1、1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形 第一章 三角形的证明 情景情景 引入引入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 训练训练 第第1 1课时课时 三角形的全等和等腰三角形的性质三角形的全等和等腰三角形的性质 情景引入情景引入 首页首页 下载图片 合作探究合作探究 全等三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质 定理：两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等定理：两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等 的两个三角形全等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等 首页首页 等腰三角形等腰三角形 你知道什么是等腰三角形吗你知道什么是等腰三角形吗? 有
2、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 A B C 腰腰 腰腰 底边底边 底底 角角 顶顶角角 相等的两条边相等的两条边AB和和AC叫做腰叫做腰; 另一条边另一条边BC叫做底边叫做底边; 两腰所夹的角两腰所夹的角BAC叫做顶角叫做顶角; 底边与腰的夹角底边与腰的夹角ABC和和 ACB叫做底角叫做底角. 如图，如图，ABC中中,AB=AC，那么，那么ABC就就 是等腰三角形。是等腰三角形。 只有等腰三角形才有底角和底边只有等腰三角形才有底角和底边. A B C D 如图如图:在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD=BD，请大家，请大家 数一数，这个图
3、形中一共有多少个等腰三角形？数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？ ABC（AB=AC），），ADB（AD=BD） 若将条件改为若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多，则有多 少个等腰三角形？少个等腰三角形？ ABC（AB=AC） ADB（AD=BD） BDC （BD=BC） 材料材料: 剪刀、一张矩形纸剪刀、一张矩形纸 方法方法：（：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分；）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开。）将剩余部分展开。 大胆猜测大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片纸片,它除了两
4、腰相等以外它除了两腰相等以外,你还能发你还能发 现什么现什么? A B C 如果一个图形沿如果一个图形沿一条直线直线折叠折叠,直线直线 两旁的部分能够互相重合两旁的部分能够互相重合,我们就说我们就说这个这个 图形图形关于这条直线对称关于这条直线对称,那么这个图形就那么这个图形就 叫叫轴对称图形轴对称图形,这条直线叫这条直线叫对称轴对称轴.互相重互相重 合的点是对应点合的点是对应点,叫做叫做对称点对称点. 设问：你发现了什么现象，设问：你发现了什么现象， 猜想等腰猜想等腰ABC有哪些性质？有哪些性质？ 角角: B = C BAD=CDA ADC= ADB=900 边边: BD = CD 两个底角
5、相等两个底角相等 AD为顶角为顶角BAC的平分线的平分线 AD为底边为底边BC上的高上的高 AD为底边为底边BC上的中线上的中线 结论结论: 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形； 等腰三角形性质等腰三角形性质 性质性质1 等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等（简写成“（简写成“等边对等边对 等角等角”）；”）； 性质性质2 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线、底底边上的中线、底 边上的高边上的高互相重合。（可简记为“互相重合。（可简记为“三线合一三线合一”）”） 证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线AD. 在在BAD和和CAD中，中， AB=
6、AC ( 已知已知 ), 1= 2 ( 辅助线作法辅助线作法 )， AD=AD (公共边公共边) , BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 已知：已知： ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A B C 1 2 证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等 作顶角的平分线作顶角的平分线 D 证明：证明： 作底边中线作底边中线AD. 在在BAD和和CAD中，中， AB=AC ( 已知已知 ), BD=CD ( 辅助线作法辅助线作法 )， AD=AD (公共边公共边) , BAD CAD (SSS). B= C
7、(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 已知：已知： ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等 作底边中线作底边中线 证明：证明： 作底边高线作底边高线AD. AB=AC ( 已知已知 ), AD=AD (公共边公共边) , Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 已知：已知： ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等 作底边的高线作底边的高线
8、 在在RtBAD和和RtCAD中，中， 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两等腰三角形的两 个底角相等个底角相等（等边（等边 对等角）对等角） 2等腰三角形顶角的等腰三角形顶角的 平分线，底边上的平分线，底边上的 中线和底边上的高中线和底边上的高 互相重合互相重合（等腰三（等腰三 角形三线合一）角形三线合一） 例例1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC， 且且B=80 ，则，则C= _度，度， A=_度？度？ AB=AC（已知）（已知） B=C（等边对等角）（等边对等角） B=80 （已知）（已知） C=80 又又A+B+C=180 （三角形内角和为（三角形内角和
