1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 3 双曲线双曲线 3.2 双曲线的简单性质双曲线的简单性质 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方 程，讨论它的几何性质 2能运用双曲线的性质解决一些简单的问 题. 双曲线的几何性质 1.设 P(x，y)是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上一点，则 xa 或 xa，yR. 2在双曲线方程中，以x、y 代替 x、y 方程不变，因 此双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的_图形；也是以原 点 为 对 称 中 心 的
2、 _ 图 形 ， 这 个 对 称 中 心 叫 作 _ 轴对称 中心对称 双曲线的中心 3双曲线与它的对称轴的两个交点叫作双曲线的_， 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的顶点是_，这两个顶点之间 的线段叫作双曲线的_，它的长等于_.同时在另一条对 称轴上作点 B1(0， b)， B2(0， b)， 线段 B1B2叫作双曲线的_， 它的长等于_，a、b 分别是双曲线的_和 _ 4 双曲线的半焦距 c 与实半轴长 a 的比值 e 叫作双曲线的 _，其取值范围是_e 越大，双曲线的张口 越_ 顶点 (a,0) 实轴 2a 虚轴 2b 实半轴长 虚半轴长 离心率 (1，) 大 5 根据双曲
3、线的对称性可知， 双曲线向外 无限延伸时，总是局限在由直线 yb ax 和直线 yb ax 相交而分平面所成的，含双曲线焦点 的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但 永远不会与这两条直线相交如图所示直线 yb ax 和直线 y b ax 叫作_ 双曲线的渐近线 6双曲线的几何性质列表总结如下： 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0， b0) 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 范围 |x|a，yR |y|a，xR 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点坐标 (a,
4、0)，(a,0) (0，a)，(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 性 质 离心率 ec a，e(1，) x轴、y轴 x轴、y轴 (0,0) (0,0) 1.双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形， 边长满足 c2a2b2，称为双曲线的特征三角形 (2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线，垂足为 D，则|OF|c， |FD|b，|OD|a，OFD 亦是直角三角形，满足|OF|2|FD|2 |OD|2，也称为双曲线的特征三角形 (3)实轴长与虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其离心 率为 2，其两条渐近线互相垂直 2(1)双曲线的渐近线中“渐近”的
5、含义是：当双曲线的 各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的； 也可以这样理解： 当双曲线上的动点 M 沿着双曲线无限远离双 曲线的中心时， 点 M 到这条直线的距离逐渐变小并且无限趋近 于 0. (2)双曲线的渐近线的求法 由双曲线的标准方程求它的渐近线方程，最简单实用的方 法是：把标准方程中的“1”用“0”替换，得出两条直线方程，如 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的渐近线方程为 x2 a2 y2 b20， 即 y b a x；双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y2 a2 x2 b20，即 y a bx. (3)如果一个双曲线的实轴
6、长和虚轴长相等， 那么这样的双曲线称为等轴双曲线它的性 质有：标准方程为x2y2(0)；渐近 线方程为yx；渐近线互相垂直这三 条性质与等轴双曲线的定义之间是相互等价 的 3双曲线的形状有的开口很大，有的开口很 小，双曲线的开口大小与渐近线有关，即渐 近线的斜率的绝对值越大，双曲线形状就越 陡，斜率的绝对值越小，形状就越扁 由b a c2a2 a c a 21(ca0，c a1)可以看出，当 c a从接近 于 1 的值逐渐增大时，b a也就从接近于零的值逐渐增大，这时， 双曲线就从扁平的形状逐渐变陡因此，用b a和 c a的值都可以表 示双曲线的扁平程度 与椭圆的情形一样， 我们不用b a而是
7、用 c a表 示双曲线的扁平程度. 1.双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.1 2 B 2 2 C1 D 2 答案 B 解析 双曲线 x2y21 的一个顶点为 A(1,0)，一条渐近 线为 yx，则 A(1,0)到 yx 距离为 d 1 2 2 2 . 2若双曲线x 2 a2 y2 b21 的离心率为 3，则其渐近线方程为 ( ) Ay 2x By 2x Cy 1 2x Dy 2 2 x 答案 B 解析 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性 质 因为离心率 e 3，所以 c 3a，即 b 2a，由双曲线 的焦点在 x 轴上，所以渐近线方程为 y 2x.选 B. 3(
8、2014 吉林市二模)已知双曲线标准方程为y 2 2 x21，则 双曲线离心率为( ) A. 2 B3 C. 6 2 D 3 答案 C 解析 由方程知 a 2，b1，c 3， ec a 6 2 . 4(2014 郑州市质检)已知双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的两 个焦点分别为 F1，F2，以线段 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线 的一个交点为(4,3)，则双曲线的方程为( ) A.y 2 9 x2 161 By 2 4 x 2 3 1 C. y2 16 x2 9 1 Dy 2 3 x 2 4 1 答案 A 解析 双曲线的焦点在 y 轴上，c 42325，渐近线 方程 y 3 4
