1、推理与证明推理与证明 第三章第三章 2 数数 学学 证证 明明 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体 会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本 模式，并能运用它们进行一些简单推理 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之 间的联系和差异 1.演绎推理 从_出发，推出 _情况下的结论，我们把这种推 理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 _的推理 演绎推理 一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 2演绎推理的特点 (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结 论是蕴涵于前提之中的
2、个别、特殊事实，结 论完全蕴涵于前提之中 (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然 的联系只要前提是真实的，推理的形式是 正确的，那么结论也必定是正确的因而演 绎推理是数学中严格证明的工具 (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺 少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的 论证作用，有助于科学的理论化和系统化 1.三段论概念 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提已知的_； (2)小前提所研究的_； (3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的 _ 2三段论的一般格式： 大前提：M是P，小前提：S是M，结论： _；也可以用；若ab，bc，则 ac. 三段论推理 一般原理 特殊情况
3、判断 S是P 3三段论法的论断基础是这样一个公理： “凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也 就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个 体”，简言之，“全体概括个体”M、P、 S三个概念之间的包含关系表现为：如果概 念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概 念S，如图，如果概念P排斥概念M，则必排 斥M中的任一概念S. 4在演绎推理中，前提与结论之间存在必然 的联系，只要前提是真实的，推理的形式是 正确的，那么_必定是正确的因 而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合 情推理的结论_正确 为了方便，在运用三段论推理时，常常采用 省略大前提或小前提的表述方式对于复杂 的论证，总是采用一连串的三段论
4、，把前一 个三段论的_作为下一个三段论的 前提 结论 不一定 结论 1.合情推理与演绎推理的区别 (1)推理一般包括合情推理与演绎推理合情 推理包括归纳推理和类比推理归纳是由特 殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推 理，而演绎推理是由一般到特殊的推理 (2)合情推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括定义、公理、定理等)，实验和实践的 结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结 果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用 的方法在解决问题的过程中，合情推理具 有猜测和发现结论、探索和提供思路的作 用有利于创新意识的培养演绎推理是根 据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、 定理等)按照严格的逻辑法
5、则得到新结论的推 理过程，培养和提高演绎推理或逻辑证明的 能力是高中课程的重要目标 (3)从推理的结论来看，合情推理的结论不一 定正确，有待证明；演绎推理在前提和推理 形式正确的前提下得到的结论一定正确 2合情推理与演绎推理的联系 (1)数学发现过程是一个探索创造的过程，是 一个不断地提出猜想、验证、猜想的过程， 合情推理和演绎推理相辅相成，相互作用， 共同推动着发现活动的进程数学结论、证 明思路的发现，主要靠合情推理而演绎推 理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程 (2)合情推理是富于创造性的推理，在数学发 现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向， 具有提出猜想、发现结论、提供思路的
6、作 用演绎推理是形式化程度较高的必然推理， 为合情推理提供了前提，为探索活动提供了 依据 1.在不等边三角形ABC中，a为最长边，要想 得到其对角A为钝角的结论，三边a，b，c 应满足的条件是( ) Aa2b2c2 Da2b2c2 答案 C 解析 由余弦定理， 得 cosAb 2c2a2 2bc b2c2. 2(2014 微山一中高二期中)关于下面推理结论的错误： “因为对数函数 ylogax 是增函数(大前提)，又 ylog1 2 x 是对 数函数(小前提)，所以 ylog1 2 x 是增函数(结论)”下列说法正 确的是( ) A大前提错误导致结论错误 B小前提错误导致结论错误 C推理形式错