9、为180 ） A=180 BC A=20 B C A 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两等腰三角形的两 个底角相等个底角相等（等边（等边 对等角）对等角） 2等腰三角形顶角等腰三角形顶角 的平分线，底边上的平分线，底边上 的中线和底边上的的中线和底边上的 高互相重合高互相重合（等腰（等腰 三角形三线合一）三角形三线合一） 操练操练1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC， 且且 A=50 ，则，则B=度，度， C=度？度？ C B A AB=AC（已知）（已知） B=C（等边对等角）（等边对等角） 又又A+B+C=180 （三角形内角和为（三角形内角和为180 ）
10、 A=50 （已知）（已知） B=65 C=65 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”“等边对等角”） 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边边. 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线底边上的中线、 底边上的高底边上的高互相重合互相重合. 三线合一”三线合一” 课堂小结课堂小结 首页首页 通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？ 性质性质1：等边对等角：等边对等角 性质性质2：“三线合一”：“三线合一” 常用来证明两常用来
11、证明两 角相等，求等角相等，求等 腰三角形各角腰三角形各角 的度数的度数 研究等腰三角研究等腰三角 形的有关问题形的有关问题 时“三线”是时“三线”是 常用的辅助常用的辅助 线线 等等 腰腰 三三 角角 形形 1.判断下列语句是否正确。判断下列语句是否正确。 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。 （ ） （2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角形
12、 . （ ） 随堂训练随堂训练 首页首页 2. 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已知，已知 BD=2cm,求求DC=_cm, BC=_cm？ C B D A 1 2 AB=AC ,AD BC（已知）（已知） BD=CD（等腰三角形的高与底边（等腰三角形的高与底边 上的中线重合）上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一）即（等腰三角形三线合一） BD=2cm（已知）（已知） CD=2cm 3.已知已知AD BC,试找出等腰三角形试找出等腰三角形 ABC （AB=AC）中，存在相等关系）中，存在相等关系 的量。的量。 C B D A 1 2 B=C 1=2 BDA=CDA
13、=90 BD=CD 4. 根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质,在在ABC中，中， AB=AC时，时， (1) ADBC，_ = _，_= _. (2) AD是中线，是中线，_ ，_ =_. (3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ ，_ =_. A B C D BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD 5. 如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的中点，的中点， 则点则点D到到AB，AC的距离相等。请说明理由。的距离相等。请说明理由。 A E F B D C 解：相等，理由如下：解：相等，理由如下： 连接连接AD
14、在在ABC中，中， AB=AC，D为为C中点中点 AD平分平分BAC DEAB，DFAC DE=DF 1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形 第一章 三角形的证明 情景情景 引入引入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 训练训练 第第2 2课时课时 等边三角形的性质等边三角形的性质 A B C 1、什么是等腰三角形？、什么是等腰三角形？ 2、等腰三角形有什么性质？、等腰三角形有什么性质？ 从从边边看：看： 从从角角看：看： 等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两腰相等 AB=AC 等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高线互相重合的中线和底边上的
15、高线互相重合 D 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等 B=C 从从对称性对称性看：看： 从重要从重要线段线段看：看： 情景引入情景引入 首页首页 三边都相等的三角形叫等边三角形。三边都相等的三角形叫等边三角形。 A B C AB=BC=CA 提出问题：等边三角形有哪些性质呢？提出问题：等边三角形有哪些性质呢？ 根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质： 等边三角形是等边三角形是特殊特殊的等腰三角形的等腰三角形 也叫也叫正三角形正三角形。 从从边边看看 从从角角看看 从从对称性对称性看看 从从重
16、要线段重要线段看看 合作探究合作探究 首页首页 等边三角形的性质等边三角形的性质 2.等边三角形的内等边三角形的内角角都相等，且等于都相等，且等于60 3.等边三角形等边三角形各边各边上中线，高和所对角的平分线都上中线，高和所对角的平分线都三三线线 合一合一。 4.等边三角形是等边三角形是轴对称轴对称图形，有图形，有三三条对称轴条对称轴。 1 .三条三条边边相等。相等。 2. 三个三个角角都相等的三角形是都相等的三角形是 等边三角形等边三角形. 3 . 有一个角是有一个角是60的的等腰三角形等腰三角形是等边三角形是等边三角形. 1.三三边边都相等的三角形是等边三角形都相等的三角形是等边三角形.
