1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解;2.2.在平面直角坐标系中，能写出一个平面向量的坐标；在平面直角坐标系中，能写出一个平面向量的坐标；（重点）（重点）3.3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达基底来表达.4.4.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.(重点）重点）平面向量基本定理的内容是什么？平面向量基本定理的内容是什么？2211eea如果
2、如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量面内的任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ，使：，使：21ee、a21、a1e2e1ea1e2eOaa1e2e mn(2)(2)(1)(1)122 aee332anm画一画，算一算画一画，算一算分别用给定的一组基底表示同一向量分别用给定的一组基底表示同一向量aaa1e2e mn(2)(2)(1)(1)思考：思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量 进行分进行分解比较简单？解比较简单？a思考：思考：1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建
3、立了直角坐标系,点点A A可以用什么来表示可以用什么来表示?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢?OxyA A(a,ba,b)a ab ba 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解正交分解.由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可均可以分解为不共线的两个向量以分解为不共线的两个向量 和和 ，使，使a1 122aee.11e22e 如图，在光滑斜面上有一个如图，在光滑斜面上有一个木块受到重力木块受到重力 的作用，产生两的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面
4、个效果，一是木块受平行于斜面力力 的作用，沿斜面下滑；一是的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力木块产生垂直于斜面的压力 叫做把重力叫做把重力 分解分解.G1F2F G ，G12FF 思考：思考：如图在直角坐标系中，已知如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).D(5,7).设设 ，填空：，填空：OAi,OBj （1 1）|i|_,|j|_,|OC|_;（2 2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：,i j,OC OD OC_,OD_.3 i4 j 5 i7 j 1 11 15 5ABCDoxyij35
5、47平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图，分别是分别是与与x x轴、轴、y y轴方向轴方向相同相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则,i j,i j +aaijxyxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数、，可使 ABCDoxyija（3 3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？表示出来？可以的话，如何表示？可以的话，如何表示？CD,i j CD2 i3 j ABCDoxyij3547(,)ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的式叫做向量的坐标表示坐标表示.aaA
6、BCDoxyija 这样，平面内的任一向量这样，平面内的任一向量 都可都可由由x x、y y唯一唯一确定，我们把有序数对确定，我们把有序数对（x,yx,y）叫做向量叫做向量 的坐标，记作的坐标，记作aa显然显然，i,0,j0,00,0.11OxyAijaxyaxi+yjOAxi+yj 在直角坐标平面中，以原点在直角坐标平面中，以原点O O为起点作为起点作 ，则点，则点A A的位置由向量的位置由向量 唯一确定唯一确定.OAa 设设 ，则向量，则向量 的坐标（的坐标（x,yx,y）就是终点）就是终点A A的的坐标；反过来，终点坐标；反过来，终点A A的坐标的坐标(x,yx,y)也就是向量也就是向量
7、 的坐标的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示有序实数对唯一表示.OAxiyjOAaOA例例1.1.如如图，分别用基底图，分别用基底 ，表示向量表示向量 、，并求出，并求出它们的坐标它们的坐标.ijabcd AA1A2解：解：如图可知如图可知12aAAAA2i3j ；(2,3).a同理同理b2i3j(2,3);c2i3j(2,3);d2i3j(2,3).bacdij平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122(,),(,)ax ybxy,a
8、b ab a1122ab(x iy j)(x iy j),+=+rrrrrr由向量线性运算的结合律和分配律可得由向量线性运算的结合律和分配律可得11221212(x iy j)(x iy j)(xx)i(yy)j,两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）坐标的和（差）.1212(,)abxxyy，11(,).axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标.1212(,)abxxyy.即即同理可得同理可得例例2.2.如如图，已知图，已知 ，求，求 的坐标的坐标.1122A(x
9、,y),B(x,y)AB xyOB(x2,y2)A(x1,y1)解：解：ABOBOA 2211(,)(,)xyx y2121(,)xx yy，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标的坐标减去起点的坐标.1.aOAxiyjx,y（）OxyAyx2121(,)ABxx yy 2.2.若若A A ，B B ，则，则11(x,y)22(x,y)小结：小结：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例3.3.已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.(2,1),(3,4)ab,34ab abab(2,1)(3,4)(1,5);ab 解解：).19
10、,6()16,12()3,6()4,3(4)1,2(343 ba);3,5()4,3()1,2(ba例例4.4.如图，已知如图，已知ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐标分别是的坐标分别是（-2-2，1 1）、（）、（-1-1，3 3）、（）、（3 3，4 4），试求顶点），试求顶点D D的坐标的坐标.ABCDxyO解法：解法：设顶点设顶点D D的坐标为（的坐标为（x,yx,y）.AB(1,3)(2,1)(1,2)DC(3,4)(x,y)(3x,4y)ABDC ，由，(1,2)(3,4)xy得，1324xy ，解得解得所以顶点所以顶点D D的坐标为（的坐标为（2 2，
11、2 2）.x2,y2.-2 -11 2 34 3 21ABCDxyO解法解法2 2：由平行四边形法则可得由平行四边形法则可得(2(1),1 3)(3(1),43)(3,1)BDBABC ，而而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD ，所以顶点所以顶点D D的坐标为（的坐标为（2 2，2 2）.-2 -11 2 34 3 21(1)a=2i+3j(2)a=2i-3j(4)a=-5j(2)(2,3)a(3)(1,3)a (4)(0,5)a(5)a=-4i(3)a=-i-3j(5)(4,0)a (1)(2,3)a 答案：答案：1.1.写出下列向量的坐标写出下列向量的坐标,其中其中 是与是与x x
12、轴、轴、y y轴方向相同的轴方向相同的单位向量单位向量.i j、2.2.如图，用基底如图，用基底 分别表示向量分别表示向量 ，并求出它们的，并求出它们的坐标坐标.i j、a b c d 、23(2,3)aija22(2,2)bijb32(3,2)cijc42(4,2)dijd4.(2012 A(-1-5)a=2 3 AB=3a 青岛高一检测)已知，和向量（，），若,则点则点B B的坐标为的坐标为_._.（5 5，4 4）3.3.已知已知A(3,1),A(3,1),，若向量，若向量 ,O O为坐标原点，则为坐标原点，则x=_,y=_.x=_,y=_.(2,25)axxyaOA-4-45 55.5
13、.已知：点已知：点A(2A(2，3)3)、B(5B(5，4)4)、C(7C(7，10)10)若若 ，试求，试求为何值时为何值时,（1 1）点）点P P在一、三象限角平分线上在一、三象限角平分线上?（2 2）点）点P P在第三象限内在第三象限内?AP=AB+AC(R)(52,43)(7,10)(2,3)ABAC(,)(,)(2,3)(2,3)x yAPx yxy设点P的坐标为，则解：，(35,17)，APABAC(x2,y3)(35,1 7)，713532yx，7455yx，.P(5+5,4+7)，（1 1）若点）若点P P在一、三象限角平分线上在一、三象限角平分线上,则则 5+5=4+75+5=4+7，（2 2）若点）若点P P在第三象限内，在第三象限内，-1,-1,即只要即只要-1,-1,点点P P就在第三象限内就在第三象限内.12；074055则则，741，一、知识技能一、知识技能axiyj(x,y).2.2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算二、思想方法二、思想方法axy（，）.数形结合思想、分类讨论思想、方程思想数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.1212)a bxxyy（，；1212)a bxxyy（，；1.1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯
