1、数数 列列 第一章第一章 1 数数 列列 第一章第一章 第第1课时课时 数列的概念数列的概念 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问 题他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子， 小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形 数毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时， 小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石 子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他 把这些数叫做正方形数，等等，每一系列有形状的数按顺序排 列出来就称为数列 本章主要学习有关数列的基本知识，建立等差数列和等比 数列两种模型，探索它们的基本数量关系，感受它们
2、的应 用相信你会有更大的收获！ 知识线索：本章的主要内容有数列的概念、等差数列及其 性质、等差数列前n项和，等比数列及其性质、等比数列前n项 和，数列在日常经济生活中的应用 数列是高中数学的重点内容，又是初等数学和高等数学的 衔接点，以其独特的结构特征和解题方法，表现出数学的无穷 魅力该部分命题比较灵活、有很好的区分度因此，在每年 的高考中，都有一个客观题和解答题，数列的客观题主要考查 等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内 容，对基本的计算技能要求比较高；解答题大多是考查数列知 识与各章知识交汇的综合问题，这类问题以其 新颖性、综合性而“闪亮登场”，这正好体现了高考能力 立意
3、及在知识网络交汇处设计命题的精神，一些建立在函数、 不等式、平面解析几何等背景上的数列问题也越来越有生命力， 数列与函数、方程、不等式、平面解析几何的综合性试题是近 几年高考的热点题型，解题时要注意沟通数列与其他知识点的 内在联系，灵活运用常用的思想方法来求解 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 世界十大高峰的海拔都是多少米呢？请看下表： 世界十大高峰的海拔高度(米)按排位依次是8 848.13，8 611,8 586,8 516,8 463,8 201,8
4、172,8156，8 125，8 091.像这样按 照一定次序排列的一列数就是本节所学的数列. 排位 名称或图片 海拔高度(米) 所属国家或地区 1 珠穆朗玛峰 8 848.13 中国尼泊尔 2 乔戈里峰 8 611 中国克什米尔 3 干城章嘉峰 8 586 尼泊尔锡金 4 洛子峰 8 516 中国尼泊尔 5 马卡鲁峰 8 463 中国尼泊尔 6 卓奥友峰 8 201 中国尼泊尔 7 道拉吉里峰 8 172 尼泊尔 8 马纳斯卢峰 8 156 尼泊尔 9 南伽峰 8 125 克什米尔 10 安那布尔纳峰 8 091 尼泊尔 1.数列的概念 (1)数列：一般地，按照一定_排列的一列数叫做数 列
5、(2)项：数列中的每个数都叫做这个数列的_ (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2， a3，an，简记为：_.数列的第1项a1也称 _，an是数列的第n项，叫数列的_ 次序 项 an 首项 通项 2数列的分类 项数有限的数列叫作_，项数无限的数列叫作 _ 3数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式 子表示成anf(n)，那么式子叫作数列an的_ 4数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：_、_、 _. 解析法 有穷数列 无穷数列 通项公式 列表法 图像法 答案 C 解析 1,2,3,5,7是一个集合， 所以 A 错； 由于数列的 项是有顺序的，所以
6、B 错；数列n1 n 的第 k 项是k1 k 1 1 k，C 正确；而 D 中数列应表示为2(n1) 1.下列说法正确的是( ) A数列 1,2,3,5,7 可表示为1,2,3,5,7 B数列 1,0，1，2 与数列2，1,0,1 是相同的数列 C数列n1 n 的第 k 项是 11 k D数列 0,2,4,6,8，可记为2n 2数列1,3,6,10，x,21，中，x的值是( ) A12 B13 C15 D16 答案 C 解析 312,633,1064， x105 21x6 ，x15. 答案 C 3数列 0，1 3， 1 2， 3 5， 2 3，的通项公式为( ) Aann2 n Bann1 n
7、 Cann1 n1 Dann2 n2 解析 解法一：验证当 n1 时，a10，排除 A、D； 当 n2 时，a21 3，排除 B，故选 C 解法二： 数列 0， 1 3， 1 2， 3 5， 2 3， 即数列 0 2， 1 3， 2 4， 3 5， 4 6， ， 该数列的一个通项公式为 ann1 n1，故选 C 答案 10 4 已知数列an的通项公式 an 1 nn2(nN )， 则 1 120 是这个数列的第_项 解析 令 an 1 120，即 1 nn2 1 120， 解得 n10 或 n12(舍去) 课堂典例讲练课堂典例讲练 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷 数列？哪些是无穷数列
8、？ (1)0,1,2,3,4；(2)0,1,2,3,4； (3)0,1,2,3,4；(4)1，1,1，1,1，1； (5)6,6,6,6,6. 分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理 解认识到位，结合有关概念及定义来解决 解析 (1)是集合，不是数列；(2)、(3)、(4)、(5)是数 列 其中(3)、(4)是无穷数列，(2)、(5)是有穷数列 数列的概念 方法总结 理解数列概念需注意以下几点： (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一 列数”也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按 照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置 (2)项an与序号n是不同的，数