17、（定义）（定义） 一般三角一般三角 形形 等边三角形等边三角形 A B C 等边三角形等边三角形 A B C AB=BC=AC ABC是等边三角形是等边三角形 B=600 AB=BC ABC是等边三角形是等边三角形 A= B= C ABC是等边三角形是等边三角形 怎样判断三角形怎样判断三角形ABC是等边三角形？是等边三角形？ 例例1. 如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形， DE BC， 交交AB、AC于于D , E。 求证求证：ADE是等边三角形是等边三角形 A C B D E 若将若将DE BC改为改为AD=AE呢？呢？ 若若 将将DE BC改为改为ADE600呢？呢？ 等边三角形
18、与等腰三角形性质和判定的异同等边三角形与等腰三角形性质和判定的异同 定义定义 性质性质 判定判定 等等 腰腰 三三 角角 形形 等等 边边 三三 角角 形形 有两条边有两条边 相等相等 1、两边、两角相等、两边、两角相等 2、三线合一、三线合一 3、一条对称轴、一条对称轴 1、三边、三角相等、三边、三角相等 2、三线合一、三线合一 3、三条对称轴、三条对称轴 有三条边有三条边 相等相等 1、定义、定义 2、等角对等边、等角对等边 1、定义、定义 2、三个角都相等、三个角都相等 3、等腰三角形有一、等腰三角形有一 个角是个角是600 课堂小结课堂小结 首页首页 1等边三角形每各边上的中线，高和它
19、所对角的平分等边三角形每各边上的中线，高和它所对角的平分 线互相重合。线互相重合。 A F E D C B O 6 5 4 3 2 1 8 10 9 7 2等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 A A B BC C 对称轴是：对称轴是：顶角平分顶角平分 线或底边上的中线或线或底边上的中线或 底边上的高所在的底边上的高所在的直直 线线 1、ABC是等边三角形，以下三种分法分别得到的是等边三角形，以下三种分法分别得到的 ADE是等边三角形吗，为什么？是等边三角形吗，为什么？ 在边在边AB、AC上分别截取上分别截取ADAE. A C B A C B A C B
20、 D E D E D E 600 作作ADE600，D、E分别在边分别在边AB、AC上上. 过边过边AB上一点上一点D作作DEBC，交边，交边AC于于E点点. 随堂训练随堂训练 首页首页 2.如图，等边三角形中，如图，等边三角形中， 是上的高，是上的高， ， 图中有哪些与图中有哪些与BD相等的线段？相等的线段？ A A B BC C D E F 1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形 第一章 三角形的证明 复习复习 导入导入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 训练训练 第第3 3课时课时 等腰三角形的判定与反证法等腰三角形的判定与反证法 我们在上一节学习了我们在上一节学习了 等腰
21、三角形的性质。等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些现在你能回答我一些 问题吗？问题吗？ 复习导入复习导入 首页首页 复习：复习： 1、等腰三角形的、等腰三角形的性质定理性质定理是什么？是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：（可以简称：等边对等角等边对等角） 2、这个定理的逆命题是什么？、这个定理的逆命题是什么？ 如果一个三角形有如果一个三角形有两个角相等两个角相等， 那么这个三角形是那么这个三角形是等腰三角形等腰三角形。 3、猜想这个命题正确吗？、猜想这个命题正确吗？ 思考：思考： A B O 如图，位于海上如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到两处的
22、两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得处遇险船只的报警，当时测得A=B。如果。如果 这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能 大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么 它们所对的边有什么关系？它们所对的边有什么关系？ 合作探究合作探究 首页首页 已知：已知：ABC中，中，B=C 求证：求证：AB=AC 证明：证明： 作作BAC的平分线的平分线AD 在在 BAD和和 CAD中，中， B=C， 1=2， AD=AD BAD CAD（
23、AAS） AB=AC（全等三角形的对应边（全等三角形的对应边 相等）相等） 1 A B C D 2 思考思考:作底边上的高可以吗作底边上的高可以吗?作底边中线呢作底边中线呢? 等腰三角形的判定方法等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么这两个那么这两个 角所对的边也相等角所对的边也相等(简写成“等角对等边”简写成“等角对等边”) A B C 应用格式应用格式: 在在ABC中中 B=C AB=AC （等角对等边等角对等边） 例例1 :求证：如果三角形一个外角的平分线平行于求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。三角
