1、变化率与导数变化率与导数 第三章第三章 3 计算导数计算导数 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.会用导数的定义求简单函数的导数，了解 幂函数的求导方法和规律 2掌握基本初等函数的导数公式，并能利用 这些公式求基本初等函数的导数. 用导数定义求函数的导数和导函 数概念 1.用导数的定义求函数 yf(x)在点 x0处的导数的步骤： (1)求函数的增量 y_； (2)求平均变化率y x_； (3)取极限， 得导数 f(x0)_(或当 x0 时， y x f(x0) 上述求导方法可简记为：一差、二比、三极
2、限 f(x0x)f(x0) fx0xfx0 x lim x0 y x 2如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处的导数都存 在，则称f(x)在区间(a，b)内_这样，对开区 间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f(x)， 于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，把这个 函数称为函数yf(x)的_，记为f(x)(或y) 3f(x)与f(x0)的区别与联系 (1)f(x)表示函数yf(x)的导函数，而f(x0)表示函数y f(x)在点x_处的导数 (2)f(x)是一个函数，是yf(x)的导数值关于x的函数， 而f(x0)是一个具体的数值，f(x0)是导函数f(x)在x _时的函
3、数值. 可导 导函数 x0 x0 基本初等函数的导数公式 导数公式表 (1)若 f(x)1 x，则 f (x)_. 若 f(x)x(R)，则 f (x)x 1. (2)若 f(x)sinx，则 f (x)_. 若 f(x)cosx，则 f (x)_. (3)若 f(x)ax，则 f (x)_ 若 f(x)ex，则 f (x)_. 1 x2 cosx sinx axlna(a0) ex (4)若 f(x)logax，则 f (x)_ 若 f(x)lnx，则 f (x)_. (5)若 f(x)tanx，则 f (x)_. 若 f(x)cotx，则 f (x)_. 1 xlna(a0，且 a1) 1
4、 x 1 cos2x 1 sin2x 1.关于函数的导数 (1)并不是所有函数都有它的导数 例如函数 y x2，x1 x1，x1 ，在 x1 处就不可导，因为该 函数在 x1 处的左右导数不相等，所以在该点不可导这就是 说，当且仅当函数在某点处的左、右导数存在且相等时，函数 在该点才可导 (2)导函数f(x)与原来的函数f(x)有相同的定义 域(a，b)，且导函数f(x)在x0处的函数值即为 函数f(x)在点x0处的导数f(x0) (3)区间一般指开区间，因为在其端点处不一 定有改变量(右端点无增量，左端点无减 量) 2基本初等函数的导数要记牢 (1)ysinx与ycosx和ytanx与yco
5、tx的 导数公式易混，一要注意函数的变化；二要 注意符号的变化 (2)公式(ax)axlna 与(logax) 1 xlna容易记错， 既要从横 的方面区别两者，又要从纵的方面区分“lnx 与 logax”和“ax 与 ex”的导数 3 已知函数的导数后我们可以直接利用导函数求某点的导 数，以及过某点的切线方程在实际应用问题中也方便快捷， 我们可以直接得到变化率. 1.函数f(x)0的导数是( ) A0 B1 C不存在 D不确定 答案 A 解析 常数函数的导数为0. 2已知函数 f(x)1 x，则 f (2)( ) A4 B1 4 C4 D1 4 答案 D 解析 f (x) 1 x 1 x2，
6、 f (2) 1 x2|x2 1 4. 3抛物线 y1 4x 2 在点(2,1)处的切线方程是( ) Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy10 答案 A 解析 y1 2x，y|x2 1 221， 抛物线 y1 4x 2 在点(2,1)处的切线斜率为 1，方程为 xy 10. 4若 f(x)x x，则 f (x)_. 答案 3 2 x 5若 f(x)3x，则 f (x)_. 答案 3xln3 课堂典例探究课堂典例探究 导数公式的直接应用 求下列函数的导数 (1)ya2(a 为常数)； (2)y5x3； (3)yx 4； (4)ylgx. 解析 (1)a 为常数，a2为常数， y(a2)0.
7、 (2)y(5x3)(x 3 5 )3 5x 2 5 3 55x2 . (3)y(x 4)4x54 x5. (4)y(lgx) 1 xln10. 方法规律总结 1.用导数的定义求导是求导 数的基本方法，但运算较繁利用常用函数 的导数公式，可以简化求导过程，降低运算 难度 2利用导数公式求导，应根据所给问题的特 征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结 构进行调整如将根式、分式转化为指数式， 利用幂函数的求导公式求导 求下列函数的导数 (1)y 1 x2； (2)y3x； (3)y2x； (4)ylog2x. 答案 (1)2x 3 (2)1 3x 2 3 (3)2xln2 (4) 1 xln2 解
8、析 (1)y 1 x2 (x 2)2x3 (2)y(3x)(x 1 3 )1 3x 2 3 (3)y(2x)2xln2 (4)y(log2x) 1 xln2 求某一点处的导数 求函数 f(x) 1 x在 x1 处的导数 解析 f (x) 1 x (x 1 2 ) 1 2x 1 2 11 2x 3 2 1 2 x3， f (1)1 2，函数 f(x)在 x1 处的导数为 1 2. 方法规律总结 求函数在某点处的导数的步骤：先求导 函数，再代入变量的值求导数 已知 f(x) 1 n x ，且 f (1)1 3，则 n_. 答案 3 解析 f (x) 1 n x (x 1 n ) 1 nx 1 n
9、11 nx n +1 n ， f (1)1 n，由 f (1) 1 3得 1 n 1 3，得 n3. 利用导数公式求切线方程 求过曲线 ycosx 上点 P 3， 1 2 且与在这点的切 线垂直的直线方程 解析 ycosx，ysinx， 曲线在点 P 3， 1 2 处的切线斜率是 y|x 3sin 3 3 2 . 过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 2 3， 所求的直线方程为 y1 2 2 3 x 3 ， 即 2x 3y2 3 3 2 0. 方法规律总结 求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数 (2)求斜率 (3)写出切线方程 注意导数为 0 和导数不存在的情形 (2014 吉林市二模
10、)已知曲线yx 2 4 3lnx的一条切线的斜率 为1 2，则切点的横坐标为( ) A3 B2 C1 D1 2 答案 B 解析 设切点为(x0，y0)，y(1 2x 3 x)|xx0 1 2x0 3 x0 1 2.x00，x02. 准确应用公式 求函数 y2x在 x1 处的切线方程 错解 y(2x)x 2x 1， y|x11，又 x1 时，y2， 切线方程为 y2x1，即 xy10. 辨析 y2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数 yx(Q)与指数函数 yax(a0 且 a1)的导数公式记混用 错 正解 y(2x)2xln2， y|x12ln2， 又 x1 时，y2， 切线方程为 y22ln2(x1)， 即 2xln2y2ln220.
