1、12.312.3 互逆命题互逆命题 七年级七年级( (下册下册) ) 作作 者：徐自钱（者：徐自钱（ 麒麟麒麟初级中学初级中学） 初中数学初中数学 12.312.3 互逆命题（互逆命题（1 1） 两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 条件条件 结论结论 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 条件条件 结论结论 【问题情境问题情境1 1】 12.312.3 互逆命题互逆命题 如果如果 ab0 ，那么，那么 a0，b0 如果如果 a 0，b 0 ，那么，那么 ab0 【问题情境问题情境1 1】 条件条件 结论结论 条件条件 结论结论 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个两个命题
2、中，如果第一个命题的条件是第二个 命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的条件，那么这两个命题叫做的条件，那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题. . 其中一个命题是另一个命题的其中一个命题是另一个命题的逆命题逆命题. . 1 1下列各组命题是否是互逆命题：下列各组命题是否是互逆命题： （1 1）“正方形的四个角都是直角”与“四个）“正方形的四个角都是直角”与“四个 角都是直角的四边形是正方形”；角都是直角的四边形是正方形”； （2 2）“等于同一个角的两个角相等”与“如）“等于同一个角的两个角相等”与“如 果两个角都等于同一个角，那么这两个角相
3、等”；果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； （3 3）“对顶角相等”与“如果两个角相等，）“对顶角相等”与“如果两个角相等， 那么这两个角是对顶角”；那么这两个角是对顶角”； （4 4）“同位角相等，两直线平行”与“同位）“同位角相等，两直线平行”与“同位 角不相等，两直线不平行”角不相等，两直线不平行” 【试一试试一试】 2 说出下列命题的逆命题，并与同学交流说出下列命题的逆命题，并与同学交流 （1）如果）如果a2b2，那么，那么ab； （2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一 个平角；个平角； （3）末位数字是）末位数字是5的数，
4、能被的数，能被5整除；整除； （4）锐角与钝角互为补角）锐角与钝角互为补角. 【试一试试一试】 逆命题逆命题：如果如果ab，那么那么a2b2 . 逆命题：如果两个角的平分线组成一个平角，逆命题：如果两个角的平分线组成一个平角， 那么这两个角是对顶角那么这两个角是对顶角. 逆命题：能被逆命题：能被5整除的数的末位数字是整除的数的末位数字是5 逆命题：互为补角的两个角一个是锐角一个是逆命题：互为补角的两个角一个是锐角一个是 钝角钝角 在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们 不仅是不仅是逆命题逆命题，而且都是，而且都是真命题真命题 如图：如图： （1 1
5、）如果）如果ADEF，那么可以得到什么结论？，那么可以得到什么结论？ （2 2）如果）如果EFCC180180，那么可以得到什，那么可以得到什 么结论呢？么结论呢？ （3 3）证明）证明ADEF，需要什么条件？证明，需要什么条件？证明EFBC 呢？呢？ （4 4）证明）证明ADEFBC，需要什么条件？，需要什么条件？ D C B F E A 命题的证明命题的证明 图形特殊的“位置关系”常常决定了图形具有图形特殊的“位置关系”常常决定了图形具有 特殊的“数量关系”；特殊的“数量关系”； 反过来，图形特殊的“数量关系”常常决定了反过来，图形特殊的“数量关系”常常决定了 图形具有特殊的“位置关系”图
6、形具有特殊的“位置关系” 例例1 1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行证明：平行于同一条直线的两条直线平行 已知：如图，直线已知：如图，直线a、b、c 中，中，ba， ca 求证：求证：bc a b c 证明：作直线证明：作直线a、b、c的截线的截线d ba ( (已知已知) )， 221 (1 (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) )， ca ( (已知已知) )， 331 (1 (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) )， 223 (3 (等量代换等量代换) )， bc ( (同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行) ) d 1 1 2 2 3 3 例例2
7、2 证明：直角三角形的两个锐角互余证明：直角三角形的两个锐角互余 已知：如图，在已知：如图，在ABC 中，中，C9090， 求证：求证：AB9090 证明：在证明：在ABC 中，中， ABC 180180 （三角形三个内角的和等于（三角形三个内角的和等于180180），）， A B 180180 C（等式性质（等式性质) )， C 9090( (已知已知) )， A B 180180 9090（等量代换（等量代换) )， A B 9090 A B C 说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的 逆命题逆命题这个命题是真命题吗？为什么？这个命题是真命题吗？为什么
8、？ 构造一个命题的逆命题，并证明这个命题构造一个命题的逆命题，并证明这个命题 是真命题，我们就能探索并获得一些新的数学是真命题，我们就能探索并获得一些新的数学 结论结论 这是一种逆向思考研究问题的方法这是一种逆向思考研究问题的方法 【练习练习】 1 1 (1)(1)如图，如图，ABCD，AB、DE 相交于点相交于点G， BD 在下列括号内填写推理的依据：在下列括号内填写推理的依据： ABCD ( (已知已知) )， EGA D ( ( ) ) 又又B D ( (已知已知) )， EGA B( ( ) )， DEBF ( ( ) ) (2)(2)上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？上述推理中，
9、应用了哪两个互逆的真命题？ C D A B E G F 2.2.（1 1）已知：如图，在直角三角形）已知：如图，在直角三角形ABC 中中ACB 9090，D 是是AB 上一点，且上一点，且ACD B 求证：求证：CDAB （2 2）你在（）你在（1 1）的证明过程中应用了哪两个）的证明过程中应用了哪两个 互逆的真命题？互逆的真命题？ A B C D 【小结小结】 通过今天的学习，你有哪些收获与体会，通过今天的学习，你有哪些收获与体会， 说出来和同学们分享说出来和同学们分享 【课后作业课后作业】 1 1课本课本P161P161习题习题12.312.3第第3 3、4 4题；题； 2 2思考题（选做）思考题（选做） （1 1）已知：如图，在）已知：如图，在ABC 中，点中，点E 在在AC上，上， 点点F 在在BC上，点上，点D、G 在在AB上，上，FGCD， EDC BFG 求证：求证：AED ACB （2 2）你在（）你在（1 1）的证明过程中应用了哪两个互逆的）的证明过程中应用了哪两个互逆的 真命题？真命题？ A B C D E G F