24、形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 A B C D E 1 2 如图，如图，CAE是是ABC的外角，的外角，1=2， ADBC。 求证：求证：AB=AC 已知：已知： 从求证看：要证从求证看：要证AB=AC，需证，需证B=C， 分析：分析： 从已知看：因为从已知看：因为1=2，ADBC 可以找出可以找出B，C与的关系。与的关系。 证明：证明： ADBC， 1=B（两直线平行，（两直线平行， 同位角相等），同位角相等）， 2=C（两直线平行，（两直线平行， 内错角相等）。内错角相等）。 1=2， B=C， AB=AC（等角对等边）。（等角对等边）。 A B C D E 1 2 如图，标杆如图
25、，标杆AB高高5m ，为了将它固定，需要由它的中点，为了将它固定，需要由它的中点C向地向地 面上与点面上与点B距离相等的距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点两点拉两条绳子，使得点D，B，E 在一条直线上，量得在一条直线上，量得DE4m，绳子，绳子CD和和CE要多长？要多长？ 例例2： A C D B E C 解：选取比例尺为解：选取比例尺为1：100 （即以（即以1cm代表代表1m） 作线段作线段DE4cm， M N B 作线段作线段DE的垂直平分线的垂直平分线 MN，与，与DE交于点交于点B， 在在MN上截取上截取BC2.5cm， ， 连接连接CD，CE，CDE就是所求的等腰三角形就是所求
26、的等腰三角形.量出量出 CD的长的长,就可以计算出要求的绳长就可以计算出要求的绳长,自己试一试自己试一试! D E 1、等腰三角形的判定方法有下列几、等腰三角形的判定方法有下列几 种：种： 。 2、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是是 。 3、运用等腰三角形的判定定理时，应注、运用等腰三角形的判定定理时，应注 意意 。 定义，判定定理定义，判定定理 条件和结论刚好相反。条件和结论刚好相反。 在同一个三角形中在同一个三角形中 课堂小结课堂小结 首页首页 C B A D 1 2 1.已知：如图已知：如图A=360,DBC =360， C=720。计算。计
27、算1和和2，并说明图中，并说明图中 有哪些等腰三角形？有哪些等腰三角形？ 解：解： 1=720 2=360 等腰三角形有：等腰三角形有： ABC， ABD， BCD 随堂训练随堂训练 首页首页 A C D B 2.已知：如图，已知：如图，CD是等腰直角三角形是等腰直角三角形ABC斜边上的斜边上的 高，找出图中有哪些等腰直角三角形。高，找出图中有哪些等腰直角三角形。 等腰直角三角形有：等腰直角三角形有： ABC ，ACD ，BCD。 B A D C 3.已知：如图，已知：如图，AD BC，BD平分平分ABC。 求证：求证：AB=AD 证明：证明： AD BC ADB=DBC BD 平分平分 AB
28、C ABD=DBC ABD=ADB AB=AD(等角对等边等角对等边) 1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形 第一章 三角形的证明 复习复习 导入导入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 训练训练 第第4 4课时课时 等边三角形的判定及含等边三角形的判定及含3030角的直角角的直角 三角形的性质三角形的性质 图形图形 等腰三角形等腰三角形 性性 质质 三线合一三线合一 三个角都相等，三个角都相等， 轴对称图形（轴对称图形（3条）条） 等边三角形等边三角形 轴对称图形（轴对称图形（1条）条） 两个角相等两个角相等 三线合一三线合一 等于等于60 两条边相等两条边相等 三边都相等三边
29、都相等 复习导入复习导入 首页首页 有有两边相等两边相等的三角形是等的三角形是等 腰三角形腰三角形（定义定义） 有有两个角相等两个角相等的三角形的三角形 是等腰三角形是等腰三角形。 满足什么条件的三角满足什么条件的三角 形是等边三角形形是等边三角形 ？ 满足什么条件的三角满足什么条件的三角 形是等腰三角形形是等腰三角形? 三边都相等三边都相等的三角形是等的三角形是等 边三角形边三角形（定义定义） 三个角都相等三个角都相等的三角形是的三角形是 等边三角形等边三角形。 方法一：从边看方法一：从边看 方法二：从角看方法二：从角看 方法一：方法一： 方法二：方法二： 合作探究合作探究 首页首页 小明认
30、为还有第三种方法“小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是两条边相等且有一个角是 60的三角形也是等边三角形的三角形也是等边三角形”，”， 你同意吗？你同意吗？ A C B (1) 60 (2) A B C 60 分 类 讨 论 分 类 讨 论 边相等转化为角相等边相等转化为角相等 1、判断下列说法的正误：、判断下列说法的正误： 1）有一个外角是）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。 2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形。）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形。 3）三个外角都相等的三角形是等边三角形。）三个外角都相等的三角形是等边三角形。 4）
31、有两个角为）有两个角为60的三角形是等边三角形。的三角形是等边三角形。 6）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形。）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形。 5）有一个角为）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。 判定判定1.三边相等三边相等（定义定义） 判定判定2：三个角相等：三个角相等 AB=BC=AC ABC是等边三角形是等边三角形 A= B= C ABC是等边三角形是等边三角形 A=600 , AB=BC ABC是等边三角形是等边三角形 判定判定3：一个角是一个角是60的的等腰三角形等腰三角形 A C B 2.在在ABC中，中，
