1、 第四章第四章 几何图形初步几何图形初步 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 4.3.3余角和补角余角和补角 七年级数学七年级数学上上 新课标新课标 人人 观察观察下下图，图，1+1+2 2与与AOBAOB相等吗？你是怎样判相等吗？你是怎样判 断的？断的？ 1 2 A A O O B B 返回首页返回首页 观察观察下下图，图， + + 与与AOBAOB相等吗？你是怎样相等吗？你是怎样 判断的？判断的？ A A O O B B 比萨斜塔倾斜了比萨斜塔倾斜了3.97 3.97 ，它现在与地面成的夹，它现在与地面成的夹 角是角是86. 03 86. 03 ，这两个角之和是多少，这两个角之和是多少度度
2、？ 3.97 3.97 + 86. 03 + 86. 03 =90 =90 学习新知学习新知 如果两个角的和是如果两个角的和是9090度（度（直角），就说这两个直角），就说这两个 角互为余角，角互为余角，即即其中一个角是另一个角的余角其中一个角是另一个角的余角。 小结小结 若若 1+1+2=2=9090，则，则 1 1是是 2 2的余角，的余角， 2 2也是也是 1 1的余角的余角 互余用数学式子表示为：互余用数学式子表示为： 1+1+2=902=90，1 1与与2 2互余反之互余反之， 因为因为1 1与与2 2互余，互余，所以所以1+1+2=902=90。 互补用数学式子表示为：互补用数学式
3、子表示为： 如果两个角的和是如果两个角的和是180180，那么这两个角有什么，那么这两个角有什么 关系？关系？ 如果两个角的和是如果两个角的和是180180（平角），就说这两个（平角），就说这两个 角互为补角，角互为补角，即即其中一个角是另一个角的补角其中一个角是另一个角的补角。 若若 3+ 3+ 4 =4 =180180，则，则3 3是是4 4的补角，的补角， 4 4也是也是3 3的补角的补角 因为因为3+3+4=1804=180所以所以3 3与与4 4互补互补 反之，反之，因为因为3 3与与4 4互补，互补，所以所以3 3 + +4=1804=180。 （1 1）互余和互补都是两个角之间的
4、数量关系的）互余和互补都是两个角之间的数量关系的 概念，不能单独说哪一个角是余角或补角概念，不能单独说哪一个角是余角或补角. . （2 2）两个角互余或互补只是两个角的和为）两个角互余或互补只是两个角的和为9090度度 或或180180度度 ，跟位置无关，跟位置无关. . （3 3）当互补的两个角有公共顶点时，又称）当互补的两个角有公共顶点时，又称 这两个角互为邻补角（简称邻补角）这两个角互为邻补角（简称邻补角）. . 1 1与与 2 2，3 3都互为补角，都互为补角，2 2和和3 3的大小有的大小有 什么关系？如果什么关系？如果 1 1与与 2 2，3 3都互为余角，都互为余角， 2 2和和
5、3 3的大小又有什么关系？的大小又有什么关系？ 解：因为解：因为1+1+2=2= 180180， 1+1+ 3=1803=180， 所以所以3=3=2 2。 因为因为1+1+2=2= 9090， 1+1+ 3=903=90， 所以所以3=3=2 2。 补角性质：同角（或等角）的补角相等补角性质：同角（或等角）的补角相等 余角性质：同角（或等角）的余角相等余角性质：同角（或等角）的余角相等 如图，点如图，点A，O，B在同一在同一条条直线上，射直线上，射 线线OD和射线和射线OE分别平分分别平分 AOC和和 BOC，图中，图中 哪些角互为余角？哪些角互为余角？ 解：因为点解：因为点A，O，B在同一
6、在同一条条直直 线上，所以线上，所以 AOC和和 BOC 互为补角又因为射线互为补角又因为射线OD和射线和射线 OE分别平分分别平分 AOC和和 BOC， 所以所以COD+ COE 1 2 1 2 = = AOC+ BOC = = （ AOC+ BOC) =) = 9090。 1 2 所以所以COD和和COE互为余角，同理互为余角，同理，AOD和和 BOE, AOD和和COE, ,COD和和BOE也互为余也互为余 角角。 如下图，货轮如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东在它南偏东6060的方向上，同时，在它北偏东的方向上，同时，在它北偏东 4040，南偏西，
7、南偏西1010，西北（即北偏西，西北（即北偏西4545）方向）方向 上上又又分别发现了客轮分别发现了客轮B、货轮、货轮C和海岛和海岛D仿照表仿照表 示灯塔方位的方法，画出客轮示灯塔方位的方法，画出客轮B、货轮、货轮C和海岛和海岛D 方向的射线方向的射线 小宁从小宁从A A地向东北方向走地向东北方向走62m62m到到B B地，再从地，再从B B地向西地向西 走走56m56m到到C C地，这时她离地，这时她离A A地多少米？在地多少米？在A A地的北偏地的北偏 西多少度？画出图形（用西多少度？画出图形（用1cm1cm表示表示10m10m），然后用），然后用 刻度尺和量角器进行测量（精确到刻度尺和量
