1、第十五章 圆锥曲线与方程 15.1 椭 圆 高考数学 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点 F1、 F2的 距离的和 等于常数 (大于 |F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆 . 符号表示 :|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),轨迹是椭圆 . 当 |PF1|+|PF2|=2a(2a=|F1F2|)时 ,轨迹是 线段 F1F2 ; 当 |PF1|+|PF2|=2a(2ab0)与 + =k(ab0,k0)有相同的离心率 . 22ba1222xa22yb22xa22yb求椭圆标准方程的方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)如果明确椭圆的焦点在 x轴上 ,那么设所求的椭圆方程为 +
2、=1(a b0); (2)如果明确椭圆的焦点在 y轴上 ,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a b0); (3)如果椭圆中心在原点 ,但不确定焦点是在 x轴上还是在 y轴上 ,那么方 程可以设为 mx2+ny2=1(m0,n0,m n). 22xa22yb22ya22xb方法技巧 方法 1 2.利用定义及性质求椭圆的标准方程 (1)根据动点满足的等式的几何意义 ,写出标准方程 ; (2)建立关于 a,b,c,e的方程或方程组 ; (3)解方程或方程组 ,得到椭圆的标准方程 . 例 1 (1)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3倍 ,且过点 A(3,0),并且以坐标 轴为对称轴 ,求椭圆的标准方程 .
3、 (2)(2016江苏如东高级中学期中 ,17)已知圆 C:x2+y2+2x=15,M是圆 C上的 动点 ,N(1,0),MN的垂直平分线交 CM于点 P,求点 P的轨迹方程 . 解析 (1)设椭圆方程为 + =1(m0,n0,m n), 由题意知 或 解得 或 椭圆的标准方程为 +y2=1或 + =1. (2)由题意知 |NP|+|PC|=|MP|+|PC|=4|NC|, 故点 P的轨迹是以 C、 N为焦点 ,长轴长为 4的椭圆 . 所以点 P的轨迹方程为 + =1. 2xm2yn9 1,m2 m 3 2 n? ? ?9 1,m2 n 3 2 m ,? ? ?m 9,n1?m 9,n 81.
4、?2x92y812x92x42y3求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考的知识点通常有两类 :一是求椭圆的离心率 ;二是求椭圆离心率的取 值范围 . (1)若给定椭圆的方程 ,则根据椭圆的焦点位置确定 a2,b2,求出 a,c的值 ,利 用公式 e= 直接求解 . (2)若椭圆方程未知 ,则根据条件及几何图形建立 a,b,c,e满足的关系式 ,化 为关于 a,c的齐次方程 ,求出 a,c的关系或化为 e的方程求解 . 例 2 (2016江苏常州一中、江阴南菁高中联考 ,7)已知 F是椭圆 + = 1(ab0)的左焦点 ,A为右顶点 ,P是椭圆上一点 ,PF x轴 .若 |PF|= |AF|, 则该椭圆的离心率是 . ca22xa22yb14方法 2解析 由题意得 ,A(a,0),F(-c,0). PF x轴 , |PF|= . 因为 |PF|= |AF|,所以 = (a+c),即 (3a-4c)(a+c)=0, a,c0, 3a-4c=0, e = = . 2ba14 2ba 14ca 34答案 34
