为, , 2a b 可构成等 比数列，所以2必为等比中项， 2 24ab ，即 4 4 q b a ，所以 4 , 2a a 构成等差数列， 同样由 4 ,0a a 判断出则等差中项只能是a或 4 a ，所以有 4 22a a 或 8 2a a ，解得 4 1 a b 或 1 4 a b ，则5pab，所以9pq 10、解析： 348 ,a a a成等比数列 2 2 438111 327aa aadadad 2222 1111 69914aa ddaa dd 1 5 3 ad 2 1 5 0 3 a dd 41 43202 46 233 Sad
24、ddd 2 4 2 0 3 dSd 综上所述： 14 0,0a ddS 11、答案：50 解析：由 55 10119121011 222a aa aea ae可得 5 1011 a ae，从而 1011 lnln5aa，因为 n a为等比数列，所以ln n a为等差数列，从而有： 1011 1220 lnln lnlnln2050 2 aa aaa 12、答案：1 解析：方法一：设 n a的公差为d，由 135 1,3,5aaa成等比数列可得： 2 2 315331515 3156955aaaaaa aaa 2 111111 26294545adada adaad 222 111111 446
25、1294645aa ddadaa dad 2 48401ddd 31 11 323 1 11 aa q aa 方 法 二 ： 由 等 比 数 列 性 质 可 知 ： 35 13 35 13 aa q aa ， 由 合 比 性 质 可 得 ： 53 31 5322 1 3122 aad q aad 13、解析： （1） 1 1 nnn a aS 11 1 nnn aaS 111nnnnnnn a aa aSSa 0 n a 11nn aa ，即 2nn aa （2）由题设可得： 121 1a aS 1 1a 2 1a 由（1）可得： 31 1aa 若 n a为等差数列，则 213 22111aa
26、a 解得：4 下面验证4是否能让 n a为等差数列 由（1）可得： 21n a 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 211 4143 n aann 2n a是首项为 2 3a ，公差为 4 的等差数列 22 4141 n aann 221 2 nn aa 且 212 2 nn aa n a为公差是 2 的等差数列 4 14、答案：D 解析： 37111 33721102437SSadadad 3111111 191921020482 102474aaadadadad 15、答案：D 解析： 1581689 150,80SaSaa， 所以 88 899 00 00 aa aaa ， 所以可得在
27、 n S中， 8 S最大，在 n a中， 8 a是最小的正数。所以 8 8 S a 最大 16、解析： （1）设 n a的公差为d 125 ,a a a成等比数列 2 22 2151111 42aa aada adda d 0d或 1 24da 当0d 时，可得2 n a 当4d 时， 1 142 n aandn 2 n a或42 n an （2）当2 n a 时，260800 n Snn，故不存在符合条件的n 当42 n an时， 2 1 2 2 n n aa Snn 令 22 260800304000nnnn 解得40n 或10n （舍） 40n ，即n的最小值为41 综上所述：当2 n a 时，不存在符合条件的n；当42 n an时，n的最小值为41