8、角器进行测量（精确到1m1m，1 1） 如图，如图，AOBAOB= =CODCOD= = 9090，OCOC是是AOBAOB的的 平分线，平分线，OEOE是是BODBOD的三等分线，的三等分线，则则COE=_COE=_. . A B O 解析：解析： 因为因为AOBAOB = = C CODOD = 90= 90，OCOC是是 AOBAOB的平分线的平分线， 所以所以BOCBOC= = AOBAOB= = 9090=45 =45 ， C BODBOD= =CODCOD- -BOCBOC=90=900 0- -4545=45=45， 因为因为OEOE是是BODBOD的三等分线的三等分线， E D
9、 1 2 1 2 所以所以DOE DOE = = BOD BOD = = 4545=15=15， 从而从而BOEBOE= =BODBOD- -DOEDOE=45=45- -1515=30=30。 所以所以COECOE= =BOCBOC+ +BOEBOE=45=45+30+30=75=75. . 1 3 1 3 7575 如图，如图，OC,OE分别是分别是AOD,BOD的三等的三等 分线，已知分线，已知AOB=150=150o o，则则COE=_.=_. A B O COE=COD+DOE = = AOD+ BOD C = = （AOD+BOD） E D 2 3 2 3 = = AOB 2 3
10、2 3 00 2 150100 . 3 100100o o 如图，已知如图，已知BOC=2=2AOC，OD平分平分 AOB，且且COD=18=18o o，求，求AOC=_.=_. 解析：解析：设设AOCAOC的度数为的度数为x x，则，则 BOC=2xBOC=2x，AOB=3x AOB=3x ， C A O B D AOD= AOD= AOB= AOB= ， 1 2 3 2 x 解得解得x=36x=36o o ，即，即AOCAOC的度数为的度数为3636o o 3 2 xx=18=18o o 3636o o 1.1.余角和补角的意义余角和补角的意义 余角（补角）是相对于两个角而言余角（补角）是
11、相对于两个角而言的的，当，当满满 足足和为和为9090度度(180(180度度) )时，就称这两个角互为余角时，就称这两个角互为余角 （补角），其中一个角叫做另一个角的余角（补角），其中一个角叫做另一个角的余角 （补角）补角），不能单不能单独独说某个角是余角（补角）说某个角是余角（补角）。 余角（补角）与这两个角的位置没有关系余角（补角）与这两个角的位置没有关系。 2.2.互余、互补的性质互余、互补的性质 同角（或等角）的余角（或补角）相等，这是证同角（或等角）的余角（或补角）相等，这是证 明角相等的一个非常重要的依据明角相等的一个非常重要的依据 3.3.方位角方位角 方位角是表示方向的角，通
12、常以正北、正南方向方位角是表示方向的角，通常以正北、正南方向 为角的始边，以对象所处的射线为角的终边，故为角的始边，以对象所处的射线为角的终边，故 描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东 或偏西或偏西。 1.1.如图，将如图，将RtRtABCABC的直角顶点的直角顶点C C放在直线放在直线EFEF上若上若 ACEACE=49=49，则，则BCFBCF的度数是（的度数是（ ） A4141 B4949 C5151 D5959 检测反馈检测反馈 A 【解析】【解析】因为因为ACBACB=90=90，ACEACE=49=49， 所以所以BCFBCF=90=
13、90ACEACE=41=41。 2.2.如图所示，已知如图所示，已知BOCBOC=55=55， AOCAOC=BODBOD=90=90，则，则AODAOD为（为（ ） C C A3535 B4545 C5555 D6565 C A O B D 【解析】【解析】因为因为BOCBOC=55=55，BODBOD=90=90， 所以所以DOCDOC=90=905555=35=35，因为因为 AOCAOC=90=90，所以，所以AODAOD=90=903535=55=55。 3.一个角比它的余角大一个角比它的余角大10，这个角为（，这个角为（ ） A40 B45 C50 D55 C C 【解析】设这个角
14、【解析】设这个角的度数的度数是是x，则它的余角，则它的余角的度数是的度数是 （90x）， 根据题意根据题意，得得x（90x）=10， 解得解得x=50。 4.如图，某装置有一枚指针，原来指向南偏西如图，某装置有一枚指针，原来指向南偏西 50，把这枚指针按顺时针方向旋转，把这枚指针按顺时针方向旋转90 （1）现指针所指的方向为）现指针所指的方向为 ； 解析：解析：由角的和差，得由角的和差，得 BOC=180AOEAOB =1805090=40， 现在指针指的方向现在指针指的方向为为北偏西北偏西40。 北偏西北偏西40 （2）图中互余的角有）图中互余的角有_对对，它们分别，它们分别 是是_ _. AOE与与DOA 4 AOE与与BOC AOD与与BOD BOD与与BOC