7、误导致结论错误 D大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A 解析 大前提错误，因为对数函数y logax(0a1)是减函数，故选A 3(2013天津红桥区高二质检)“所有9的倍 数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇 数是3的倍数”上述推理是( ) A完全正确 B推理形式不正确 C错误，因为大小前提不一致 D错误，因为大前提错误 答案 A 4(2014郑州一中期中，厦门六中高二期 中)有一段“三段论”推理是这样的：对于可 导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x) 的极值点因为f(x)x3在x0处的导数值 f(0)0，所以x0是f(x)x3的极值点以上 推理中( ) A大前提错
8、误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 答案 A 解析 f(x0)0是f(x)在xx0取得极值的 必要条件，而不是充分条件，大前提是错 误的 5补充下列推理，使其成为完整的三段论 (1)因为互为相反数的两个数的和为0. 又因为a与b互为相反数且_，所以b 8. (2)因为_，又因为e2.71828是 无限不循环小数，所以e是无理数 答案 (1)a8，(2)无限不循环小数都是 无理数 6判断下列推理是否正确？为什么？ “因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大 前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所 以过A、B、C三点只能确定一个平面(结 论)” 解析 不正确，因为大前提中的“三点”不
9、 共线，而小前提中的“三点”没有不共线的 限制条件 课堂典例探究课堂典例探究 用三段论的形式写出下列演绎推理： (1)若两角是对顶角，则此两角相等，所以 若两角不相等，则此两角不是对顶角 三段论基本形式的理解 (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角 线相等； (3)0.332 是有理数； (4)ysinx(xR)是周期函数 分析 本题考查三段论的三部分结构分清 楚三段论中的大前提、小前提、结论是解题 的关键，为此要抓住它们的含义，即大前提 已知的一般原理，小前提所研究的特殊 情况，结论根据一般原理，对特殊情况作 出的判断 解析 (1)大前提：两个角是对顶角，则这 两个角相等 小
10、前提：和不相等 结论：和不是对顶角 (2)大前提：每一个矩形的对角线相等 小前提：正方形是矩形 结论：正方形对角线相等 (3)大前提：所有的循环小数都是有理数 小前提：0.332 是循环小数 结论：0.332 是有理数 (4)大前提：三角函数是周期函数 小前提：ysinx(xR)是三角函数 结论：ysinx(xR)是周期函数 方法规律总结 分析演绎推理的构成时，要正确区分大 前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来 在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提” 指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基 础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自 发地使用三段论来
11、进行推理，学习三段论后我们要主动地理解 和掌握这一推理方法 用三段论的形式写出下列演绎推理 (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形， 所以正方形的对角线相互垂直 (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若 两角不相等，则此两角不是对顶角 分析 即写出推理的大前提、小前提、结 论大前提可能在题目中给出，也可能是已 经学过的知识 解析 (1)每个菱形的对角线都相互垂直大 前提 正方形是菱形小前提 正方形的对角线相互垂直结论 (2)若两个角是对顶角则两角相等大前提 1和2不相等小前提 1和2不是对顶角结论 指出下面推理中的错误： (1)自然数是整数(大前提) 6是整数(小前提) 所以，6是自然数(
12、结论) (2)中国的大学分布在中国各地(大前提) 北京大学是中国的大学(小前提) 所以，北京大学分布在中国各地(结论) 演绎推理的判断 (3)三角函数是周期函数(大前提) ysinx(0x)是三角函数(小前提) ysinx(0x)是周期函数(结论) 分析 判断三段论推理是否正确必须严格 按其推理规则进行考察，其推理规则为： 所有M都是P，S是MS是P. 既要看大前提、小前提是否有误，也要看推 理形式是否合乎规范 解析 (1)推理形式错误，自然数是整数为 大前提，小前提应是判断某数为自然数，而 不是某数为整数 (2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大 学”，它的含义是中国的每一所大学，而小 前
13、提中的“中国的大学”仅表示中国的一所 大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概 念错误 (3)推理形式错误，大前提中的“三角函数” 和小前提中的“三角函数”概念不同 方法规律总结 1.判断演绎推理是否正确的 方法 (1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理， 只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这 是最易出错的地方； (2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、 定理、性质等，注意其中有无前提条件； (3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大 前提范围之内； (4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小 前提得到的结论是否正确 2在应用三段论推理中，最常见的错误是偷 换概念的错误，即大前提与小前提中同
14、一名 称的概念含义不同；其次是推理形式错误， 大前提“所有M都是P”，则小前提应是“S 是M”，而非“S是P” 下面推理的结论是否正确，为什么？ (1)对于任意的 a，bR，有ab 2 ab(大前提) 因为1，3R(小前提)， 所以13 2 13， 即2 3(结论) (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形(大前提)， 而菱形是所有边长都相等的凸多边形(小前提)， 所以菱形是正多边形 答案 (1)推理形式正确，但大前提错误 (2)推理形式正确，大前提是错误的 解析 (1)推理形式正确，但大前提错误(因为 a，b 是非 负数时，才有ab 2 ab)，因此所得的结论是错误的； (2)推理形式正
15、确，大前提是错误的(因为所有边长都相等， 内角也相等的凸多边形才是正多边形)， 所以得到的结论也是错 误的 已知在梯形ABCD中(如图)，DC DA，ADBC 求证：AC平分BCD(用三段论证明) 三段论在证明几何问题中的应用 解析 等腰三角形两底角相等，大前提 ADC是等腰三角形，1和2是两个底角， 小前提 12.结论 两条平行线被第三条直线截得的内错角相 等，大前提 1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错 角，小前提 13.结论 等于同一个角的两个角相等，大前提 21，31，小前提 23，即AC平分BCD结论 方法规律总结 应用演绎推理证明时，必须 确切知道每一步推理的依据(大前提)，验
16、证 条件是否满足(小前提)，然后得出结论 用三段论分析下题的证明过程 如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点， BFDA，DEBA，求证：EDAF. 证明过程如下： BFDA，FDAE， 又DEBA， 四边形AFDE是平行四边形， EDAF. 解析 上述推理过程应用了三次三段论第 一次省略大前提和小前提的部分内容；第二 次省略大前提并承前省了其中一组对边平行 的条件；第三次省略了大前提并承前省略了 小前提，其完整演绎推理过程如下： 因为同位角相等，两条直线平行，大前提 BFD与A是同位角，且BFDA，小 前提 所以FDAE.结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边 形，大前提 DEB
17、A，且FDAE，小前提 所以四边形AFDE为平行四边形结论 因为平行四边形的对边相等，大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提 所以EDAF.结论 (2013郑州高二检测)已知定义域 为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件： 对任意的x0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若“当x10，x20且x1x21时，有f(x1 x2)f(x1)f(x2)成立”，则称f(x)为“友谊函 数” (1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值 (2)函数g(x)2x1在区间0,1上是否为“友 谊函数”？并给出理由 (3)已知f(x)为“友谊函数”，且0x1x21， 求证：f(x1)f(
18、x2) 解题思路探究 第一步，审题 审条件，挖掘解题信息 定义域0,1，在研究函数过程中不能超出 这个范围； “友谊函数”新定义包含三个条件，尤其 条件需严格证明后才能确定 审结论，明确解题目标 第(1)问已知f(x)为友谊函数，求f(0)可用赋值 法求解； 第(2)问给出f(x)解析式和定义区间，判断f(x) 是否为友谊函数，需紧扣定义验证f(x)是否满 足三个条件 第(3)问要证f(x1)f(x2)，需依据条件进行变 换，注意条件在变形中的应用 第二步，建联系，确定解题步骤 先用赋值法求第(1)问，再依次验证(2)中函数 满足友谊函数的三个条件，最后，利用恒等 变换技巧借助条件推证第(3)
19、问 第三步，规范解答 解析 (1)取x1x20，得f(0)f(0)f(0)， f(0)0， 又由f(0)0，得f(0)0. (2)显然g(x)2x1在0,1上满足g(x)0； g(1)1； 若x10，x20，且x1x21， 则有g(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) (2x11)(2x21)0. 故g(x)2x1满足条件， 所以g(x)2x1为“友谊函数” (3)因为0x1x21，则0BC， CDAB，所以ADBD，所以ACD BCD 辨析 错误的原因在于虽然运用的大前提正 确，即在同一个三角形中，大边对大角，但 AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边， 即小前提不成立，所以推理过程错误 正解 因为CDAB，所以ADCBDC 90， 所以AACDBBCD90， 在ABC中，ACBC，BA， ACDBCD