9、x b4，a3，选 A. 5(2014 韶关市曲江一中月考)已知双曲线x 2 a2 y2 5 1 的右 焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.3 14 14 B3 2 4 C.3 2 D4 3 答案 C 解析 由条件知，a259，a24， ec a 3 2. 6 (2014 甘肃省三诊)抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y 2 3 1 的渐近线的距离是( ) A.1 2 B 3 2 C1 D 3 答案 B 解析 y24x 的焦点坐标(1,0)， 双曲线的渐近线方程 y 3x， d 3 2 . 7双曲线的一条渐近线方程是3x4y0， 一个焦点是(4,0)，则双曲线的标准方程为
10、_ 答案 x2 256 25 y2 144 25 1 解析 双曲线的一条渐近线方程为 3x4y0， 设双曲线的方程为 x2 16 y2 9 ， 由题意知 0，16916，16 25. 所求的双曲线方程为 x2 256 25 y2 144 25 1. 课堂典例探究课堂典例探究 求双曲线9y24x236的顶点坐 标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐 近线方程，并作出草图 分析 将双曲线方程化成标准方程，求出 a、b、c的值，然后依据各几何量的定义作 答 已知双曲线的方程，研究其几何 性质 解析 将 9y24x236 变形为x 2 9 y 2 4 1， 即x 2 32 y2 221，a3，b2，
11、c 13， 因此顶点为 A1(3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1( 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4， 离心率 ec a 13 3 ， 渐近线方程 y b ax 2 3x. 作草图如图： 方法规律总结 由双曲线的标准方程求双曲线的有关 性质的步骤是： 先将双曲线方程化为标准形式x 2 a2 y2 b21(或 y2 a2 x2 b21)， 再根据它确定 a、 b 的值(注意它们的分母分别为 a 2、 b2， 而不是 a、b)，进而求出 c，再对照双曲线的几何性质得到相应 的答案画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、 2b 为两邻边的矩形对
12、角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变 化趋势，就可画出双曲线的草图 (2014 吉林延边州质检)已知双曲线x 2 9 y 2 m1的一个焦点在 圆 x2y24x50 上，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay 3 4x By 4 3x Cy 2 2 3 x Dy 3 2 4 x 答案答案 B 解析 方程表示双曲线，m0，a29，b2m， c2a2b29m，c 9m， 双曲线的一个焦点在圆上， 9m是方程 x24x5 0 的根， 9m5，m16， 双曲线的渐近线方程为 y 4 3x，故选 B. 利用几何性质求双曲线的标准方 程 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴 长之比为，且经过点 P
13、( 6，2)，求双曲线方程； (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上， 离心率为5 3， 且经过点 M( 3,2 3)，求双曲线方程 解析 (1)设双曲线方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)由题意 知a b 2 3. 双曲线过点 P( 6，2)， 4 a2 6 b21， 解方程组 a b 2 3， 4 a2 6 b21， 得 a24 3， b23. 故所求双曲线方程为3 4y 21 3x 21. (2)设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b21(a0，b0) e5 3，e 2c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2 25 9 ，b a 4 3. 解方程组 b a 4 3， 9 a2
14、 12 b2 1， 得 a29 4， b24. 所求的双曲线方程为x 2 9 4 y 2 4 1. 方法规律总结 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准 方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可 能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设 双曲线方程为 mx2ny21(mn0)，从而直接求得 2 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程 渐近线为 y n mx 的双曲线方程可设为： x2 m2 y2 n2(0)；如果两条渐近 线的方程为 Ax By0，那么双曲线的方程可设为 A2x2B2y2 m(m0)；与双曲线x 2 a2 y2 b21 共渐近线的双曲线方程可设为 x2
15、a2 y 2 b2(0) (1)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y 3 2x，则双曲线的方 程为_ (2)与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2) 的双曲线方程为_ 答案 (1)x 2 9 4y 2 81 1 或x 2 9 y 2 4 1 (2)y 2 2 x 2 4 1 解析 (1)设以 y 3 2x 为渐近线的双曲线方程为 x2 4 y 2 9 (0) 由双曲线的顶点间距为 6，可得 2a6，所以， 当 0 时，a24，2a2 46，即 9 4， 当 0，b0)的左、右 焦点分别为 F1， F2， 若 P 为其上一点， 且|PF1|2|PF2|， F1PF2 3，则双曲线
16、的离心率为( ) A. 2 B2 C. 3 D3 答案 (1)B (2)C 解析 (1)由题意可知，此双曲线为等轴双曲线等轴双 曲线的实轴长与虚轴长相等，则 ab，c a2b2 2a，于 是 ec a 2. (2)设|PF2|x， 则|PF1|2x， 在PF1F2中， 由余弦定理 cos 3 |PF 1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2 |PF1|PF2| ， 1 2 4x2x24c2 2 2x x ，c 3 2 x， 由定义知|PF1|PF2|2a，ax 2， ec a 3 2 x x 2 3，故选 C. 实际应用问题 如图所示，某建筑工 地要挖一个横截面为半圆的柱形 土坑，挖出的
