1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量直线的方向向量 与直线的向量方程与直线的向量方程 一、复习引入一、复习引入 立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、体，我立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、体，我 们利用空间向量来研究立体几何，关键是先要学会利用向们利用空间向量来研究立体几何，关键是先要学会利用向 量来表示空间内的点与直线。进而利用空间向量研究空间量来表示空间内的点与直线。进而利用空间向量研究空间 的点、线、面的位置关系。的点、线、面的位置关系。 二、提出问题二、提出问题 如何确定空间中的如何确定空间中的点的位置点的位置？ 确定平面内点的位置，
2、通常采用两个方法确定平面内点的位置，通常采用两个方法“平面直角平面直角 坐标系内的坐标坐标系内的坐标(x,y)(x,y)”或或“该点相对于某一已知点的该点相对于某一已知点的方向方向 及及距离距离”。那么，空间内呢？。那么，空间内呢？ 在空间，我们也可以用在空间，我们也可以用“该点的空间直角坐标系内的坐标该点的空间直角坐标系内的坐标 (x(x，y y，z)z)”或或“在空间中该点相对于某一已知点的在空间中该点相对于某一已知点的方向方向及及 距离距离”来描述。来描述。 因此，在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的因此，在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的 集合。集合。 两个词两个词“
3、方向方向”、“距离距离”，给我们什么启示？，给我们什么启示？ 三、概念形成三、概念形成 概念概念1.1.位置向量位置向量 已知空间内一点已知空间内一点A A，决定它的相对位置需再选一定点，决定它的相对位置需再选一定点O(O(根据根据 情况自己决定情况自己决定) )，则向量，则向量 称作点称作点A A的的位置向量位置向量。 A A O O 如果如果O O点点( (也可以称为也可以称为基点基点) )给定，我们就可以用不同的位置给定，我们就可以用不同的位置 向量表示空间内的不同的点了。向量表示空间内的不同的点了。 设设P P是直线上任意一点，则是直线上任意一点，则P P点应满点应满 足，存在一个实数
4、足，存在一个实数t t使得使得 三、概念形成三、概念形成 概念概念2.2.用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置 我们知道，在平面内一条直线可以由一个点和一个方向来我们知道，在平面内一条直线可以由一个点和一个方向来 确定，在空间确定一条直线也是如此。也就是说，确定，在空间确定一条直线也是如此。也就是说，在空间在空间 经过一个点和一个方向有且只有一条直线。经过一个点和一个方向有且只有一条直线。 A A 给定点给定点A A和一个向量和一个向量 ，则经过点，则经过点A A和方向和方向 确定直线确定直线 P P 称此方程为称此方程为直线直线 的参数方程的参数方程。向。向 量量
5、 称为该称为该直线的方向向量直线的方向向量。 三、概念形成三、概念形成 概念概念2.2.用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置 对于空间直线对于空间直线 也可以用两点来确定，设直线过也可以用两点来确定，设直线过A A，B B两点，两点， O O为基点，则为基点，则 为两个基向量。为两个基向量。 A A P P 称此方程为称此方程为空间直线空间直线 向量的参数向量的参数 方程方程。 O O l ,OA OB B B 则对于直线上任意一点则对于直线上任意一点P P，可以用这两个基向量来表示。，可以用这两个基向量来表示。 (1)OPt OAtOB 当当 时，时，P P为线段
6、为线段ABAB的中点。的中点。 1 2 t 直线的向量方程直线的向量方程: O a B P ,APta tR ,OPOAta tR (1),OPt OAtOB tR 、都叫做空间直线的向量参数方程 ,(1)OPxOAyOB xy a ,OPOAtAB tR 例例1 1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直 线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: AP:PB=1:2 AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标. AB ,1) 3 11 , 3 5 (, 1, 3 11 , 3 5 , ),3 , 3 , 1 ( 3 1 )0 , 4 , 2( 3 2
7、z)y,(x, ,z),y,(x, . 3 1 3 2 ),(2 ,2,) 1 ( : 的坐标是点因此 所以 得则上式换用坐标表示坐标为设点 即得由已知解 P zyx P OBOAOP OAOPOPOB APPB A Q B P y z x l O 例例1 1 (0,2,6)., 6, 2, 0 ) 6 , 2 , 0() 3 , 3 , 1 ( 2) 0 , 4 , 2(),( ),( ,2 ),( 2 ,2AQ , 2:) 2( 的坐标是点因此 即 得则上式换用坐标表示，的坐标为设点 所以因为 Q zyx zyx zyxQ OBOAOQ OQOBOAOQ QB QBAQ 在在数学数学2 2
8、立体几何初步立体几何初步中我们学习了空间里的中我们学习了空间里的平行平行 关系关系，即，即线线平行线线平行、线面平行线面平行和和面面平行面面平行。请同学们回忆。请同学们回忆 一下它们的定义、判定定理和性质定理。一下它们的定义、判定定理和性质定理。 三、概念形成三、概念形成 概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行，平面与平面平行行，平面与平面平行 公理公理4 4：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。 线面平行的判定定理线面平行的判定定理：平面外的一条直线如果和平面内的：平面外的一条直线如果和平
9、面内的 一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。 面面平行的判定定理面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交的直线：如果一个平面内有两条相交的直线 平行于另一个平面，则这两个平面平行。平行于另一个平面，则这两个平面平行。 在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？ 三、概念形成三、概念形成 概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行，平面与平面平行行，平面与平面平行 1.1.用向量的方法证明线线平行用向量的方法证明线线平行 设直线设直线