9、列的项是这个数列中的一个 确定的数，而序号是指项在数列中的位置 (3)an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3， an，；而an表示数列an中的第n项 (4)数列的简记符号an，不可能理解为集合an，数列的 概念与集合概念的区别如下表： 数列 集合 示例 区 别 数列中的项是有序 的，两组相同的数 字，按照不同的顺序 排列得到不同的数列 集合中的元素是 无序的 如数列1,3,4与1,4,3是 不同的数列，而集合 1,3,4与1,4,3是相 等集合 数列中的项可以重复 出现 集合中的元素满 足互异性，集合 中的元素不能重 复出现 如数列1,1,1，每项 都是1，而集合则不 可以 下列说
10、法中，正确的是( ) A数列 0,2,4,6 可表示为0,2,4,6 B数列 1,3,5,7,9，的通项公式可记为 an2n1 C数列 2 009,2 010,2 011,2 012 与数列 2 012,2 011,2 010,2 009 是相同的数列 D数列an的通项公式 ann2 012 n2 011，则它的第 k 项是 1 1 k2 011 答案 D 解析 数列与数的集合的概念不同，A不正确；当nN 时，没有第一项1，所以B不正确；C中两个数列中数的排列顺 序不同，故是不同的数列，所以选D 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33，； 分析 通过观察，找出所给出的项与项
11、数n关系的规律， 再写通项公式 数列的通项公式 (2)2 3， 4 15， 6 35， 8 63，； (3)1 2，2， 9 2，8， 25 2 ，； (4)2 21 1 ，3 22 3 ，4 23 5 ，5 24 7 ，. 解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32，其通项公式为 2n，故原数列的一个通项公式 为 an2n1. (2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2n，分母各 项分解因式：1 3,3 5,5 7,7 9，为相邻奇数的乘积，即(2n 1) (2n1)，故原数列的一个通项公式为 an 2n 2n12n1. (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，
12、有的是整数， 可将各项都统一成分数， 再观察， 在数列1 2， 4 2， 9 2， 16 2 ， 25 2 ， 中，分母为 2，分子为 n2，故 ann 2 2 . (4)数列中每一项由三部分组成， 分母是从 1 开始的奇数 列，其通项公式为 2n1；分子的前一部分是从 2 开始的自 然数的平方，其通项公式为(n1)2，分子的后一部分是减去 一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公 式为 ann1 2n 2n1 n 2n1 2n1 . 方法总结 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数 集 N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即 anf(n) (2)同函数的关系式一样， 并不
13、是所有的数列都有通项公 式如 2精确到 1,0.1,0.01，的不足近似值排成数列就不 能用通项公式表示 (3)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的 如摆 动数列： 1,1， 1,1， 1,1， ， 通项公式可以写成 an( 1)n，也可以写成 an 1，n为奇数 1，n为偶数 . (4)熟练地掌握一些基本数列的通项公式， 比如下面这些 数列均属于基本数列，它们的通项公式必须记住 数列1,1，1,1，的通项公式是 an(1)n； 数列 1,2,3,4，的通项公式是 ann； 数列 1,3,5,7，的通项公式是 an2n1； 数列 2,4,6,8，的通项公式是 an2n； 数列 1,2,4,
14、8，的通项公式是 an2n 1； 数列 1,4,9,16，的通项公式是 ann2； 数列1 1， 1 2， 1 3， 1 4， 的通项公式是 an 1 n(其中 nN) 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各 数： (1)1,3,7,15,31，； (2)1，8 5， 15 7 ，24 9 ，； (3)0.9,0.99,0.999， ，. 解析 (1)注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32，其通项公式为 2n，故原数列通项公式为 an 2n1，nN； (2)通过观察，数列中的数正负交替出现，且先负后正， 则选择(1)n.又第 1 项可改写成分式3 3， 则每一
15、项的分母依 次为 3,5,7,9，可写成(2n1)的形式分子为 313,8 24,1535,2446，可写成 n(n2)的形式所以此 数列的一个通项公式为 an(1)nnn2 2n1 . (3)0.910.1,0.9910.01,0.99910.001， 已知数列an的通项公式为an3n228n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是， 请说明理由 数列通项公式的应用 解析 (1)an3n228n， a434228464， a636228660. (2)令 3n228n49，即 3n228n490， n7 或 n7 3(舍) 49 是该数列的
