1、 这个美丽图案的主体部分由一些这个美丽图案的主体部分由一些 多边形构成多边形构成. .你发现这些多边形有什你发现这些多边形有什 么特别之处吗？么特别之处吗？ 3.7 3.7 正多边形正多边形 问题问题1:1:什么样的图形是正多边形？什么样的图形是正多边形？ 定义：各边相等定义：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形. 根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做 正三角形、正方形、正五边形、正六边形等正三角形、正方形、正五边形、正六边形等. 问题问题2 2：日常生活中：日常生活中, ,我们经常能看到正多我们经常能看到正多 边形的物
2、体边形的物体, ,利用正多边形利用正多边形, ,我们也可以得我们也可以得 到许多美丽的图案到许多美丽的图案, ,你还能举出一些这样的你还能举出一些这样的 例子吗例子吗? ? 例例1 已知一个正多边形的内角为已知一个正多边形的内角为176.4，这，这 个正多边形是几边行？有没有内角为个正多边形是几边行？有没有内角为100 的正多边形？的正多边形？ 1如果正多边形的一个外角等于如果正多边形的一个外角等于45，那么它的边，那么它的边 数为数为 ( ) A6 B7 C8 D9 【练一练练一练】 A正十二边形正十二边形 B正十边形正十边形 C正八边形正八边形 D正六边形正六边形 C B 2 一个正多边形
3、它的一个外角等于内角的一个正多边形它的一个外角等于内角的 1 4 ， 则这个多边形是则这个多边形是 ( ) 3正三角形外接圆的半径为正三角形外接圆的半径为R，则三角形边，则三角形边 长为长为 ( ) A. 3R B. 3 2 R C2R D.1 2R A 4正八边形如图所示，点正八边形如图所示，点A，B，C是它的顶点，则是它的顶点，则 ABC_. 22.5 你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？ 做一做：课本做一做：课本99页页 探索： 1.如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆. 2.如图，已知正方形，用直尺和圆规作它的外接
4、圆如图，已知正方形，用直尺和圆规作它的外接圆. 正多边形的外接圆正多边形的外接圆 我们把经过一个正多边形的各个顶点的我们把经过一个正多边形的各个顶点的 圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边 形叫做圆内接正多边形形叫做圆内接正多边形. 探索： 任何正多边形都有一个外接圆任何正多边形都有一个外接圆. 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切,只要只要 把一个圆分成相等的一些弧把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出就可以作出 这个圆的内接正多边形这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个这个圆就是这个 正多边形的外接圆正多边形的外接圆. 探索： A A A
5、n A1 A A A A O 如图如图, 把把O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次连接各分点得依次连接各分点得 到五边形到五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA, A=B. A B C D E O 同理同理B = C = D = E. 又五边形又五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在O上上, 五边形五边形ABCDE是是O的内接正五边形的内接正五边形, O是五边形是五边形 ABCDE的外接圆的外接圆. 我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明. 弧弧AB=弧弧BC=弧弧CD=弧弧DE=弧弧EA， 弧弧BCE=弧弧CDA， 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形正多边形每
6、一边所对的圆心角叫做正多边形 的的中心角中心角. O 中心角中心角 半径半径R 边心距边心距r 我们把一个正多边形外接圆的圆心叫做这我们把一个正多边形外接圆的圆心叫做这 个正多边形的个正多边形的中心中心. 外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距边心距. 第一种方法第一种方法：如图，以如图，以2cm为半径作一个为半径作一个O，用量角器画一，用量角器画一 个等于个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上 依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的依次截取与这条弧相等的弧，
7、就得到圆的6个等分点，顺次连个等分点，顺次连 接各分点，即可得出正六边形接各分点，即可得出正六边形 60 6 360 60 O 利用这种利用这种 方法可以方法可以 画出任意画出任意 的正的正n边边 形形. . 怎样画一个边长为怎样画一个边长为2cm的正六边形？的正六边形？ 第二种方法：第二种方法： 如图，以如图，以2cm为半径作一个为半径作一个O，由于正六，由于正六 边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等 于于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各 分点即可分点即可 O 例例 有一个亭子有一个亭子,它的地基是半径为它
8、的地基是半径为4m的正六边形的正六边形, 求地基的周长和面积求地基的周长和面积(精确到精确到0.1m2). 解解: 如图，由于如图，由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ， OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 360 60 6 因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l =46=24(m). 在在RtOPC中中,OC=4, PC= 4 2 22 BC ， 利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距 22 422 3.r 亭子地基的面积亭子地基的面积 2 11 242 341.6(m ). 2
9、2 Slr O A B C D E F R P r 生活中数学：生活中数学： 练习练习 1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢? 为什么为什么? 矩形不一定是正多边形矩形不一定是正多边形.因为四条边不一因为四条边不一 定都相等定都相等; 菱形不一定是正多边形菱形不一定是正多边形.因为四个角因为四个角 不一定都相等不一定都相等; 正方形是正多边形因为四条边都相正方形是正多边形因为四条边都相 等，四个角都相等等，四个角都相等. 2.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，的圆内接正三角形， 正方形的边长，边心距和面积正方形的边长，边心距和面积. 解：作等边解
10、：作等边ABC的边的边BC上的高上的高AD,垂足为垂足为D. 连接连接OB，则，则OB=R. 在在RtOBD中中 ， OBD=30, 边心距边心距OD= 1 . 2 R 在在RtABD中中 ， BAD=30, 13 22 ADOAODRRR， 2 1133 3 3. 2224 ABC SBC ADRRR A B C D O 由勾股定理，求得由勾股定理，求得AB= R3 解：连接解：连接OB，OC，过点过点O 作作OEBC垂足为垂足为E. 则则OEB=90，OBE= BOE=45. RtOBE为等腰直角三角形为等腰直角三角形.则有则有 222 BEOEOB 22 2OEOB 2 2 2 OB O
11、E 22 22 OEOBR边心距 2 222 2 BCBERR边长 2 2 22 ABCD SAB BCRR 正方形 A B C D O E 几个正多边形的边长与半径的关系： R3 a3= a4= a6=R 探究活动探究活动 我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性。我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性。 1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗？正三角形和正方形都是轴对称图形吗？ 都是中心对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 2.填写下表：填写下表： 3.用命题的形式概括正用命题的形式概括正n边形的中心对边形的中心对 称性和轴对称性，以及轴对称图形的称性和轴对称性，以及轴对称图形的 对称轴的条数对称轴的条数. 1.正多边形的定义正多边形的定义. 课堂小结： 这节课你学习了什么？有什么体会？ 2.正多边形的判定正多边形的判定. 3.正多边形的画法正多边形的画法. 4.正多边形的有关计算正多边形的有关计算. 1.作业本作业本. 作业： 2.选做练习选做练习.