10、 和和 的方向向量分别为的方向向量分别为 和和 ，则，则 也可写成也可写成 设两个不共线向量设两个不共线向量 和和 与平面与平面 共面，直线共面，直线 的一个的一个 方向向量为方向向量为 ，则，则 三、概念形成三、概念形成 概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行，平面与平面平行行，平面与平面平行 2.2.用向量的方法证明线面平行用向量的方法证明线面平行 推论：如果推论：如果A,B,CA,B,C三点不共线，三点不共线， 则点则点M M在平面在平面ABCABC内的充要条件内的充要条件 是，存在一对实数是，存在一对实数x,yx,y使得使得 成
11、立。成立。 三、概念形成三、概念形成 概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行，平面与平面平行行，平面与平面平行 3.3.用向量的方法证明面面平行用向量的方法证明面面平行 设两个不共线向量设两个不共线向量 和和 与平面与平面 共面，则共面，则 三、概念形成三、概念形成 概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行，平面与平面平行行，平面与平面平行 例子：例子： 如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是面对角
12、线分别是面对角线 A A1 1B B与面对角线与面对角线A A1 1C C1 1的中点。的中点。 (1)(1)求证：求证：MN/ADMN/AD1 1且且 ； (2)(2)求证：求证：MN/MN/侧面侧面ADAD1 1 。 。 A A B B C C D D A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 M M N N 向量证法向量证法 如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是面对角线分别是面对角线A A1 1B B与面对角与面对角 线线A A1 1C C1 1的中点。的中点。 (1)(1)求证：求证：M
13、N/ADMN/AD1 1且且； (2)(2)求证：求证：MN/MN/侧面侧面ADAD1 1 。 。 1 1 2 MNAD A A B BC C D D A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 M M N N x y z (1)(1)证明：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为证明：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为1 1，则，则 1 111 1 (0,1),(0,0,0),(0,1,1) 222 2 MNAD， ， ) ,（ 1 1 1 (0, ),(0,1,1) 2 2 MNAD 1 1 2 MNAD 1 /MNAD 11 1 /, 2 MNAD MNAD 几何证法几何证法 向量
14、证法向量证法 几何证法几何证法 如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是面对角线分别是面对角线A A1 1B B与面对角与面对角 线线A A1 1C C1 1的中点。的中点。 (1)(1)求证：求证：MN/ADMN/AD1 1且且； (2)(2)求证：求证：MN/MN/侧面侧面ADAD1 1 。 。 1 1 2 MNAD A A B BC C D D A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 M M N N (1)(1)证明：连接证明：连接BCBC1 1，因为，因为M M，N N分别是面对角线分别是
15、面对角线A A1 1B B和和A A1 1C C1 1的中点，的中点， 所以，所以，MNMN是是A A1 1BCBC1 1的中位线的中位线 11 1 /, 2 MNBC MNBC 又正方体中又正方体中C C1 1D D1 1/AB/AB且且C C1 1D D1 1=AB=AB，所以，所以 ABCABC1 1D D1 1为平行四边形。为平行四边形。 1111 /,ADBC ADBC 从而从而MN/ADMN/AD1 1且且 1 1 2 MNAD 三、概念形成三、概念形成 概念概念4.4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角 我们用向量的方法也可以求空
16、间两条直线的夹角和证明空我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空 间两条直线垂直间两条直线垂直( (当夹角为当夹角为9090时时) ) 设直线设直线 和和 的方向向量分别为的方向向量分别为 和和 ，则，则 设两条直线所成角为设两条直线所成角为，则，则 三、概念形成三、概念形成 概念概念4.4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称 的角的角 例子：例子： 如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是分别是B B1 1B B与与CACA1 1 的中点。求证：的中点。求证：
17、MNBBMNBB1 1 ；MNMNA A1 1C C 。 A A B B C C D D A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 向量证法向量证法 如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是分别是B B1 1B B与与CACA1 1的中点。的中点。 求证：求证：MNMNBBBB1 1；MNMNA A1 1C C 。 A A B BC C D D A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 M M N N (1)(1)证明：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为证明：建立如图所示坐标系，设正方
18、体棱长为1 1，则，则 11 11 1 1 (10, ),(1,0,0),(1,0,1),(0,0,1),(1,1,0) 22 2 2 MNBBAC， ， ) ,（ 1 1 1 (,0),(0,0,1) 2 2 MNBB 1 1 1 (,0) (0,0,1)0 2 2 MNBB 1 1 1 (,0) (1,1, 1)0 2 2 MNAC x y z 1 (1,1, 1)AC 所以所以MNMNBBBB1 1；MNMNA A1 1C C 。 M M N N 三、概念形成三、概念形成 概念概念4.4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称 的角的角 例子：例子：