16、第 7 项，即 a749. 令 3n228n68，即 3n228n680， n2 或 n34 3 . 2N*，34 3 N*， 68 不是该数列的项 方法总结 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 将所给项代入通项公式中； 解关于n的方程； 若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整 数，则不是该数列的项 已知数列的通项公式为 an 4 n23n，试问 1 10和 16 27是不是 它的项？如果是，是第几项？ 解析 令 4 n23n 1 10，则 n 23n400， 解得 n5 或 n8，注意到 nN*， 故将 n8 舍去， 所以 1 10是该数列的第 5 项 令 4 n23n 16 2
17、7，则 4n 212n270， 解得 n3 2或 n 9 2， 注意到 nN*， 所以16 27不是此数列中的项. 分析 将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明 显关系 解析 (方法一)(累乘法)把(n1)anaan1an0分解 因式， 数列的递推公式 设an是首项为 1 的正项数列， 且(n1)a2 n1 na2 nan1an0(nN *)，求通项公式 a n. 得(n1)an1nan(an1an)0. an0，anan10， (n1)an1nan0， a n1 an n n1， a2 a1 a3 a2 a4 a3 a5 a4 an an1 1 2 2 3 3 4 4 5 n1 n ，a
18、n a1 1 n. 又a11， an1 na1 1 n. (方法二)(迭代法)同方法一，得a n1 an n n1， an1 n n1an， ann1 n an1 n1 n n2 n1 an 2 n1 n n2 n1 n3 n2 an 3 n1 n n2 n1 n3 n2 1 2a1 1 na1. 又a11，an1 n. (方法三)(构造特殊数列法)同方法一，得a n1 an n n1， (n1)an1nan， 数列nan是常数列， nan1 a11， an1 n. 方法总结 (1)由递推关系式anf(n)an1求数列的通项公 式时一般采用累乘法，也可以用迭代等方法除累乘、迭代法 外，还应注意
19、原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列 (2)递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 二项(或第二项以后的某一项)开始的任一项an与它的前一项an 1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要 方法 (3)通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知 道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an； 而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多 个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an. 已知数列an中，a11，a22，以后各项由 anan1 a
20、n2(n3)给出 (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn an an1构造一个新的数列bn，写出数列 bn的前 4 项 解析 (1)anan1an2(n3)，且 a11，a22， a3a2a1213，a4a3a2325，a5a4 a3538. 所以数列an的前 5 项依次为 1,2,3,5,8. (2)bn an an1，a11，a22，a33，a45，a58， b1a1 a2 1 2，b2 a2 a3 2 3， b3a3 a4 3 5，b4 a4 a5 5 8. 即数列bn的前 4 项依次为1 2， 2 3， 3 5， 5 8. 一张长方形桌子可坐6人，按如图所示方式把桌 子拼
21、在一起，n张桌子可坐_人 创新探究性题目 分析 图形中的数列问题，可根据图形的变化特点和数 字的变化特点来寻找规律通过观察上图我们会发现：每张桌 子的上、下共有2人，n张桌子有2n人，每个图中左右始终共有 4人，所以n张桌子可坐2n4人 答案 2n4 方法总结 信息题的特点是定义了中学教学内容中没有 的知识点，它可以是新的定义、新的定理、新的规则或新的情 景，解决这类问题要先读懂新概念，理解新情景，获取有用信 息，然后由新信息和数学知识分析、解决新情景问题，这类问 题能很好地考查学生的创新意识和创新能力，在今后高考中会 成为考查的重点 下列关于星星的图案构成一个数列，观察各图案中星星的 个数关
22、系，推测第7个图案中星星的个数是( ) A43 B21 C28 D32 答案 C 解析 从图中可观察星星的构成规律，n1时，有1个； n2时，有123个；n3时，有1236个；n4时， 有123410个；， 当n7时，星星的个数为123456728. 易混易错点睛易混易错点睛 已知数列an的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 an的通项公式的有( ) A4个 B3个 C2个 D1个 误解 D an1 21(1) n1；a nsin 2 n 2，(nN)；an 1 2 1(1)n 1(n1)(n2)；a n 1cos n 2 ；an 1 n为偶数 0 n为奇数 . 辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错 误 正解 B 将n1,2,3,4分别代入验证可知均正 确均可以作为数列的通项公式，而不是数列的通项公 式，答案选B 本节思维导图本节思维导图 数列 概念 分类 有穷数列 无穷数列 表示方法 通项公式法解析法 递推公式法