32、AB=AC，若要使，若要使ABC为等边三角为等边三角 形，还应补充一个条件，这个条件是形，还应补充一个条件，这个条件是 （只（只 填写一个条件）填写一个条件） A C B 3.在在ABC，A=60。AB=AC=10cm，则，则 BC= . 10cm 例例1.如图，如图，E、F是是ABC中中BC边上的点，且边上的点，且 BE=EF=CF=AE=AF,求求BAC. E B F C A 注：边相等可转换为角相等注：边相等可转换为角相等 例例2：如图：如图, ABC是等边三角形是等边三角形,DEBC ，请问，请问ADE 是等边三角形吗是等边三角形吗?试说明理由试说明理由. A C B D E BD=C
33、E 探究探究1 用直尺量一量含用直尺量一量含30角的直角三角板的最短直角的直角三角板的最短直 角边角边(即即300 角所对的直角边角所对的直角边)与斜边，记录下数据与斜边，记录下数据 ，你有什么发现？，你有什么发现？ 猜一猜猜一猜 在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜角所对的直角边与斜 边有怎样的大小关系？边有怎样的大小关系？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对，那么它所对 的直角边等于斜边的一半。的直角边等于斜边的一半。 探究探究2 当将两个同样大小的三角板（含当将两个同样大小的三角板（含30 和和60 的角）摆在一起，新得到
34、的三角形是特殊的三角的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角 形吗？请说明理由；形吗？请说明理由； 得出得出300 角所对的直角边角所对的直角边与斜边之间的数量关与斜边之间的数量关 系，说明理由系，说明理由. 我们可以用两个同样大小的三角尺我们可以用两个同样大小的三角尺 （含（含30 和和60 的角）拼接起来验证的角）拼接起来验证 A C D B 验证：验证： 判定判定1.三边相等三边相等（定义定义） 判定判定2：三个角相等：三个角相等 AB=BC=AC ABC是等边三角形是等边三角形 A= B= C ABC是等边三角形是等边三角形 A=600 , AB=BC ABC是等边三角形是等边三角形
35、 判定判定3：一个角是一个角是60的的等腰三角形等腰三角形 边 角 相 等 互 相 转 化 思 想 边 角 相 等 互 相 转 化 思 想 A C B 类 比 类 比 分 类 讨 论 分 类 讨 论 课堂小结课堂小结 首页首页 三边相等三边相等（定义定义）含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质 定理定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那，那 么它所对的直角边等于斜边的一般么它所对的直角边等于斜边的一般 1.已知已知ABC中，中，A=B=60，AB=3cm，则，则 ABC的周长为的周长为_cm. 9 2.三角形的三条边长三角形的三条边长a,b,c
36、满足满足 0|)( 2 cbba 该三角形是该三角形是( ) A.直角三角形直角三角形 B.等腰三角形等腰三角形 C.等边三角形等边三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形 C 随堂训练随堂训练 首页首页 3如图如图, ABC是等边三角形是等边三角形,DEF分别是三边上的分别是三边上的 点点,且且AD=BE=CF,请问请问DEF是等边三角形吗是等边三角形吗?说说 明理由明理由. A F E D C B 是是! 4.如图是由如图是由15根火柴组成的两个等边三角形根火柴组成的两个等边三角形,你能只移你能只移 动三根火柴将此图变成四个等边三角形吗？动三根火柴将此图变成四个等边三角形吗？ 5.已知已知
37、:等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为150,腰长为腰长为20. 求求:腰上的高腰上的高. B=ACB=150(已知已知), DAC=B+ACB= 150+150=300 CD= AC= 20=10 A C B D 150 150 解解:过过C作作CDBA交交BA的延长线于点的延长线于点D 1.2 1.2 直角三角形直角三角形 第一章 三角形的证明 复习复习 导入导入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 作业作业 第第1 1课时课时 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？ 直角三角形的性质直角
38、三角形的性质 1.在直角三角形中，两锐角互余在直角三角形中，两锐角互余. 2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么，那么 它所对的直角边等于斜边的一半它所对的直角边等于斜边的一半. 4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一 半，那么这条直角半，那么这条直角 边所对的角等于边所对的角等于30. 复习导入复习导入 首页首页 直角三角形的判定直角三角形的判定 1.有一个角等于有一个角等于90的三角形是直角三角形的三角形是直角