19、 已知三棱锥已知三棱锥O O- -ABC(ABC(如图如图) )，OA=4OA=4，OB=5OB=5，OC=3OC=3， AOB=BOC=60AOB=BOC=60，COA=90COA=90，M M，N N分别是棱分别是棱OAOA，BCBC的的 中点，求异面直线中点，求异面直线MNMN与与ACAC所成角的余弦。所成角的余弦。 O O A A B B C C M M N N 向量解法向量解法 解：设解：设，直线，直线MNMN与与ACAC所成角为所成角为，则，则 ,OAa OBb OCc 111 ()() 222 MNONOMbcabca 已知三棱锥已知三棱锥O O- -ABC(ABC(如图如图),
20、OA=4,OB=5,OC=3,),OA=4,OB=5,OC=3,AOB=AOB=BOC=60BOC=60， COA=90COA=90，M M，N N分别是棱分别是棱OAOA，BCBC的中点，求异面直线的中点，求异面直线MNMN与与ACAC所所 成角的余弦。成角的余弦。 O O A A B B C C M M N N ACca 22 222 222 1 |() 4 1 (|222) 4 145 (45315200) 44 MNMNMNbca abcb cabac 2222 22 |()|2) (430)25 ACACACcaacac 四、应用举例四、应用举例 例例1.1.平行六面体平行六面体 中
21、，中，O O是是B B1 1D D1 1的中点，求的中点，求 证：证：B B1 1C/C/平面平面ODCODC1 1 。 向量解法向量解法 解：设解：设，因为，因为B B1 1BCCBCC1 1为平行四边形为平行四边形 11111 ,C Ba C Db C Cc 1 BCca A AB B C C D D A A1 1 B B1 1 D D1 1 C C1 1 O O 例例1.1.平行六面体平行六面体中，中，O O是是B B1 1D D1 1的中点，求证：的中点，求证： B B1 1C/C/平面平面ODCODC1 1。 1111 ABCDA BC D a b c 又因为又因为O O是是B B1
22、 1D D1 1中点，中点， 11 1( ), 2 C Oab C Dbc 下面证明存在实数下面证明存在实数x,yx,y使得使得 111 BCxC OyC D 当当时有时有 111 BCxC OyC D 1 ()() 2 cax aby bc 11 () 22 xaxy byc A A B B C C D D A A1 1 B B1 1 D D1 1 C C1 1 O O 立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向 量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助 线而减少了思考时间。线而减少
23、了思考时间。 四、应用举例四、应用举例 例例2.2.如图所示，已知矩形如图所示，已知矩形ABCDABCD，PAPA平面平面ABCDABCD，M M，N N分别分别 是是ABAB，PCPC的中点，的中点，PDA=PDA=，能否确定，能否确定，使直线，使直线MNMN是直是直 线线ABAB与与PCPC的公垂线？若能确定，求出的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，的值；若不能确定， 说明理由。说明理由。 例例2.2.如图所示，已知矩形如图所示，已知矩形ABCDABCD，PAPA平面平面ABCDABCD，M M，N N分别是分别是ABAB， PCPC的中点，的中点，PDA=PDA=，能否确定，能否确
24、定，使直线，使直线MNMN是直线是直线ABAB与与PCPC的公的公 垂线？若能确定，求出垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由。的值；若不能确定，说明理由。 D D A A B B C C P P N N M M 解：假设这样的解：假设这样的存在，以点存在，以点A A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系AxyzAxyz 向量解法向量解法 设设则则| 2 ,| 2 ,ADa ABbPDA 因为因为 (0,0,0),(0,2 ,0),(2 ,2 ,0), (2 ,0,0),(0,0,2 tan ),(0, ,0) ( , , tan ) ABbCab DaPaMb N a b
25、a (0,2 ,0),(2 ,2 , 2 tan ) ( ,0, tan ) ABbPCaba MNaa (0,2 ,0) ( ,0, tan )0ABMNbaa ABMN (2 ,2 , 2 tan ) ( ,0, tan )PCMNabaaa D D A A B B C C P P N N M M 基础训练基础训练 , ,. OABCOABC OBACOCAB 1.已知：在空间四边形中， 求证： ,OAa OBb OCc证明：设则 A A B B C C O O ,;ABOBOAba BCOCOBcb ACOCOAca , 0,0.()0, ()0 OABC OBAC OA BCOBACa
26、cbb ca ,.a ca b b cb aa cb c () 0,0,. AB OCbac bca cABOCOCAB 如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平 面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , , 求证：求证： 四点四点E、F、G、H共面；共面； 平面平面EG/平面平面AC. OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 六、课堂总结六、课堂总结 2.2.用空间向量证明空间的平行关系；用空间向量证明空间的平行关系； 1.1.用向量表示空间直线或点在直线上的位置；用向量表示空间直线或点在直线上的位置； 3.3.用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称 的角；的角； 4.4.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以 先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助 向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。