17、土只能沿AP、BP 运到P处，其中|AP|100m， |BP|150m，APB60.怎 样运土才能最省工？ 分析 半圆形横截面上的点可分三类：(1)沿 AP 到 P 较 近；(2)沿 BP 到 P 较近；(3)沿 AP 或 BP 到 P 等距离，其中第 三类的点位于前两类点的分界线上 解析 设 M 为分界线上任一点，则|MA|AP|MB| |BP|，即|MA|MB|PB|PA|50m，所以 M 在以 A、B 为焦 点的双曲线的右支上易得|AB|217 500m2，建立如图所示的 平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为 x2 625 y2 3 750 1(x25) 故运土时，在双曲线左侧的土沿
18、 AP 运到 P 处，右侧的土 沿 BP 运到 P 处最省工 方法规律总结 解决实际问题的主要方法是抽象出数学 模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中要注意实 际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义 如图，B地在A地的正东方 向4km处，C地在B地的北 偏东30方向距离B 2km处， 河流沿岸PQ(曲线)上任意 一点到A的距离比到B的距 离远2km.现要在曲线PQ上 选一处M建一座码头，向B、 C两地转运货物经测算， 从M到B、C两地修建公路 的费用都是a万元/km. 求：(1)河流沿岸 PQ 所在的曲线方程； (2)修建这两条公路的总费用的最小值 答案 (1)x2y 2 3 1
19、(x1) (2)(2 72)a 万元 解析 (1)如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为 坐标原点，建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，B(2，0) 根据题意，曲线 PQ 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离 远 2km. 由此知河流沿岸PQ所在的曲线为双曲线靠近B点的分支 所以 c2，a1，b 3， 所以河流沿岸 PQ 所在的曲线的方程为 x2y 2 3 1(x1) (2)因为从 M 到 B、 C 两地修建公路的费用都是 a 万元/km， 所以，要使修建这两条公路的总费用最小，只需|MC|MB|最 小，由双曲线定义，有|MB|MA|2，也即|MC|MA|2 最 小 由图
20、易知， 当 C、 M、 A 三点共线时， |MC|MA|2 最小 即 (|MB|MC|)min|AC|2. 因为 C 地在 B 地的北偏东 30 方向距离 B 2km 处， 所以 C(3， 3)又因为 A(2,0)， 所以|AC|2 7km. 所以(|MB|MC|)min(2 72)km. 故修建这两条公路的总费用的最小值为(2 72)a 万元. 直线与双曲线的位置关系 已知曲线 C：x2y21 和直线 l：ykx1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，且AOB 的 面积为 2，求实数 k 的值 解题思路
21、探究 第一步，审题 审结论明确解题方向，求k的值或k的取值范 围，应利用条件建立k的方程或不等式求解； 审条件发掘解题信息，直线与曲线交于不同 两点，可利用判别式法求解，AOB的面积 为，可利用割补法和根与系数的关系求解 第二步，建立联系，探寻解题途径 第(1)问，可将l与C的方程联立，消元利用 0求k的取值范围；第(2)问可由A、B向x轴 作垂线，将三角形面积转化为梯形与三角形 面积的差或和用直线AB与y轴的交点，分割 为两个三角形面积的和，利用根与系数的关 系求解 第三步，规范解答 解析 (1)由 x2y21， ykx1， 消去 y 整理，得(1k2)x22kx20. 由 题 意 知 1k
22、20， 4k281k20， 解 得 2 0，b0) 由已知得 a 3，c2， 于是 a2b222，b21， 故双曲线 C 的方程为x 2 3 y21. (2)将 ykx 2代入x 2 3 y21，得 (13k2)x26 2kx90. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得 13k20 6 2k23613k2361k20 ， 即 k21 3且 k 22，得 xAxByAyB2. xAxByAyBxAxB(kxA 2)(kxB 2) (k21)xAxB 2k(xAxB)2 (k21) 9 13k2 2k 6 2k 13k22 3k27 3k21. 于是3k 27 3k212，即 3k29 3k21
23、 0， 解得1 30)的渐近线方程为 y 3 4x，求双曲线的离心率 错解 由题意得b a 3 4， b2 a2 9 16，9a 216(c2a2)， 25a216c2，e225 16，e 5 4. 辨析 错解的原因是审题不认真， 误认为双曲线y 2 a2 x2 b2 1(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax 而导致错误 正解 由题意得a b 3 4， a2 b2 9 16， 16a29(c2a2)，25a29c2， e225 9 ，e5 3. 分析下题解答过程是否有错误，若有，请纠正 已知C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，P 与 C1、C2都相外切，求P 的圆心 P 的轨迹
24、方程 解：由题设条件知，|PC2|PC1|2，P 点在以 C1、C2 为焦点的双曲线上，c3，又 2a2，a1，b2c2a2 8，所求轨迹方程为 x2y 2 8 1. 答案 错误略，圆心 P 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 解析 P 与C1，C2都相外切， |PC1|R1，|PC2|R3， |PC2|PC1|2，|PC1|PC2|2， 故所求轨迹应为双曲线的一支， 即靠近点 C1的一支(左支) 正确解答：P 与C1与C2都相外切， |PC2|PC1|2|C1C2|， P 点在以 C1、C2为焦点的双曲线靠近 C1的那一支上， 2a2，a1，又 c3，b2c2a28， 所求轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1)