39、三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c， 那么那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 拉斯定理（拉斯定理（pythagoras theorem）. a c b 勾勾 弦弦 股股 合
40、作探究合作探究 首页首页 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那那 么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形. 已知已知:如图如图(1),在在ABC中中,AC2+BC2=AB2. 求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形. a c b A B C (1) 逆定理的证明逆定理的证明 证明证明:作作Rt ABC使使C =900,AC=AC,BC=BC(如图如图),则则 已知已知:如图如图(1),在在ABC 中中,AC2+BC2=AB2. 求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形. a c b A B C (1) a
41、c b B A C (2) AC2+BC2=AB2(勾股定理勾股定理). AC2+BC2=AB2(已知), AC=AC,BC=BC(作图), AB2=AB2(等式性质). AB=AB(等式性质). ABC ABC(SSS). A=A 900(全等三角形的对应边). ABC是直角三角形(直角三角形意义). 几何的几何的三种语言三种语言 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和如果三角形两边的平方和 等于第三边平方等于第三边平方, 那么这个那么这个 三角形是直角三角形三角形是直角三角形. 这是判定直角三角形的根据之一这是判定直角三角形的根据之一. 在在ABC中中 AC2+BC2=A
42、B2(已知已知), ABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的平如果三角形两边的平 方和等于第三边平方方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角那么这个三角形是直角 三角形三角形). a c b A B C (1) 命题与逆命题命题与逆命题 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形那么这个三角形 是直角三角形是直角三角形 观察上面两个命题观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系它们的条件与结论之间有怎样的关系? 与同伴交流与同伴交流. 再观察下面
43、命题再观察下面命题: 如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么它们相等那么它们相等, 如果两个角相等如果两个角相等,那么它们是对顶角那么它们是对顶角; 三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有上面每组中两个命题的条件和结论之间也有 类似的关系吗类似的关系吗?与同伴进行交流与同伴进行交流. 命题与逆命题命题与逆命题 在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分别是分别是 另一个命题的另一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题称为那么这两个命
44、题称为互互 逆命题逆命题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题. 你能写出命题“你能写出命题“如果两个有理数相等如果两个有理数相等,那么它们的那么它们的 平方相等平方相等”的逆命题吗”的逆命题吗? 它们都是真命题吗它们都是真命题吗? 想一想想一想:一个命题是真命题一个命题是真命题,它逆命它逆命 题是真命题还是假命题题是真命题还是假命题? 定理与逆定理定理与逆定理 一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. 我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如: 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理, 两直线平行
45、两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行. 你还能举出一些例子吗你还能举出一些例子吗? 想一想想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系? 如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它 是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理其中一个定理 称另一个定理的称另一个定理的逆定理逆定理. 勾股定理勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为 c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又勾股定理在西方文献中又 称为毕达哥拉斯定理（称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边
