1、函数的单调性高一年级数学北师大版必修一 函数是描述变化规律的重要数学模型，建立函数函数是描述变化规律的重要数学模型，建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题下面我对函数值变化的影响是经常受到关注的问题下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质们开始研究函数在这方面的一个主要性质函数的函数的单调性单调性3 3 函数的单调性函数的单调性画出下列函数的图像，观察函数的图像有何特征画出下列函数的图像，观察函数的图像有何特征?并并说明函数值随着自变量的增大如何变化？说明函数值随着自变量的增大如何变化？1.1
2、.从左至右图像上升还是下降从左至右图像上升还是下降?_?_2.2.在区间在区间_上，随着上，随着x x的增大，的增大，f(x)f(x)的值随着的值随着 _ _ f(x)=xf(x)=x(-,+)(-,+)增大增大上升上升1.1.在区间在区间_上，图像从左到右是下降的；上，图像从左到右是下降的；f(x)f(x)的值的值随着随着x x的增大而的增大而_2.2.在区间在区间_上，图像从左到右是上升的；上，图像从左到右是上升的；f(x)f(x)的的值随着值随着x x的增大而的增大而.f(x)=xf(x)=x2 2(-,0(-,0(0,+)(0,+)减小减小画出下列函数的图像，观察图像有何特征？并说明画
3、出下列函数的图像，观察图像有何特征？并说明函数值随着自变量增大如何变化？函数值随着自变量增大如何变化？增大增大-2 212345-23-3-4-5-1-112xy)(xfy 如图，你能说出它的函数值如图，你能说出它的函数值y y随自变量随自变量x x的变化情况吗？的变化情况吗？怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？O O 在函数在函数y=f(x)y=f(x)的定义域内的一个区间的定义域内的一个区间A A上，如果对于上，如果对于任意两数任意两数x x1 1，x x2 2AA，当，当x x1 1xx2 2时，都有时，都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2
4、)，那么，那么,就称函数就称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是增加的，有时也称函数上是增加的，有时也称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是上是递增递增的的 1 1增函数增函数2 2减函数减函数 在函数在函数y=f(x)y=f(x)的定义域内的一个区间的定义域内的一个区间A A上，如果对于上，如果对于任意两数任意两数x x1 1，x x2 2AA，当，当x x1 1xf(x)f(x2 2)，那么，那么,就称函数就称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是减少的，有时也称函数上是减少的，有时也称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是上是递减递减的
5、的 3.3.单调区间、单调性、单调函数单调区间、单调性、单调函数 如果如果y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是增加的或是减少的，那么称上是增加的或是减少的，那么称A A为为单调区间单调区间.如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减在定义域的某个子集上是增加的或是减少的少的,那么就称函数那么就称函数y=f(x)y=f(x)在这个子集上具有单调性在这个子集上具有单调性.如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的在整个定义域内是增加的或是减小的,我我们分别称这个函数为增函数或减函数们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函
6、数统称为单调函数.1.1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的是函数的局部性质局部性质；注意：注意：2.2.必须是对于区间必须是对于区间A A内的内的任意任意两个自变量两个自变量x x1 1，x x2 2；当；当x x1 1xx2 2时时,总有总有f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)，分别是增函数，分别是增函数或减函数或减函数.例例1 1 画出函数画出函数 的图像，判断它的单调性，的图像，判断它的单调性，并加以证明并加以证明.f(x)3x 2解：解：作出作出f(x)=3x+2f(x)=3x+2的图像的图像.由图看出，函数
7、由图看出，函数f(x)f(x)的图像的图像在在R R上是上升的，函数上是上升的，函数f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数.证明：证明：设设 是是R R上的任意两个实数上的任意两个实数,且且 则则:12x,x12xx12()()f xf x123(xx)12xx12xx012f(x)f(x)012f(x)f(x)f(x)3x2在在R R上是增函数上是增函数.12(32)(32)xx取值取值定序定序作差变形作差变形判断差值符号判断差值符号下结论下结论 例例2 2 说出函数说出函数 的单调区间，并指明在该的单调区间，并指明在该区间上的单调性区间上的单调性.1()f xx 解解:（-，0 0
8、）和（）和（0 0，+）都是函数的单调区间，在）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数这两个区间上函数 是减少的是减少的.1()f xx图像不是连续上升或连续下图像不是连续上升或连续下降时，相同单调区间不能合降时，相同单调区间不能合并并.北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)证明证明:设设x x1 1,x,x2 2是是(0(0，+)+)上任意两个实数，且上任意两个实数，且x x1 1x0,0,又由又由 x x1 1x0,0,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f
9、(x2 2).).0,变式练习变式练习1x北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)变式练习变式练习证明：函数证明：函数 在在(0(0，+)+)上是增上是增函数函数.f(x)=xf(x)=x2 2北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化化因此，在考虑它的单调区间时，端点有
10、定义时包括因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点端点，端点无定义时不包括端点端点无定义时不包括端点.北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)1.(20121.(2012东营高一检测）若函数东营高一检测）若函数f(x)f(x)在区间在区间a,a,bb及及(b,c(b,c上都单调递减上都单调递减,则则f(x)f(x)在区间在区间a,ca,c上上的单调性为的单调性为()()A.A.单调递减单调递减;B.B.单调递增单调递增;C.C.一定不单调一定不单调;D.D.不确定不确定.D D北师大版高中数学必修一 函数的单调性课
11、件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)2.2.函数函数y=x-2y=x-2的单调减区间是的单调减区间是_.（-，2 2）（1 1，+）3.3.函数函数 的单调增区间是的单调增区间是_.2361yxx北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)4.4.如图如图,已知已知y=f(x)y=f(x)的图像的图像(包括端点包括端点),),根据图像说根据图像说出函数的单调区间出函数的单调区间,以及在每一单调区间上以及在每一单调区间上,函数是增函数函数是增函数还是减函数还是减函数.12-2-1-11xyo
12、)(xfy -2,-1,0,1-2,-1,0,1上是减函数上是减函数;-1,0,1,2;-1,0,1,2上是增函数上是增函数.北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)讨论函数的单调性必须在定义域内进行讨论函数的单调性必须在定义域内进行,故讨论函数故讨论函数的单调性的单调性,必须先确定函数的定义域必须先确定函数的定义域.根据定义证明函数单调性的一般步骤是：根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设设 是给定区间内的任意两个值，且是给定区间内的任意两个值，且12x,x12xx.12f(x)f(x)作差作差 并将此差变形并将此差变形(要注意变形的程度要注意变形的程度).).判断判断 的正负（说理要充分）的正负（说理要充分）.12f(x)f(x)根据根据 的符号确定其增减性的符号确定其增减性.12f(x)f(x)3.3.函数单调性的判断方法图像法和定义法。函数单调性的判断方法图像法和定义法。北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)安徽省界首市第一中学2017年5月北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)北师大版高中数学必修一 函数的单调性课件(21张ppt)
